समापन (टोपोलॉजी)

For other uses, see Closure (disambiguation).

टोपोलॉजी में, एक उपसमुच्चय का बंद होना {{mvar|S}टोपोलॉजिकल स्पेस में } बिंदुओं में सभी टोपोलॉजी शब्दावली#Ps शामिल होते हैं S के सभी सीमा बिंदुओं के साथ S. का समापन S को समान रूप से संघ (सेट सिद्धांत) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है S और इसकी सीमा (टोपोलॉजी), और सभी बंद सेटों के इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) के रूप में भी S. सहज रूप से, समापन को उन सभी बिंदुओं के रूप में सोचा जा सकता है जो या तो अंदर हैं S या बहुत निकट S. एक बिंदु जो के समापन में है S का अनुवर्ती बिंदु है S. बंद करने की धारणा कई मायनों में आंतरिक (टोपोलॉजी) की धारणा का द्वंद्व (गणित) है।

परिभाषाएँ

बंद होने का बिंदु

Main article: Adherent point

के लिए $S$ यूक्लिडियन स्थान के उपसमुच्चय के रूप में, $x$ के बंद होने का बिंदु है $S$ यदि प्रत्येक खुली गेंद केन्द्रित हो $x$ का एक बिंदु शामिल है $S$ (यह बिंदु हो सकता है $x$ अपने आप)।

यह परिभाषा किसी भी उपसमुच्चय का सामान्यीकरण करती है $S$ एक मीट्रिक स्थान का $X.$ पूरी तरह से व्यक्त, के लिए $X$ मीट्रिक के साथ मीट्रिक स्थान के रूप में $d,$ $x$ के बंद होने का बिंदु है $S$ यदि प्रत्येक के लिए $r>0$ वहाँ कुछ मौजूद है $s\in S$ इतनी कि दूरी $d(x,s)<r$ ($x=s$ अनुमति दी है)। इसे व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह कहना है $x$ के बंद होने का बिंदु है $S$ अगर दूरी $d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0$ कहाँ $\inf$ अनंत और सर्वोच्च है.

यह परिभाषा ओपन बॉल या बॉल को टोपोलॉजी शब्दावली#एन से प्रतिस्थापित करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को सामान्यीकृत करती है। होने देना $S$ टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमूह बनें $X.$ तब $x$ एक है point of closure या adherent point का $S$ यदि प्रत्येक पड़ोस $x$ का एक बिंदु शामिल है $S$ (दोबारा, $x=s$ के लिए $s\in S$ अनुमति दी है)। ध्यान दें कि यह परिभाषा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि आस-पड़ोस का खुला रहना आवश्यक है या नहीं।

सीमा बिंदु

Main article: Limit point of a set

किसी सेट के समापन बिंदु की परिभाषा किसी सेट के सीमा बिंदु की परिभाषा से निकटता से संबंधित है। दोनों परिभाषाओं के बीच अंतर सूक्ष्म लेकिन महत्वपूर्ण है - अर्थात्, एक सीमा बिंदु की परिभाषा में $x$ एक सेट का $S$, के हर पड़ोस $x$ का एक बिंदु होना चाहिए $S$ other than $x$ itself, यानी, प्रत्येक पड़ोस $x$ जाहिर तौर पर है $x$ लेकिन इसका भी एक बिंदु होना चाहिए $S$ वह बराबर नहीं है $x$ के क्रम में $x$ का एक सीमा बिंदु होना $S$. का एक सीमा बिंदु $S$ को बंद करने के एक बिंदु से भी अधिक सख्त शर्त है $S$ परिभाषाओं में. किसी समुच्चय के सभी सीमा बिंदुओं का समुच्चय $S$ कहा जाता है derived set of $S$. किसी समुच्चय के सीमा बिंदु को समुच्चय का क्लस्टर बिंदु या संचय बिंदु भी कहा जाता है।

इस प्रकार, प्रत्येक सीमा बिंदु एक समापन बिंदु है, लेकिन प्रत्येक समापन बिंदु एक सीमा बिंदु नहीं है। समापन का एक बिंदु जो सीमा बिंदु नहीं है वह एक पृथक बिंदु है। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु $x$ का एक पृथक बिंदु है $S$ यदि यह का एक तत्व है $S$ और का एक पड़ोस है $x$ जिसमें कोई अन्य बिंदु शामिल नहीं है $S$ बजाय $x$ अपने आप। किसी दिए गए सेट के लिए $S$ और बिंदु $x,$ $x$ के बंद होने का बिंदु है $S$ अगर और केवल अगर $x$ का एक तत्व है $S$ या $x$ का एक सीमा बिंदु है $S$ (अथवा दोनों)।

एक सेट का बंद होना

See also: Closure (mathematics)

