सबमनीफोल्ड

स्व-चौराहों के साथ विसर्जित कई गुना सीधी रेखा

गणित में, कई गुना M का एक सबमनीफोल्ड एक उपसमुच्चय S है, जिसमें स्वयं मैनिफोल्ड की संरचना होती है, और जिसके लिए समावेशन मानचित्र S → M कुछ गुणों को संतुष्ट करता है। वास्तव में किन गुणों की आवश्यकता है, इस पर निर्भर करते हुए विभिन्न प्रकार के सबमनिफोल्ड हैं। अलग-अलग लेखकों की अक्सर अलग-अलग परिभाषाएँ होती हैं।

औपचारिक परिभाषा

निम्नलिखित में हम मानते हैं कि सभी कई गुना भिन्नता वर्ग सी के अलग-अलग कई गुना हैं^r निश्चित के लिए r ≥ 1, और सभी morphisms वर्ग सी के अलग-अलग हैं^{आर</सुप>.}

डूबे हुए सबमेनिफोल्ड्स

खुले अंतराल की यह छवि (तीर चिह्नित सिरों के साथ पहचाने जाने वाले सीमा बिंदुओं के साथ) एक विसर्जित सबमनीफोल्ड है।

कई गुना 'एम' का एक डूबा हुआ सबमेनिफोल्ड एक विसर्जन (गणित) मानचित्र की छवि 'एस' है f : N → M; सामान्य तौर पर यह छवि उपसमुच्चय के रूप में सबमेनिफोल्ड नहीं होगी, और एक विसर्जन मानचित्र को इंजेक्शन (एक-से-एक) होने की भी आवश्यकता नहीं है - इसमें स्वयं-चौराहे हो सकते हैं।

अधिक संकीर्ण रूप से, किसी को उस मानचित्र की आवश्यकता हो सकती है f : N → M एक इंजेक्शन (वन-टू-वन) हो, जिसमें हम इसे एक इंजेक्शन विसर्जन (गणित) कहते हैं, और एक डूबे हुए सबमनीफोल्ड को छवि उपसमुच्चय S के रूप में एक टोपोलॉजी (संरचना) और अंतर संरचना के साथ परिभाषित करते हैं। वह S एक बहुविध है और समावेशन f एक भिन्नता है: यह केवल N पर टोपोलॉजी है, जो सामान्य रूप से सबसेट टोपोलॉजी से सहमत नहीं होगा: सामान्य तौर पर सबसेट एस सबसेट टोपोलॉजी में एम का सबमनीफोल्ड नहीं है।

किसी भी इंजेक्शन विसर्जन को देखते हुए f : N → M एम में एन की छवि (गणित) को विशिष्ट रूप से एक डूबे हुए सबमनीफोल्ड की संरचना दी जा सकती है ताकि f : N → f(N) एक भिन्नता है। यह इस प्रकार है कि विसर्जित सबमनिफोल्ड्स वास्तव में इंजेक्शन विसर्जन की छवियां हैं।

डूबे हुए सबमेनिफोल्ड पर सबमेनिफोल्ड टोपोलॉजी को एम से विरासत में मिली सापेक्ष टोपोलॉजी नहीं होना चाहिए। सामान्य तौर पर, यह सबस्पेस टोपोलॉजी की तुलना में बेहतर टोपोलॉजी होगी (अर्थात अधिक खुले सेट हैं)।

डूबे हुए उप-समूह झूठ समूहों के सिद्धांत में होते हैं जहां झूठ उपसमूह स्वाभाविक रूप से डूबे हुए उप-समूह होते हैं। वे पत्ते के अध्ययन में भी दिखाई देते हैं जहां डूबे हुए सबमनिफोल्ड्स फ्रोबेनियस प्रमेय (अंतर टोपोलॉजी) को साबित करने के लिए सही संदर्भ प्रदान करते हैं।

एंबेडेड सबमेनिफोल्ड

एक एम्बेडेड सबमेनिफोल्ड (जिसे नियमित सबमेनिफोल्ड भी कहा जाता है), एक डूबा हुआ सबमेनिफोल्ड है जिसके लिए समावेशन नक्शा एक सामयिक एम्बेडिंग है। अर्थात्, S पर सबमेनिफोल्ड टोपोलॉजी सबस्पेस टोपोलॉजी के समान है।

किसी एम्बेडिंग को देखते हुए {{nowrap|f : N → M}एम में कई गुना एन की छवि एफ (एन) में स्वाभाविक रूप से एक एम्बेडेड सबमनीफोल्ड की संरचना होती है। यही है, एम्बेडेड सबमेनिफोल्ड्स बिल्कुल एम्बेडिंग की छवियां हैं।

