व्लासोव समीकरण

Vlasov समीकरण एक विभेदक समीकरण है जो प्लाज्मा (भौतिकी) के वितरण समारोह (भौतिकी) के समय के विकास का वर्णन करता है जिसमें लंबी दूरी की बातचीत के साथ आवेशित कण होते हैं, उदा। कूलम्ब का नियम। 1938 में अनातोली व्लासोव द्वारा प्लाज्मा के विवरण के लिए पहली बार समीकरण का सुझाव दिया गया था और बाद में उनके द्वारा एक मोनोग्राफ में विस्तार से चर्चा की गई।

मानक गतिज दृष्टिकोण की कठिनाइयाँ

सबसे पहले, व्लासोव का तर्क है कि बोल्ट्जमैन समीकरण पर आधारित गैसों के दृष्टिकोण के मानक गतिज सिद्धांत में कठिनाइयां होती हैं, जब लंबी दूरी के कूलम्ब के नियम के साथ प्लाज्मा के विवरण पर लागू किया जाता है। वह प्लाज्मा गतिशीलता के लिए जोड़ी टक्करों पर आधारित गतिज सिद्धांत को लागू करते समय उत्पन्न होने वाली निम्नलिखित समस्याओं का उल्लेख करता है:

1. जोड़ी टकराव का सिद्धांत जॉन स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले, इरविंग लैंगमुइर और यदि आप घटते हैं द्वारा इलेक्ट्रॉन प्लाज्मा में प्राकृतिक कंपन की खोज से असहमत है।
2. गतिज शर्तों के विचलन के कारण जोड़ी टक्करों का सिद्धांत औपचारिक रूप से कूलम्ब इंटरैक्शन पर लागू नहीं होता है।
3. जोड़ी टक्करों का सिद्धांत गैसीय प्लाज्मा में विषम इलेक्ट्रॉन बिखरने पर हैरिसन मेरिल और हेरोल्ड वेब द्वारा किए गए प्रयोगों की व्याख्या नहीं कर सकता है।

अनातोली व्लासोव सुझाव देते हैं कि ये कठिनाइयाँ कूलम्ब इंटरेक्शन की लंबी दूरी की प्रकृति से उत्पन्न होती हैं। वह टकराव रहित बोल्ट्जमैन समीकरण (जिसे कभी-कभी व्लासोव समीकरण कहा जाता है, इस संदर्भ में कालानुक्रमिक रूप से कहा जाता है) के साथ शुरू होता है, सामान्यीकृत निर्देशांक में:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=0,$$

स्पष्ट रूप से एक आंशिक अंतर समीकरण:

$${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,$$

और इसे प्लाज्मा के मामले में अनुकूलित किया, जिससे नीचे दिखाए गए समीकरणों की व्यवस्था हो गई। यहाँ f संवेग के साथ कणों का एक सामान्य वितरण फलन है p निर्देशांक पर r और समय दिया गया t. ध्यान दें कि शब्द ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ बल है Fकण पर क्रिया करता है।

व्लासोव-मैक्सवेल समीकरणों की प्रणाली (गाऊसी इकाइयां)

प्लाज्मा में आवेशित कणों की परस्पर क्रिया के लिए टक्कर-आधारित गतिज विवरण के बजाय, वेलासोव आवेशित प्लाज्मा कणों द्वारा निर्मित एक स्व-सुसंगत सामूहिक क्षेत्र का उपयोग करता है। ऐसा वर्णन वितरण फलन (भौतिकी) का उपयोग करता है $f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ और $f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ इलेक्ट्रॉनों और (धनात्मक) प्लाज्मा आयनों के लिए। वितरण समारोह $f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ प्रजातियों के लिए α प्रजातियों के कणों की संख्या का वर्णन करता है α लगभग गति होना $\mathbf {p}$ स्थिति के पास (वेक्टर) $\mathbf {r}$ समय पर t. प्लाज्मा के आवेशित घटकों (इलेक्ट्रॉनों और सकारात्मक आयनों) के वर्णन के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण के बजाय समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्रस्तावित की गई थी:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i}e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end{aligned}}$$

