श्रेष्ठता की डिग्री

अमूर्त बीजगणित में, एक क्षेत्र विस्तार L / K की श्रेष्ठता की डिग्री विस्तार के आकार का एक निश्चित बल्कि मोटा माप है। विशेष रूप से, इसे K के ऊपर L के बीजगणितीय स्वतंत्रता उपसमुच्चय की सबसेट बड़ी कार्डिनैलिटी के रूप में परिभाषित किया गया है।

L का एक उपसमुच्चय S L / K का पारगमन आधार है यदि यह K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है और यदि आगे L एक फ़ील्ड K(S) का बीजगणितीय विस्तार (S से K के तत्वों के आस-पास प्राप्त फ़ील्ड)। कोई यह दिखा सकता है कि प्रत्येक क्षेत्र विस्तार का एक पारलौकिक आधार होता है, और यह कि सभी पारलौकिक आधारों में एक ही प्रमुखता होती है; यह कार्डिनैलिटी विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री के बराबर है और इसे ट्रडेग के रूप में दर्शाया गया है_Kएल या ट्रेडेग (एल / के)।

यदि कोई क्षेत्र K निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो एक क्षेत्र L की पारगमन डिग्री उसी विशेषता (बीजगणित) के प्रमुख क्षेत्र के सापेक्ष इसकी डिग्री है, अर्थात, परिमेय संख्या क्षेत्र 'Q' यदि L की विशेषता 0 है और परिमित क्षेत्र ' एफ'_p यदि L की विशेषता p है।

क्षेत्र विस्तार L / K 'विशुद्ध रूप से पारलौकिक' है यदि L का एक उपसमुच्चय S है जो K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है और ऐसा है कि L = K(S)।

उदाहरण

एक विस्तार बीजगणितीय है अगर और केवल अगर इसकी पारगमन डिग्री 0 है; खाली सेट यहाँ एक पारगमन आधार के रूप में कार्य करता है।
n चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र K(x₁,...,एक्स_n) (अर्थात बहुपद वलय K [x₁,...,एक्स_n]) विशुद्ध रूप से ट्रान्सेंडैंटल एक्सटेंशन है जिसमें K पर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n है; हम उदाहरण के लिए ले सकते हैं {x₁,...,एक्स_n} एक उत्कृष्ट आधार के रूप में।
अधिक आम तौर पर, ग्राउंड फ़ील्ड K पर एक एन-डायमेंशनल बीजगणितीय किस्म के बीजगणितीय किस्म L के कार्य क्षेत्र की श्रेष्ठता डिग्री n है।
'Q'(दो का वर्गमूल|√2, E (गणितीय स्थिरांक)) में 'Q' की तुलना में श्रेष्ठता की डिग्री 1 है क्योंकि √2 बीजगणितीय संख्या है जबकि e पारलौकिक संख्या है।
'क्यू' के ऊपर 'सी' या 'आर' की श्रेष्ठता की डिग्री सातत्य परिकल्पना है। (चूंकि 'Q' गणनीय है, फ़ील्ड 'Q'(S) में वही कार्डिनैलिटी होगी जो किसी अनंत सेट S के लिए S है, और 'Q'(S) के किसी भी बीजगणितीय विस्तार में फिर से वही कार्डिनैलिटी होगी।)
'Q'(e, pi|π) की 'Q' पर उत्कृष्टता की डिग्री या तो 1 या 2 है; सटीक उत्तर अज्ञात है क्योंकि यह ज्ञात नहीं है कि ई और π बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं।
यदि एस एक कॉम्पैक्ट जगह रीमैन सतह है, तो एस पर मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के क्षेत्र 'सी' (एस) में 'सी' पर पारगमन डिग्री 1 है।

सदिश स्थान आयामों के साथ सादृश्य

वेक्टर अंतरिक्ष हामेल आयामों के सिद्धांत के साथ समानता है। सादृश्य रैखिक स्वतंत्रता के साथ बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र सेट से मेल खाता है; S को इस प्रकार सेट करता है कि L रैखिक विस्तार के साथ K(S) पर बीजगणितीय है; बेसिस (रैखिक बीजगणित) के साथ ट्रान्सेंडेंस बेसिस; और वेक्टर अंतरिक्ष आयाम के साथ उत्कृष्टता की डिग्री। तथ्य यह है कि प्रत्येक क्षेत्र विस्तार का एक पारगमन आधार होता है, इस तथ्य के समान सिद्ध होता है कि प्रत्येक सदिश स्थान का एक आधार होता है; दोनों कथन पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करते हैं। सबूत है कि किसी भी दो आधारों में समान कार्डिनैलिटी निर्भर करती है, प्रत्येक सेटिंग में, एक्सचेंज लेम्मा पर।^[1] इस सादृश्य को और अधिक औपचारिक बनाया जा सकता है, यह देखते हुए कि सदिश स्थानों में रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र विस्तार में बीजगणितीय स्वतंत्रता दोनों ही Matroid (Pregeometry (मॉडल सिद्धांत)) के उदाहरण हैं। किसी भी अंतिम मैट्रोइड का आधार होता है, और सभी आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है।^[2]

