विश्लेषणात्मक तत्व विधि

विश्लेषणात्मक तत्व विधि (एईएम) एक संख्यात्मक विश्लेषण विधि है जिसका उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के लिए किया जाता है।^[1]^[2]^[3] इसे प्रारंभ में O.D.L द्वारा विकसित किया गया था। मिनेसोटा विश्वविद्यालय में स्ट्रैक। यह प्रकृति में सीमा तत्व विधि (बीईएम) के समान है, क्योंकि यह मॉडल किए गए सिस्टम में वॉल्यूम या क्षेत्रों के विवेकीकरण पर निर्भर नहीं करता है; केवल आंतरिक और बाहरी सीमाएँ विभेदित हैं। एईएम और बीईएम के बीच प्राथमिक अंतरों में से एक यह है कि सीमा अभिन्नों की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जाती है।

अभेद्य सिलेंडरों के चारों ओर प्रवाहित करें। श्रृंखला विस्तार में 20 गुणांकों का उपयोग करके एईएम के साथ हल किया गया।

गणितीय आधार

विश्लेषणात्मक तत्व विधि का मूल आधार यह है कि, रैखिक अंतर समीकरणों के लिए, अधिक जटिल समाधान प्राप्त करने के लिए प्राथमिक समाधानों को आरोपित किया जा सकता है। विभिन्न शासकीय समीकरणों के लिए 2डी और 3डी विश्लेषणात्मक समाधान (तत्व) का एक सूट उपलब्ध है। ये तत्व आम तौर पर एक ज्यामितीय सीमा (जैसे, बिंदु, रेखा, दीर्घवृत्त, वृत्त, गोला, आदि) के साथ आश्रित चर या उसके ढाल में एक असंतोष के अनुरूप होते हैं। इस असंततता का एक विशिष्ट कार्यात्मक रूप होता है (आमतौर पर 2डी में एक बहुपद) और डिरिचलेट, न्यूमैन, या रॉबिन (मिश्रित) सीमा स्थितियों को संतुष्ट करने के लिए इसमें हेरफेर किया जा सकता है। प्रत्येक विश्लेषणात्मक समाधान अंतरिक्ष और/या समय में अनंत है।

आम तौर पर प्रत्येक विश्लेषणात्मक समाधान में स्वतंत्रता की डिग्री (गुणांक) होती है जिसकी गणना तत्व की सीमा के साथ निर्धारित सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए की जा सकती है। एक वैश्विक समाधान (यानी, सही तत्व गुणांक) प्राप्त करने के लिए, समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जाता है ताकि सभी तत्वों के साथ सीमा की स्थिति संतुष्ट हो (संकलन विधि, कम से कम वर्ग | कम से कम वर्ग न्यूनतमकरण, या एक समान दृष्टिकोण का उपयोग करके)। विशेष रूप से, वैश्विक समाधान अनंत डोमेन में हर जगह आश्रित चर का स्थानिक रूप से निरंतर विवरण प्रदान करता है, और तत्व की सीमा को छोड़कर, जहां शासी समीकरण सख्ती से लागू नहीं होता है, वहां शासी समीकरण बिल्कुल हर जगह संतुष्ट होता है।

