समापन (गणित)

गणित में, किसी दिए गए सेट (गणित) का एक उपसमुच्चय बड़े सेट के एक ऑपरेशन (गणित) के तहत बंद हो जाता है यदि उस उपसमुच्चय के सदस्यों पर उस ऑपरेशन को करने से हमेशा उस सबसेट का एक सदस्य उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएं जोड़ के तहत बंद हैं, लेकिन घटाव के तहत नहीं: 1 − 2 प्राकृतिक संख्या नहीं है, हालांकि 1 और 2 दोनों हैं।

इसी तरह, एक उपसमुच्चय को संक्रियाओं के संग्रह के तहत बंद कहा जाता है यदि यह व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक संक्रिया के तहत बंद है।

सबसेट का 'क्लोजर' सबसेट पर लागू क्लोजर ऑपरेटर का परिणाम है। कुछ ऑपरेशनों के तहत एक सबसेट का बंद होना सबसे छोटा सबसेट है जो इन ऑपरेशनों के तहत बंद होता है। इसे अक्सर स्पैन (उदाहरण के लिए लीनियर स्पैन) या जेनरेटेड सेट कहा जाता है।

परिभाषाएँ

होने देना $S$ के तत्वों के उत्पादन के लिए एक या कई तरीकों से लैस एक सेट (गणित) हो $S$ के अन्य तत्वों से $S$ .^{[note 1]} उपसमुच्चय $X$ का $S$ इन विधियों के तहत बंद कहा जाता है, अगर, जब सभी इनपुट तत्व अंदर हों $X$ , तो सभी संभावित परिणाम भी अंदर हैं $X$ . कभी-कभी कोई ऐसा भी कहता है $X$ हैclosure property.

बंद सेटों की मुख्य संपत्ति, जो परिभाषा से तुरंत परिणाम देती है, यह है कि बंद सेटों का हर सेट चौराहा एक बंद सेट है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $Y$ का $S$ , सबसे छोटा बंद उपसमुच्चय है $X$ का $S$ ऐसा है कि $Y\subseteq X$ (यह सभी बंद उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन है जिसमें शामिल है $Y$ ). संदर्भ के आधार पर, $X$ का समापन कहा जाता है $Y$ या सेट जनरेटिंग सेट या स्पैन (रैखिक बीजगणित) द्वारा $Y$ .

बंद सेट और क्लोजर की अवधारणा को अक्सर उपसमुच्चय की किसी भी संपत्ति तक बढ़ाया जाता है जो चौराहे के नीचे स्थिर होता है; अर्थात्, उपसमुच्चय के प्रत्येक प्रतिच्छेदन जिसके पास गुण है, के पास भी गुण है। उदाहरण के लिए, में $\mathbb {C} ^{n},$ एक ज़रिस्की-बंद सेट, जिसे बीजगणितीय सेट के रूप में भी जाना जाता है, बहुपदों के एक परिवार के सामान्य शून्य का सेट है, और एक सेट का ज़रिस्की बंद $V$ अंकों का सबसे छोटा बीजगणितीय सेट है जिसमें शामिल है $V$ .

बीजगणितीय संरचनाओं में

एक बीजगणितीय संरचना संक्रिया (गणित) से सुसज्जित एक सेट है जो कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। ये स्वयंसिद्ध पहचान (गणित) हो सकते हैं। कुछ स्वयंसिद्धों में अस्तित्वगत परिमाणक हो सकते हैं $\exists ;$ इस मामले में यह कुछ सहायक संक्रियाओं को जोड़ने के लायक है ताकि सभी स्वयंसिद्ध सर्वसमिकाएं या पूरी तरह से सार्वभौमिक रूप से परिमाणित सूत्र बन जाएं। विवरण के लिए बीजगणितीय संरचना देखें।

इस संदर्भ में, एक बीजगणितीय संरचना दी गई है $S$ , एक उपसंरचना (गणित)। $S$ एक उपसमुच्चय है जो के सभी कार्यों के तहत बंद है $S$ , अस्तित्वगत क्वांटिफायर से बचने के लिए आवश्यक सहायक संचालन सहित। एक उपसंरचना उसी प्रकार की एक बीजगणितीय संरचना है $S$ . यह इस प्रकार है कि, एक विशिष्ट उदाहरण में, जब निकटता सिद्ध हो जाती है, तो साबित करने के लिए स्वयंसिद्धों की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है कि एक उपसंरचना एक ही प्रकार की संरचना है।

एक उपसमुच्चय दिया $X$ एक बीजगणितीय संरचना का $S$ , का बंद होना $X$ की सबसे छोटी उपसंरचना है $S$ के सभी कार्यों के तहत बंद है $S$ . बीजगणितीय संरचनाओं के संदर्भ में, इस बंद को आम तौर पर उपसंरचना कहा जाता है जिसे उत्पन्न या फैलाया जाता है $X$ , और एक कहता है $X$ सबस्ट्रक्चर का एक जनरेटिंग सेट है।

