वीयरस्ट्रैस समारोह

Not to be confused with the Weierstrass elliptic function ($\wp$) or the Weierstrass sigma, zeta, or eta functions.

अंतराल [−2, 2] पर वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन का प्लॉट। कुछ अन्य भग्नों की तरह, फ़ंक्शन स्व-समानता प्रदर्शित करता है: प्रत्येक ज़ूम (लाल वृत्त) वैश्विक प्लॉट के समान है।

गणित में, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) का एक उदाहरण है जो हर जगह निरंतर कार्य करता है लेकिन अलग-अलग कार्य कहीं नहीं होता है। यह भग्न वक्र का एक उदाहरण है। इसका नाम इसके खोजकर्ता कार्ल वीयरस्ट्रास के नाम पर रखा गया है।

वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन ने ऐतिहासिक रूप से एक पैथोलॉजिकल (गणित) फ़ंक्शन की भूमिका निभाई है, पहला प्रकाशित उदाहरण (1872) होने के नाते विशेष रूप से इस धारणा को चुनौती देने के लिए मनगढ़ंत है कि अलग-अलग बिंदुओं के एक सेट को छोड़कर हर निरंतर कार्य भिन्न होता है। वेइरस्ट्रास का प्रदर्शन कि निरंतरता का अर्थ लगभग हर जगह भिन्नता नहीं है, ने गणित को समाप्त कर दिया, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान और चिकनाई की अस्पष्ट परिभाषाओं पर भरोसा करने वाले कई प्रमाणों को पलट दिया। समकालीनों द्वारा इस प्रकार के कार्यों की निंदा की गई: हेनरी पॉइनकेयर ने प्रसिद्ध रूप से उन्हें राक्षसों के रूप में वर्णित किया और वेइरस्ट्रास के काम को सामान्य ज्ञान के खिलाफ आक्रोश कहा, जबकि चार्ल्स हर्मिट ने लिखा कि वे एक शोचनीय संकट थे। अगली शताब्दी में कंप्यूटरों के आने तक कार्यों की कल्पना करना मुश्किल था, और परिणामों को तब तक व्यापक स्वीकृति नहीं मिली जब तक कि एक प्रकार कि गति के मॉडल जैसे व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए असीम दांतेदार कार्यों (आजकल फ्रैक्टल कर्व्स के रूप में जाना जाता है) की आवश्यकता नहीं है।

निर्माण

0.1 से 5 तक के मान को बढ़ाने पर आधारित एनिमेशन।

वीयरस्ट्रैस के मूल पेपर में, फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया था:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),$

कहाँ $0<a<1$, $b$ एक सकारात्मक विषम पूर्णांक है, और

$ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .$

का न्यूनतम मूल्य $b$ जिसके लिए मौजूद है $0<a<1$ ऐसा है कि ये बाधाएं संतुष्ट हैं $b=7$. यह निर्माण, इस प्रमाण के साथ कि फ़ंक्शन किसी भी अंतराल पर अलग-अलग नहीं है, पहली बार वीयरस्ट्रास द्वारा 18 जुलाई 1872 को प्रशिया एकेडमी ऑफ साइंसेज को प्रस्तुत किए गए एक पेपर में दिया गया था। कभी भी अवकलनीय नहीं होने के बावजूद, फलन निरंतर है: चूंकि इसे परिभाषित करने वाली अनंत श्रृंखला के पद ±a से सीमित हैंⁿ और इसमें 0 <a <1 के लिए परिमित योग है, शर्तों के योग का अभिसरण Weierstrass M-test द्वारा M के साथ एकसमान अभिसरण है_n= ए^एन. चूँकि प्रत्येक आंशिक योग संतत है, एकसमान सीमा प्रमेय द्वारा, यह अनुसरण करता है कि f संतत है। इसके अतिरिक्त, चूंकि प्रत्येक आंशिक योग एक समान निरंतरता है, इसलिए यह अनुसरण करता है कि f भी समान रूप से निरंतर है।

यह उम्मीद की जा सकती है कि एक निरंतर कार्य में व्युत्पन्न होना चाहिए, या यह कि बिंदुओं का सेट जहां यह अलग-अलग नहीं है, वह असीमित रूप से अनंत या परिमित होना चाहिए। अपने पेपर में वेइरस्ट्रास के अनुसार, कार्ल फ्रेडरिक गॉस सहित पहले के गणितज्ञों ने अक्सर यह मान लिया था कि यह सच है। ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि एक निरंतर कार्य को चित्रित करना या कल्पना करना मुश्किल है, जिसका अविभेद्य बिंदुओं का सेट अंकों के एक गणनीय सेट के अलावा कुछ और है। निरंतर कार्यों के बेहतर व्यवहार वाले वर्गों के लिए अनुरूप परिणाम मौजूद हैं, उदाहरण के लिए लिप्सचिट्ज़ कार्य करता है, जिनके गैर-भिन्नता बिंदुओं का सेट एक लेबेस्ग्यू नल सेट (रेडेमाकर का प्रमेय) होना चाहिए। जब हम एक सामान्य निरंतर फलन बनाने की कोशिश करते हैं, तो हम आमतौर पर एक ऐसे फलन का ग्राफ बनाते हैं जो लिप्सचिट्ज़ या अन्यथा अच्छा व्यवहार करता है।

वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन अध्ययन किए गए पहले भग्नों में से एक था, हालांकि इस शब्द का उपयोग बहुत बाद तक नहीं किया गया था। फ़ंक्शन में हर स्तर पर विस्तार होता है, इसलिए वक्र के एक टुकड़े पर ज़ूम इन करना यह नहीं दिखाता है कि यह उत्तरोत्तर एक सीधी रेखा के करीब और करीब आ रहा है। बल्कि किसी भी दो बिंदुओं के बीच चाहे कितना भी करीब हो, फ़ंक्शन मोनोटोन नहीं होगा।

शास्त्रीय वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन के ग्राफ के हौसडॉर्फ आयाम डी की गणना 2018 तक एक खुली समस्या थी, जबकि आम तौर पर यह माना जाता था कि डी = $2+\log _{b}(a)<2$. वह डी कड़ाई से 2 से कम है जो शर्तों से अनुसरण करता है $a$ और $b$ उपर से। 30 से अधिक वर्षों के बाद ही यह कठोरता से सिद्ध हुआ था। Weierstrass फ़ंक्शन शब्द का उपयोग अक्सर Weierstrass के मूल उदाहरण के समान गुणों और निर्माण के साथ किसी भी फ़ंक्शन को संदर्भित करने के लिए वास्तविक विश्लेषण में किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोसाइन फ़ंक्शन को अनंत श्रृंखला में एक त्रिभुज तरंग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। टुकड़े-टुकड़े रैखिक ज़िगज़ैग फ़ंक्शन। जीएच हार्डी ने दिखाया कि उपरोक्त निर्माण का कार्य मान्यताओं 0 <ए <1, एबी ≥ 1 के साथ कहीं भी भिन्न नहीं है।

धारक निरंतरता

वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन को समान रूप से लिखना सुविधाजनक है

$W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)$

के लिए $\alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}$. तब डब्ल्यू_α(x) एक्सपोनेंट α का धारक निरंतर है, जिसका कहना है कि एक स्थिर सी ऐसा है

$|W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }$

सभी एक्स और वाई के लिए। इसके अलावा, डब्ल्यू₁ होल्डर सभी आदेशों का निरंतर है α < 1 लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं।

कहीं नहीं-भिन्न कार्यों का घनत्व

यह पता चला है कि वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन एक पृथक उदाहरण से बहुत दूर है: हालांकि यह पैथोलॉजिकल है, यह निरंतर कार्यों के लिए भी विशिष्ट है:

• एक टोपोलॉजी के अर्थ में: [0, 1] पर कहीं-विभेदक वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट सदिश स्थान C([0, 1]; 'R') में सभी निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट है [पर] 0, 1] समान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ।
• एक माप सिद्धांत में|माप-सैद्धांतिक अर्थ: जब अंतरिक्ष C([0, 1]; 'R') शास्त्रीय वीनर माप γ से सुसज्जित है, तो कार्यों का संग्रह जो [0, के एक बिंदु पर भी अलग-अलग होते हैं, 1] का γ-माप शून्य है। यह तब भी सच है जब कोई C([0, 1]; 'R') के परिमित-आयामी स्लाइस लेता है, इस अर्थ में कि कहीं नहीं-अलग-अलग फ़ंक्शन C([0, 1]; 'आर')।

यह भी देखें

• ब्लैंकमैंज वक्र
• कोच स्नोफ्लेक्स
• कहीं भी निरंतर कार्य नहीं करता है

संदर्भ

• David, Claire (2018), "Bypassing dynamical systems : A simple way to get the box-counting dimension of the graph of the Weierstrass function", Proceedings of the International Geometry Center, Academy of Sciences of Ukraine, 11 (2): 53–68, doi:10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Falconer, K. (1984), The Geometry of Fractal Sets, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. Book 85, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B Bernard R.; Olmstead, John M. H. (2003) [1964], Counterexamples in Analysis, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Hardy, G. H. (1916), "Weierstrass's nondifferentiable function" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 17 (3): 301–325, doi:10.2307/1989005, JSTOR 1989005
• Weierstrass, Karl (18 July 1872), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Weierstrass, Karl (1895), "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen", Mathematische Werke von Karl Weierstrass, vol. 2, Berlin, Germany: Mayer & Müller, pp. 71–74
  • English translation: Edgar, Gerald A. (1993), "On continuous functions of a real argument that do not possess a well-defined derivative for any value of their argument", Classics on Fractals, Studies in Nonlinearity, Addison-Wesley Publishing Company, pp. 3–9, ISBN 978-0-201-58701-2

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Weierstrass function". MathWorld. (a different Weierstrass Function which is also continuous and nowhere differentiable)
• Nowhere differentiable continuous function proof of existence using Banach's contraction principle.
• Nowhere monotonic continuous function proof of existence using the Baire category theorem.
• Johan Thim. "Continuous Nowhere Differentiable Functions". Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003. Retrieved 28 July 2006.
• Weierstrass function in the complex plane Beautiful fractal.
• SpringerLink - Journal of Fourier Analysis and Applications, Volume 16, Number 1 Simple Proofs of Nowhere-Differentiability for Weierstrass's Function and Cases of Slow Growth
• Weierstrass functions: continuous but not differentiable anywhere