एक ही समाधान में कई तत्वों को सुपरपोज़ करने की क्षमता का मतलब है कि मनमाने ढंग से जटिल सीमा स्थितियों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं। अर्थात्, ऐसे मॉडल जिनमें जटिल ज्यामिति, सीधी या घुमावदार सीमाएँ, कई सीमाएँ, क्षणिक सीमा की स्थितियाँ, कई जलभृत परतें, टुकड़े-टुकड़े अलग-अलग गुण और लगातार अलग-अलग गुण होते हैं, को हल किया जा सकता है। तत्वों को दूर-क्षेत्र के विस्तार का उपयोग करके कार्यान्वित किया जा सकता है जैसे कि हजारों तत्वों वाले मॉडल को उच्च परिशुद्धता के साथ कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक तत्व विधि को लाप्लास समीकरण, पॉइसन समीकरण, संशोधित हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण सहित विभिन्न रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों द्वारा शासित भूजल प्रवाह समीकरण की समस्याओं पर लागू किया गया है।^[4] ताप समीकरण, और बिहारमोनिक समीकरण समीकरण। अक्सर इन समीकरणों को जटिल चरों का उपयोग करके हल किया जाता है जो जटिल चर सिद्धांत में उपलब्ध गणितीय तकनीकों का उपयोग करना संभव बनाता है। जटिल समस्याओं को हल करने के लिए एक उपयोगी तकनीक अनुरूप मानचित्र का उपयोग करना है जो ज्यामिति की सीमा को मैप करती है, उदाहरण के लिए। इकाई वृत्त की सीमा पर एक दीर्घवृत्त, जहाँ समाधान ज्ञात है।

विश्लेषणात्मक तत्व विधि में भूजल निर्वहन और धारा फ़ंक्शन, या संयुक्त जटिल क्षमता का उपयोग किया जाता है। यह क्षमता भूजल प्रणाली के भौतिक गुणों, हाइड्रोलिक हेड या प्रवाह सीमाओं को क्षमता के गणितीय प्रतिनिधित्व से जोड़ती है। इस गणितीय निरूपण का उपयोग स्थिति के संदर्भ में क्षमता की गणना करने के लिए किया जा सकता है और इस प्रकार भूजल प्रवाह की समस्याओं को भी हल किया जा सकता है। तत्वों को इन दो गुणों, हाइड्रोलिक हेड या प्रवाह सीमा में से किसी एक के लिए सीमा स्थितियों को हल करके विकसित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं जो कई सीमा स्थितियों से निपटने में सक्षम होते हैं।

स्ट्रैक के एक समकालीन छात्र, जो भूजल मॉडलिंग अनुप्रयोगों में विश्लेषणात्मक तत्व विधि (एईएम) के समर्थक हैं, नॉर्थ डकोटा स्टेट यूनिवर्सिटी के डॉ. डेविड स्टीवर्ड हैं।

अन्य तरीकों से तुलना

जैसा कि उल्लेख किया गया है, विश्लेषणात्मक तत्व विधि मॉडल में मात्रा या क्षेत्र के विवेकीकरण पर निर्भर नहीं करती है, जैसा कि परिमित तत्व विधि या परिमित अंतर विधि विधियों में होता है। इस प्रकार, यह मशीन की सटीकता के क्रम में त्रुटि के साथ जटिल समस्याओं को मॉडल कर सकता है। यह एक अध्ययन में दर्शाया गया है जिसमें यादृच्छिक चालकता के साथ 100,000 गोलाकार विविधता को शामिल करके और 40,000 कणों का पता लगाकर एक अत्यधिक विषम, आइसोट्रोपिक जलभृत का मॉडल तैयार किया गया है।^[5] विश्लेषणात्मक तत्व विधि को बड़ी परियोजनाओं में सत्यापन या स्क्रीनिंग टूल के रूप में कुशलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है क्योंकि यह कई जटिल समस्याओं के लिए भूजल प्रवाह की तेज़ और सटीक गणना कर सकता है।^[6]^[7] आमतौर पर उपयोग की जाने वाली अन्य भूजल मॉडलिंग विधियों के विपरीत, उदा. परिमित तत्व विधि या परिमित अंतर विधि विधि, एईएम मॉडल डोमेन को कोशिकाओं में अलग नहीं करता है। इससे यह लाभ मिलता है कि मॉडल, मॉडल डोमेन में किसी भी दिए गए बिंदु के लिए मान्य है। हालाँकि, यह भी लागू होता है कि डोमेन को आसानी से क्षेत्रों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। विभिन्न हाइड्रोलिक चालकता, जैसे सेल ग्रिड के साथ मॉडलिंग करते समय। हालाँकि कुछ समाधान हैं जो इससे निपटते हैं, उदा. एईएम मॉडल में जलभृत में लंबवत भिन्न गुणों या संरचनाओं को लागू करने के लिए समाधान मौजूद हैं।^[8]^[9]^[10]