$$\rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right)^{1/2}}}$$

यहाँ e प्राथमिक शुल्क है ($e>0$), c प्रकाश की गति है, m_i आयन का द्रव्यमान है, $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ और $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)$ बिंदु में बनाए गए सामूहिक आत्मनिर्भर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं $\mathbf {r}$ समय पर t सभी प्लाज्मा कणों द्वारा। बाह्य विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में कणों के समीकरणों से समीकरणों की इस प्रणाली का आवश्यक अंतर यह है कि आत्मनिर्भर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों और आयनों के वितरण कार्यों पर एक जटिल तरीके से निर्भर करता है। $f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ और $f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$.

व्लासोव-पॉइसन समीकरण

Vlasov-Poisson समीकरण गैर-सापेक्षतावादी शून्य-चुंबकीय क्षेत्र सीमा में Vlasov-Maxwell समीकरणों का एक अनुमान है:

$${\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,$$

और स्व-सुसंगत विद्युत क्षेत्र के लिए प्वासों का समीकरण:

$$\nabla ^{2}\phi +\rho =0.$$

यहाँ q_α कण का विद्युत आवेश है, m_α कण का द्रव्यमान है, $\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$ आत्मनिर्भर विद्युत क्षेत्र है, $\phi (\mathbf {x} ,t)$ आत्मनिर्भर विद्युत क्षमता और ρ विद्युत आवेश घनत्व है।

Vlasov-Poisson समीकरणों का उपयोग प्लाज्मा में विभिन्न घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, विशेष रूप से Landau डंपिंग और एक डबल परत (प्लाज्मा) प्लाज्मा में वितरण, जहां वे आवश्यक रूप से गैर-मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण हैं, और इसलिए द्रव मॉडल के लिए दुर्गम हैं।

पल समीकरण

प्लास्मा के द्रव विवरण में (प्लाज्मा मॉडलिंग और magnetohydrodynamics (एमएचडी) देखें) कोई वेग वितरण पर विचार नहीं करता है। इसे बदलकर हासिल किया जाता है $f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)$ संख्या घनत्व जैसे प्लाज़्मा क्षणों के साथ n, प्रवाह वेग u और दबाव p. उन्हें प्लाज्मा क्षण नाम दिया गया है क्योंकि n-वाँ क्षण $f$ एकीकृत करके पाया जा सकता है $v^{n}f$ वेग से अधिक। ये चर केवल स्थिति और समय के कार्य हैं, जिसका अर्थ है कि कुछ जानकारी खो गई है। मल्टीफ्लुइड सिद्धांत में, विभिन्न कण प्रजातियों को विभिन्न दबावों, घनत्वों और प्रवाह वेगों के साथ अलग-अलग तरल पदार्थ के रूप में माना जाता है। प्लाज्मा आघूर्णों को नियंत्रित करने वाले समीकरणों को आघूर्ण या द्रव समीकरण कहा जाता है।

नीचे दो सर्वाधिक प्रयुक्त आघूर्ण समीकरण प्रस्तुत किए गए हैं (एसआई इकाइयों में)। वेलासोव समीकरण से पल समीकरण प्राप्त करने के लिए वितरण समारोह के बारे में कोई धारणा नहीं है।

निरंतरता समीकरण

निरंतरता समीकरण बताता है कि समय के साथ घनत्व कैसे बदलता है। यह संपूर्ण वेग स्थान पर वेलासोव समीकरण के एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है।

$$\int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} ^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)\mathrm {d} ^{3}v=0$$

कुछ गणनाओं के बाद, एक के साथ समाप्त होता है

$${\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.$$

संख्या घनत्व n, और गति घनत्व nu, शून्यवाँ और प्रथम कोटि के आघूर्ण हैं:

$$n=\int f\mathrm {d^{3}} v$$

$$n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} f\mathrm {d} ^{3}v$$

संवेग समीकरण

एक कण के संवेग परिवर्तन की दर लोरेंत्ज़ समीकरण द्वारा दी गई है:

$$m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$$

इस समीकरण और वेलासोव समीकरण का उपयोग करके, प्रत्येक द्रव के लिए संवेग समीकरण बन जाता है

$$mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} ,$$

कहाँ ${\mathcal {P}}$ दबाव टेंसर है। सामग्री व्युत्पन्न है

$${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .$$

दबाव टेन्सर को वेग के सहप्रसरण मैट्रिक्स के कण द्रव्यमान गुणा के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})f\mathrm {d} ^{3}v.$$