उदाहरण के लिए, एक समूह (गणित) एक साहचर्य संक्रिया वाला एक समुच्चय है, जिसे अक्सर गुणा कहा जाता है, एक पहचान तत्व के साथ, जैसे कि प्रत्येक तत्व में एक व्युत्क्रम तत्व होता है। यहां, सहायक संचालन अशक्त ऑपरेशन हैं जिसके परिणामस्वरूप पहचान तत्व और व्युत्क्रम का एकात्मक संचालन होता है। एक समूह का एक उपसमुच्चय जो गुणन और व्युत्क्रम के तहत बंद है, वह भी अशक्त ऑपरेशन के तहत बंद है (अर्थात, इसमें पहचान शामिल है) अगर और केवल अगर यह खाली नहीं है। तो, एक समूह का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय जो गुणन और व्युत्क्रम के तहत बंद है, एक समूह है जिसे उपसमूह कहा जाता है। किसी एक तत्व द्वारा उत्पन्न उपसमूह, अर्थात् इस तत्व के बंद होने को चक्रीय समूह कहा जाता है।

रेखीय बीजगणित में, एक सदिश स्थान (वेक्टर-अंतरिक्ष संचालन के तहत, अर्थात, जोड़ और अदिश गुणन) के एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय का बंद होना इस उपसमुच्चय का रैखिक विस्तार है। यह पूर्ववर्ती सामान्य परिणाम द्वारा एक सदिश समष्टि है, और यह आसानी से सिद्ध किया जा सकता है कि उपसमुच्चय के तत्वों के रैखिक संयोजनों का समुच्चय है।

इसी तरह के उदाहरण लगभग हर बीजगणितीय संरचनाओं के लिए दिए जा सकते हैं, कभी-कभी कुछ विशिष्ट शब्दावली के साथ। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय वलय में, आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) संक्रियाओं के अंतर्गत एकल तत्व के बंद होने को प्रधान आदर्श कहा जाता है।

टोपोलॉजी में

टोपोलॉजी और संबंधित शाखाओं में, प्रासंगिक संचालन सीमाएँ ले रहा है। एक सेट का टोपोलॉजिकल क्लोजर संबंधित क्लोजर ऑपरेटर है। Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्ध इस ऑपरेटर की विशेषता है।

बाइनरी संबंध

एक सेट पर एक द्विआधारी संबंध $A$ एक उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $R$ का $A\times A,$ के तत्वों के क्रमित युग्मों का समुच्चय $A$ . अंकन $xRy$ के लिए सामान्यतः प्रयोग किया जाता है $(x,y)\in R.$ क्लोजर को परिभाषित करने के लिए संबंधों पर कई गुण या संचालन का उपयोग किया जा सकता है। कुछ सबसे आम अनुसरण करते हैं।

प्रतिवर्त संबंध: एक रिश्ता $R$ मंच पर $A$ प्रतिवर्त है अगर $(x,x)\in R$ हरएक के लिए $x\in A.$ जैसा कि रिफ्लेक्सिव संबंधों का हर चौराहा रिफ्लेक्सिव होता है, यह क्लोजर को परिभाषित करता है। किसी संबंध का प्रतिवर्त समापन $R$ ऐसा इसलिए $R\cup \{(x,x)\mid x\in A\}.$
सममित संबंध: सममिति एकात्मक संक्रिया है $A\times A$ वह मानचित्र $(x,y)$ को $(y,x).$ एक संबंध सममित होता है यदि यह इस संक्रिया के तहत बंद होता है, और एक संबंध का सममित समापन होता है $R$ इस संबंध के तहत इसका समापन है।

सकर्मक संबंध

संक्रमणशीलता को पर आंशिक संक्रिया द्वारा परिभाषित किया जाता है

A\times A

वह मानचित्र

(x,y)

और

(y,z)

को

(x,z).

इस ऑपरेशन के तहत बंद होने पर एक संबंध सकर्मक होता है, और इस ऑपरेशन के तहत एक संबंध का सकर्मक समापन इसका समापन होता है।

एक पूर्व-आदेश एक संबंध है जो चिंतनशील और सकर्मक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी संबंध का 'रिफ्लेक्सिव ट्रांजिटिव क्लोजर' इसमें शामिल सबसे छोटा प्रीऑर्डर है। इसी प्रकार, किसी संबंध का 'प्रतिवर्ती सकर्मक सममितीय संवरण' या 'समतुल्य संवरण' वह लघुतम तुल्यता संबंध होता है जिसमें यह समाविष्ट होता है।