यह भी देखें

सीमा तत्व विधि
अनुरूप मानचित्रण
सुपरपोज़िशन सिद्धांत

संदर्भ

↑ Strack, Otto D. L., 1943- (1989). भूजल यांत्रिकी. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-365412-5. OCLC 16276592.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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आगे पढ़ें

Haitjema, H. M. (1995). भूजल प्रवाह का विश्लेषणात्मक तत्व मॉडलिंग (PDF). San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3.
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Fitts, C. R. (2012). भूजल विज्ञान (2nd ed.). San Diego, CA: Elsevier/Academic Press. ISBN 9780123847058.

बाहरी संबंध

[1] Strack, Otto D. L., 1943- (1989). भूजल यांत्रिकी. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-365412-5. OCLC 16276592.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[2] Strack, Otto D. L. (August 2017). विश्लेषणात्मक भूजल यांत्रिकी. Cambridge Core. doi:10.1017/9781316563144. ISBN 9781316563144. Retrieved 2020-04-20.

[3] Haitjema, H. M. (Henk M.) (1995). भूजल प्रवाह का विश्लेषणात्मक तत्व मॉडलिंग. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-08-049910-9. OCLC 162129095.

[4] Strack, O. D. L.; Namazi, T (October 2014). "A new formulation for steady multiaquifer flow: An analytic element for piecewise constant infiltration". Water Resources Research. 50 (10): 7939–7956. doi:10.1002/2014WR015479.

[5] Janković, I.; Fiori, A.; Dagan, G. (2006). "Modeling flow and transport in highly heterogeneous three-dimensional aquifers: Ergodicity, Gaussianity, and anomalous behavior—1. Conceptual issues and numerical simulations". Water Resources Research. 42 (6): W06D12. Bibcode:2006WRR....42.6D12J. doi:10.1029/2005WR004734. ISSN 1944-7973.

[6] Hunt, Randall J. (2006). "विश्लेषणात्मक तत्व विधि का उपयोग करके भूजल मॉडलिंग अनुप्रयोग". Groundwater. 44 (1): 5–15. doi:10.1111/j.1745-6584.2005.00143.x. ISSN 1745-6584. PMID 16405461. S2CID 24530553.

[7] Kraemer, Stephen R. (2007). "Analytic Element Ground Water Modeling as a Research Program (1980 to 2006)". Groundwater. 45 (4): 402–408. doi:10.1111/j.1745-6584.2007.00314.x. ISSN 1745-6584. PMID 17600570. S2CID 26319150.

[8] Bakker, Mark; Strack, Otto D. L. (2003-02-10). "बहुजलभृत प्रवाह के लिए विश्लेषणात्मक तत्व". Journal of Hydrology. 271 (1): 119–129. Bibcode:2003JHyd..271..119B. doi:10.1016/S0022-1694(02)00319-0. ISSN 0022-1694.

[9] Strack, O. D. L.; Ausk, B. K. (August 2015). "A formulation for vertically integrated groundwater flow in a stratified coastal aquifer: STRATIFIED COASTAL AQUIFER FLOW". Water Resources Research. 51 (8): 6756–6775. doi:10.1002/2015WR016887.

[10] Toller, Erik A. L.; Strack, Otto D. L. (2019). "लंबवत रूप से बदलती हाइड्रोलिक चालकता के साथ इंटरफ़ेस प्रवाह". Water Resources Research. 55 (11): 8514–8525. Bibcode:2019WRR....55.8514T. doi:10.1029/2019WR024927. ISSN 1944-7973. S2CID 202924261.

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