एक एम्बेडेड सबमनीफोल्ड की आंतरिक परिभाषा है जो अक्सर उपयोगी होती है। एम को एक एन-आयामी कई गुना होने दें, और के को एक पूर्णांक होने दें 0 ≤ k ≤ n. एम का एक के-डायमेंशनल एम्बेडेड सबमनीफोल्ड एक सबसेट है S ⊂ M ऐसा है कि हर बिंदु के लिए p ∈ S एक चार्ट मौजूद है (टोपोलॉजी) (U ⊂ M, φ : U → Rⁿ) जिसमें p ऐसा हो φ(S ∩ U) φ(U) के साथ k-आयामी समतल (गणित) का प्रतिच्छेदन है। जोड़े (S ∩ U, φ|_{S ∩ U}) S पर डिफरेंशियल स्ट्रक्चर के लिए एक एटलस (टोपोलॉजी) बनाते हैं।

अलेक्जेंडर का प्रमेय और शोएनफ्लाई प्रमेय|जॉर्डन-शॉनफ्लाई प्रमेय सहज एम्बेडिंग के अच्छे उदाहरण हैं।

अन्य विविधताएं

साहित्य में उपयोग किए जाने वाले सबमनिफोल्ड्स के कुछ अन्य रूप हैं। एक साफ सबमेनिफोल्ड साफ सबमनीफोल्ड है जिसकी सीमा पूरे मैनिफोल्ड की सीमा से सहमत है। शार्प (1997) एक प्रकार के सबमेनिफोल्ड को परिभाषित करता है जो एक एम्बेडेड सबमेनिफोल्ड और एक डूबे हुए सबमेनिफोल्ड के बीच कहीं स्थित होता है।

कई लेखक टोपोलॉजिकल सबमनिफोल्ड्स को भी परिभाषित करते हैं। ये सी के समान हैं^r सबमेनिफोल्ड्स के साथ r = 0. एम्बेडिंग का विस्तार करने वाले प्रत्येक बिंदु पर एक स्थानीय चार्ट के अस्तित्व के अर्थ में एक एम्बेडेड टोपोलॉजिकल सबमनीफोल्ड आवश्यक रूप से नियमित नहीं है। प्रति-उदाहरणों में जंगली चाप और जंगली गाँठ शामिल हैं।

गुण

एम के किसी भी विसर्जित सबमनीफोल्ड एस को देखते हुए, एस में एक बिंदु पी के स्पर्शरेखा स्थान को स्वाभाविक रूप से एम में पी के स्पर्शरेखा स्थान के रैखिक उप-स्थान के रूप में माना जा सकता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि समावेशन नक्शा एक विसर्जन है और एक प्रदान करता है इंजेक्शन

$i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.$

मान लीजिए S, M का एक डूबा हुआ सबमेनिफोल्ड है। यदि समावेशन मानचित्र i : S → M बंद नक्शा है तो एस वास्तव में एम का एक एम्बेडेड सबमनीफोल्ड है। इसके विपरीत, यदि एस एक एम्बेडेड सबमनीफोल्ड है जो एक बंद उपसमूह भी है तो समावेशन नक्शा बंद है। समावेशन नक्शा i : S → M बंद है अगर और केवल अगर यह एक उचित नक्शा है (यानी कॉम्पैक्ट सेट की उलटी छवियां कॉम्पैक्ट हैं)। यदि i बंद है तो S को M का 'क्लोज्ड एंबेडेड सबमेनिफोल्ड' कहा जाता है। क्लोज्ड एंबेडेड सबमैनिफोल्ड्स सबमेनिफोल्ड्स का सबसे अच्छा वर्ग बनाते हैं।

वास्तविक समन्वय स्थान के सबमनीफोल्ड्स

स्मूथ मैनिफोल्ड्स को कभी-कभी वास्तविक समन्वय स्थान 'आर' के एम्बेडेड सबमनिफोल्ड्स के रूप में परिभाषित किया जाता है।ⁿ, कुछ n के लिए। यह दृष्टिकोण सामान्य, सार दृष्टिकोण के बराबर है, क्योंकि, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय द्वारा, किसी भी दूसरे-गणनीय स्थान | दूसरे-गणनीय चिकनी (सार) एम-कई गुना 'आर' में आसानी से एम्बेड किया जा सकता है^2मी.

संदर्भ

• Choquet-Bruhat, Yvonne (1968). Géométrie différentielle et systèmes extérieurs. Paris: Dunod.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 218. New York: Springer. ISBN 0-387-95495-3.
• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. New York: Springer. ISBN 0-387-90894-3.