जमे हुए सन्निकटन

Further information: Alfvén's theorem

मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स#आदर्श और प्रतिरोधी एमएचडी के लिए, प्लाज्मा को कुछ शर्तों को पूरा करने पर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं से बंधा हुआ माना जा सकता है। एक अक्सर कहता है कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं प्लाज्मा में जम जाती हैं। जमे हुए-इन स्थितियों को वेलासोव समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है।

हम तराजू का परिचय देते हैं T, L, और V क्रमशः समय, दूरी और गति के लिए। वे विभिन्न मापदंडों के परिमाण का प्रतिनिधित्व करते हैं जो बड़े परिवर्तन देते हैं $f$. बड़े से हमारा मतलब है

$${\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.$$

फिर हम लिखते हैं

$$t'={\frac {t}{T}},\quad \mathbf {r} '={\frac {\mathbf {r} }{L}},\quad \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} }{V}}.$$

व्लासोव समीकरण अब लिखा जा सकता है

$${\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} '\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0.$$

अभी तक कोई अनुमान नहीं लगाया गया है। आगे बढ़ने में सक्षम होने के लिए हमने सेट किया $V=R\omega _{g}$, कहाँ $\omega _{g}=qB/m$ gyroradius है और R जाइरोरेडियस है। से विभाजित करके ω_g, हम पाते हैं

$${\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0$$

अगर $1/\omega _{g}\ll T$ और $R\ll L$, पहले दो पद इससे बहुत कम होंगे $f$ तब से $\partial f/\partial t'\sim f,v'\lesssim 1$ और $\partial f/\partial \mathbf {r} '\sim f$ की परिभाषाओं के कारण T, L, और V ऊपर। चूंकि अंतिम पद के क्रम का है $f$, हम पहले दो शब्दों की उपेक्षा कर सकते हैं और लिख सकते हैं

$$\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0$$

इस समीकरण को एक संरेखित क्षेत्र और एक लंब भाग में विघटित किया जा सकता है:

$$\mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

अगला कदम लिखना है $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v}$, कहाँ

$$\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }$$

ऐसा क्यों किया गया यह जल्द ही स्पष्ट हो जाएगा। इस प्रतिस्थापन के साथ, हम प्राप्त करते हैं

$$\mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

यदि समानांतर विद्युत क्षेत्र छोटा है,

$$(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

इस समीकरण का अर्थ है कि वितरण जाइरोट्रोपिक है। जाइरोट्रोपिक वितरण का औसत वेग शून्य है। इस तरह, $\mathbf {v} _{0}$ औसत वेग के समान है, u, और हमारे पास है

$$\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0$$

संक्षेप में, जाइरो अवधि और जाइरो त्रिज्या को विशिष्ट समय और लंबाई से बहुत छोटा होना चाहिए जो वितरण समारोह में बड़े बदलाव देते हैं। जाइरो त्रिज्या का अनुमान अक्सर बदलकर लगाया जाता है V तापीय वेग या अल्फवेन वेग के साथ। बाद वाले मामले में R को अक्सर जड़त्वीय लंबाई कहा जाता है। प्रत्येक कण प्रजातियों के लिए अलग-अलग स्थितियों का अलग-अलग मूल्यांकन किया जाना चाहिए। क्योंकि इलेक्ट्रॉनों की जाइरो अवधि और जाइरो त्रिज्या आयनों की तुलना में बहुत कम होती है, जमी हुई स्थिति अधिक बार संतुष्ट होगी।

यह भी देखें

• प्लाज्मा भौतिकी लेखों की सूची
• फोकर-प्लैंक समीकरण

अग्रिम पठन

• Vlasov, A. A. (1961). "Many-Particle Theory and Its Application to Plasma". New York. Bibcode:1961temc.book.....V.