अन्य उदाहरण

मैट्रॉइड थ्योरी में, X का बंद होना X का सबसे बड़ा सुपरसेट है जिसकी रैंक X के समान है।
सकर्मक सेट # एक सेट (गणित) का सकर्मक समापन।^[1]
एक क्षेत्र (बीजगणित) का बीजगणितीय समापन।^[2]
एक क्षेत्र (गणित) में एक अभिन्न डोमेन का अभिन्न समापन जिसमें यह शामिल है।
क्रमविनिमेय वलय में आदर्श का मूलांक।
ज्यामिति में, बिंदुओं के समुच्चय S का उत्तल हल सबसे छोटा उत्तल समुच्चय होता है, जिसमें S एक उपसमुच्चय होता है।^[3]
औपचारिक भाषाओं में, किसी भाषा के क्लेन क्लोजर को स्ट्रिंग्स के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे उस भाषा से शून्य या अधिक स्ट्रिंग्स को जोड़कर बनाया जा सकता है।
समूह सिद्धांत में, समूह (गणित) तत्वों के एक सेट का संयुग्म बंद या सामान्य बंद सेट युक्त सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है।
गणितीय विश्लेषण और संभाव्यता सिद्धांत में, सेट के गणनीय बीजगणित के तहत एक्स के सबसेट के संग्रह को बंद करने को सिग्मा-बीजगणित कहा जाता है। संग्रह द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित।

क्लोजर ऑपरेटर

पिछले अनुभागों में, किसी दिए गए सेट के सबसेट के लिए क्लोजर पर विचार किया जाता है। सेट समावेशन के लिए एक सेट के सबसेट आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पॉसेट) का निर्माण करते हैं। क्लोजर ऑपरेटर किसी भी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को बंद करने की अवधारणा को सामान्य बनाने की अनुमति देते हैं।

एक पोसेट दिया $S$ जिसका आंशिक क्रम से निरूपित किया जाता है $\leq$ , एक क्लोजर ऑपरेटर ऑन $S$ एक कार्य है (गणित) $C:S\to S$ जो बढ़ रहा है ( $x\leq C(x)$ सबके लिए $x\in S$ ), बेवकूफ ( $C(C(x))=C(x)$ ), और मोनोटोनिक ( $x\leq y\implies C(x)\leq C(y)$ ).^[4] समान रूप से, से एक समारोह $S$ को $S$ एक क्लोजर ऑपरेटर है अगर $x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)$ सबके लिए $x,y\in S.$ का एक तत्व $S$ अगर बंद है अगर यह खुद बंद है, यानी अगर $x=C(x).$ आलस्य से, एक तत्व बंद हो जाता है अगर और केवल अगर यह किसी तत्व का बंद होना है $S$ .

क्लोजर ऑपरेटर का एक उदाहरण जो सबसेट पर काम नहीं करता है, सीलिंग फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है, जो हर वास्तविक संख्या को मैप करता है $x$ सबसे छोटा पूर्णांक जो इससे छोटा नहीं है $x$ .

क्लोजर ऑपरेटर बनाम बंद सेट

किसी दिए गए सेट के सबसेट पर क्लोजर को क्लोजर ऑपरेटर या बंद सेट के सेट द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो चौराहे के नीचे स्थिर है और दिए गए सेट को शामिल करता है। ये दो परिभाषाएँ समकक्ष हैं।

दरअसल, क्लोजर ऑपरेटर के परिभाषित गुण $C$ तात्पर्य है कि बंद सेटों का एक चौराहा बंद है: यदि ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ तब बंद सेटों का एक चौराहा है $C(X)$ शामिल होना चाहिए $X$ और प्रत्येक में निहित हो $X_{i}.$ यह संकेत करता है $C(X)=X$ चौराहे की परिभाषा के द्वारा।

इसके विपरीत, यदि बंद सेट दिए गए हैं और बंद सेटों का प्रत्येक प्रतिच्छेदन बंद है, तो एक क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित किया जा सकता है $C$ ऐसा है कि $C(X)$ युक्त बंद सेटों का चौराहा है $X$ .

यह तुल्यता सबसे बड़ी-निचली-बाध्य संपत्ति के साथ आंशिक रूप से आदेशित सेटों के लिए सही रहती है, यदि कोई कोठरी सेट को बंद तत्वों और चौराहे को सबसे बड़ी निचली सीमा से बदल देता है।

↑ Operations and (partial) multivariate function are examples of such methods. If $S$ is a topological space, the limit of a sequence of elements of $S$ is an example, where there are an infinity of input elements and the result is not always defined. If $S$ is a field the roots in $S$ of a polynomial with coefficients in $S$ is another example where the result may be not unique.

संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.
↑ Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.
↑ Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory. Princeton University Press. p. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...convex hull of S, denoted by coS, is the smallest convex set containing S.
↑ Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Am. Math. Soc. p. 111. ISBN 9780821889534.

Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". MathWorld.श्रेणी: क्लोजर ऑपरेटर्स श्रेणी:सार बीजगणित

[1] Operations and (partial) multivariate function are examples of such methods. If $S$ is a topological space, the limit of a sequence of elements of $S$ is an example, where there are an infinity of input elements and the result is not always defined. If $S$ is a field the roots in $S$ of a polynomial with coefficients in $S$ is another example where the result may be not unique.

[:0-2] Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.

[3] Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.

[4] Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory. Princeton University Press. p. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...convex hull of S, denoted by coS, is the smallest convex set containing S.

[5] Birkhoff, Garrett (1967). Lattice Theory. Colloquium Publications. Vol. 25. Am. Math. Soc. p. 111. ISBN 9780821889534.

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समापन (गणित)

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