सतत कार्य (सेट सिद्धांत)

सेट सिद्धांत में, एक सतत फ़ंक्शन क्रमिक संख्याओं का एक क्रम है जैसे कि सीमा चरणों में ग्रहण किए गए मान पिछले चरणों में सभी मूल्यों की सीमा (सीमा श्रेष्ठ और सीमा अवर) हैं। अधिक औपचारिक रूप से, γ को एक क्रमसूचक होने दें, और $s:=\langle s_{\alpha }|\alpha <\gamma \rangle$ अध्यादेशों का γ-अनुक्रम बनें। तब s सतत है यदि प्रत्येक सीमा पर क्रमसूचक β < γ,

$s_{\beta }=\limsup\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\inf\{\sup\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}$

और

$s_{\beta }=\liminf\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\sup\{\inf\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}\,.$

वैकल्पिक रूप से, यदि s एक बढ़ता हुआ फ़ंक्शन है तो s निरंतर है यदि s: γ → रेंज एक सतत (टोपोलॉजी) है जब सेट प्रत्येक ऑर्डर टोपोलॉजी से सुसज्जित होते हैं। इन निरंतर कार्यों का उपयोग अक्सर सह-अंतिमता और कार्डिनल संख्याओं में किया जाता है।

एक सामान्य फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जो निरंतर और मोनोटोनिक फ़ंक्शन दोनों है।

संदर्भ

• Thomas Jech. Set Theory, 3rd millennium ed., 2002, Springer Monographs in Mathematics,Springer, ISBN 3-540-44085-2