वसंत प्रणाली

एक द्वि-आयामी वसंत प्रणाली।

इंजीनियरिंग और भौतिकी में, एक स्प्रिंग सिस्टम या स्प्रिंग नेटवर्क भौतिक विज्ञान का एक मॉडल है जिसे ग्राफ (असतत गणित) के रूप में वर्णित किया जाता है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर एक स्थिति होती है और प्रत्येक किनारे के साथ दी गई कठोरता और लंबाई का एक वसंत (उपकरण) होता है। यह उच्च आयामों के लिए हुक के नियम का सामान्यीकरण करता है। इस सरल मॉडल का उपयोग क्रिस्टल लैटिस से स्प्रिंग्स तक स्थिर प्रणालियों की स्थिति को हल करने के लिए किया जा सकता है। स्थिति-विज्ञान में समस्याओं को हल करने के लिए एक स्प्रिंग सिस्टम को परिमित तत्व विधि का सबसे सरल मामला माना जा सकता है। रैखिक स्प्रिंग्स और छोटे विरूपण (या एक आयामी गति तक सीमित) मानते हुए एक वसंत प्रणाली को रैखिक समीकरणों की एक (संभवतः अतिनिर्धारित) प्रणाली के रूप में या समकक्ष रूप से ऊर्जा न्यूनीकरण समस्या के रूप में डाला जा सकता है।

ज्ञात वसंत लंबाई

यदि स्प्रिंग्स की नाममात्र लंबाई, एल क्रमशः 1 और 2 इकाइयों के रूप में जानी जाती है, तो सिस्टम को निम्नानुसार हल किया जा सकता है: दो स्प्रिंग्स से जुड़े तीन नोड्स के साधारण मामले पर विचार करें। फिर दो स्प्रिंग्स के फैलाव को नोड्स की स्थिति के एक समारोह के रूप में दिया जाता है

$\Delta \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\end{bmatrix}}\mathbf {x} -\mathbf {L} =B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L}$

कहाँ $B^{\top }$ घटना मैट्रिक्स का मैट्रिक्स स्थानान्तरण है

$B={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\\0&-1\end{bmatrix}},$

स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री को उस दिशा से संबंधित करना जिसमें प्रत्येक स्प्रिंग उस पर खींचती है। झरनों पर बल हैं

$F_{\text{springs}}=-W\Delta \mathbf {L} =-W(B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} )=-WB^{\top }\mathbf {x} +W\mathbf {L}$

जहाँ W एक विकर्ण मैट्रिक्स है जो हर स्प्रिंग की कठोरता देता है। फिर नोड्स पर बल बाईं ओर से गुणा करके दिया जाता है $B$, जिसे हम संतुलन खोजने के लिए शून्य पर सेट करते हैं:

$F_{\text{nodes}}=-BWB^{\top }\mathbf {x} +BW\mathbf {L} =0$

जो रैखिक समीकरण देता है:

$BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L}$.

अब, मैट्रिक्स $BWB^{\top }$ विलक्षण है, क्योंकि सभी समाधान कठोर-शरीर अनुवाद के बराबर हैं। आइए हम एक डिरिचलेट सीमा स्थिति निर्धारित करें, उदाहरण के लिए, $x_{1}=2$.

एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए W तब पहचान मैट्रिक्स है

$BWB^{\top }={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}$

लाप्लासियन मैट्रिक्स है। लगाना $x_{1}=2$ अपने पास

$BWB^{\top }\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=BW\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}$.

बाईं ओर 2 को शामिल करने से प्राप्त होता है

${\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}$.

और उस प्रणाली की पंक्तियों को हटाना जिसे हम पहले से जानते हैं, और सरल करना, हमें छोड़ देता है

${\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}$.

${\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$.

तो हम हल कर सकते हैं

${\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}$.

वह है, $x_{1}=2$, निर्धारित के रूप में, और $x_{2}=3$, पहले वसंत को सुस्त छोड़कर, और $x_{3}=5$, दूसरे वसंत को सुस्त छोड़कर।

यह भी देखें

• गॉसियन नेटवर्क मॉडल
• अनिसोट्रोपिक नेटवर्क मॉडल
• कठोरता मैट्रिक्स
• स्प्रिंग-मास सिस्टम
• लाप्लासियन मैट्रिक्स

बाहरी संबंध

• The Physics of Springs