तथ्य

यदि एम/एल और एल/के फील्ड एक्सटेंशन हैं, तो

trdeg (एम / कश्मीर) = trdeg (एम / एल) + trdeg (एल / कश्मीर)

यह दिखा कर सिद्ध किया जाता है कि एम/एल के एक ट्रांसेंडेंस आधार और एल/के में से एक के संघ (सेट सिद्धांत) को लेकर एम/के का पारगमन आधार प्राप्त किया जा सकता है।

यदि समुच्चय S, K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है, तो क्षेत्र K(S), K पर परिमेय फलनों के क्षेत्र में समाकृतिक है, जो कि S के समान कार्डिनैलिटी के चरों के एक समुच्चय में है। ऐसा प्रत्येक परिमेय फलन दो बहुपदों का अंश है। उन चरों में से कई, K में गुणांक के साथ।

दो बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान विशेषता है और उनके प्रमुख क्षेत्र पर समान पारगमन की डिग्री है।

अनुप्रयोग

क्षेत्र समरूपता के बारे में विभिन्न अस्तित्व बयानों को साबित करने के लिए ट्रान्सेंडेंस बेस एक उपयोगी उपकरण है। यहाँ एक उदाहरण दिया गया है: एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड L, एक फ़ील्ड एक्सटेंशन K और K के एक फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म f को देखते हुए, L का एक फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म मौजूद है जो f को बढ़ाता है (अर्थात जिसका K से प्रतिबंध f है)। सबूत के लिए, एक एल / के के एक पारगमन आधार एस के साथ शुरू होता है। के (एस) के तत्व के में गुणांक के साथ एस के तत्वों में बहुपदों के अंश हैं; इसलिए automorphism f को S के प्रत्येक तत्व को स्वयं भेजकर K(S) में से किसी एक तक बढ़ाया जा सकता है। क्षेत्र L, K(S) का बीजगणितीय संवरण है और बीजगणितीय संवरण तुल्याकारिता तक अद्वितीय हैं; इसका मतलब है कि ऑटोमोर्फिज्म को आगे K(S) से L तक बढ़ाया जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग के रूप में, हम दिखाते हैं कि सम्मिश्र संख्या 'सी' के (कई) उचित उपक्षेत्र हैं जो (फ़ील्ड के रूप में) 'सी' के समरूपी हैं। प्रमाण के लिए 'सी'/'क्यू' का एक ट्रान्सेंडेंस आधार एस लें। एस एक अनंत (यहां तक कि बेशुमार) सेट है, इसलिए मौजूद हैं (कई) मानचित्र एफ: एस → एस जो इंजेक्शन हैं लेकिन विशेषण नहीं हैं। ऐसे किसी भी मानचित्र को एक क्षेत्र समाकारिता 'Q'(S) → 'Q'(S) तक विस्तारित किया जा सकता है जो विशेषण नहीं है। इस तरह के एक क्षेत्र समरूपता को बीजगणितीय समापन 'C' तक बढ़ाया जा सकता है, और परिणामी क्षेत्र समरूपता 'C' → 'C' विशेषण नहीं हैं।

ट्रान्सेंडेंस डिग्री एक क्षेत्र के आकार की सहज समझ दे सकती है। उदाहरण के लिए, कार्ल लुडविग सीगल के कारण एक प्रमेय में कहा गया है कि यदि X आयाम n का एक कॉम्पैक्ट, जुड़ा हुआ, जटिल कई गुना है और K(X) उस पर (वैश्विक रूप से परिभाषित) मेरोमोर्फिक कार्यों के क्षेत्र को दर्शाता है, तो trdeg_C(के (एक्स)) ≤ एन।

यह भी देखें

नियमित विस्तार

संदर्भ

↑ James S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.
↑ Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.

[1] James S. Milne, Fields and Galois Theory, pp.100-101.

[2] Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.

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