वह closure एक उपसमुच्चय का $S$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $(X,\tau ),$ द्वारा चिह्नित $\operatorname {cl} _{(X,\tau )}S$ या संभवतः द्वारा $\operatorname {cl} _{X}S$ (अगर $\tau$ समझा जाता है), जहां यदि दोनों $X$ और $\tau$ सन्दर्भ से स्पष्ट हैं तो इसे इससे भी निरूपित किया जा सकता है $\operatorname {cl} S,$ ${\overline {S}},$ या $S{}^{-}$ (इसके अतिरिक्त, $\operatorname {cl}$ कभी-कभी पूंजीकृत किया जाता है $\operatorname {Cl}$.) को निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाओं में से किसी का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है:

<ली>$\operatorname {cl} S$ के सभी अनुवर्ती बिंदु का समुच्चय है $S.$ <ली>$\operatorname {cl} S$ सेट है $S$ व्युत्पन्न सेट (गणित) के साथ। (प्रत्येक बिंदु $S$ के बंद होने का बिंदु है $S$, और प्रत्येक सीमा बिंदु $S$ के बंद होने का बिंदु भी है $S$.) <ली>$\operatorname {cl} S$ सभी बंद सेटों का प्रतिच्छेदन है $S.$ <ली>$\operatorname {cl} S$ सबसे छोटा बंद सेट है जिसमें शामिल है $S.$ <ली>$\operatorname {cl} S$ का मिलन है $S$ और इसकी सीमा (टोपोलॉजी) $\partial (S).$ <ली>$\operatorname {cl} S$ सबका समुच्चय है $x\in X$ जिसके लिए एक नेट (गणित) (मूल्यवान) मौजूद है $S$ जो कि एकत्रित हो जाता है $x$ में $(X,\tau ).$

किसी सेट के बंद होने में निम्नलिखित गुण होते हैं।

• $\operatorname {cl} S$ का एक बंद सेट सुपरसेट है $S$.
• सेट $S$ बंद है यदि और केवल यदि $S=\operatorname {cl} S$.
• अगर $S\subseteq T$ तब $\operatorname {cl} S$ का एक उपसमुच्चय है $\operatorname {cl} T.$
• अगर $A$ तो, यह एक बंद सेट है $A$ रोकना $S$ अगर और केवल अगर $A$ रोकना $\operatorname {cl} S.$

कभी-कभी उपरोक्त दूसरी या तीसरी संपत्ति के रूप में ली जाती है definition टोपोलॉजिकल क्लोजर का, जो अन्य प्रकार के क्लोजर पर लागू होने पर भी समझ में आता है (नीचे देखें)। प्रथम-गणनीय स्थान में (जैसे मीट्रिक स्थान), $\operatorname {cl} S$ बिंदुओं के सभी अभिसरण अनुक्रमों के अनुक्रम की सभी सीमाओं का समुच्चय है $S.$ सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, यदि कोई अनुक्रम को नेट (गणित) या फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) द्वारा प्रतिस्थापित करता है तो यह कथन सत्य रहता है (जैसा कि टोपोलॉजी में फ़िल्टर पर आलेख में वर्णित है)।

ध्यान दें कि ये गुण भी संतुष्ट हैं यदि क्लोजर, सुपरसेट, इंटरसेक्शन, सम्‍मिलित/युक्त, सबसे छोटा और बंद को इंटीरियर, सबसेट, यूनियन, सम्‍मिलित, सबसे बड़ा और ओपन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस मामले पर अधिक जानकारी के लिए नीचे क्लोजर (टोपोलॉजी)#क्लोजर ऑपरेटर देखें।

उदाहरण

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक गोले पर विचार करें। स्पष्ट रूप से इस क्षेत्र द्वारा निर्मित रुचि के दो क्षेत्र हैं; गोला स्वयं और उसका आंतरिक भाग (जिसे ओपन 3-बॉल (गणित) कहा जाता है)। गोले के आंतरिक और सतह के बीच अंतर करना उपयोगी है, इसलिए हम खुली 3-गेंद (गोले का आंतरिक भाग) और बंद 3-गेंद के बीच अंतर करते हैं - खुली 3-गेंद का बंद होना जो कि है 3-गेंद प्लस सतह खोलें (सतह गोले के रूप में ही)।

टोपोलॉजिकल स्पेस में:

• किसी भी स्थान में, $\varnothing =\operatorname {cl} \varnothing$. दूसरे शब्दों में, खाली सेट का बंद होना $\varnothing$ है $\varnothing$ अपने आप।
• किसी भी स्थान पर $X,$ $X=\operatorname {cl} X.$

दे रही है $\mathbb {R}$ और $\mathbb {C}$ मानक टोपोलॉजी|मानक (मीट्रिक) टोपोलॉजी:

• अगर $X$ यूक्लिडियन स्थान है $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का, फिर $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]$. दूसरे शब्दों में, सेट का बंद होना $(0,1)$ के उपसमुच्चय के रूप में $X$ है $[0,1]$.
• अगर $X$ यूक्लिडियन स्थान है $\mathbb {R}$, फिर सेट का समापन $\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं का संपूर्ण स्थान है $\mathbb {R} .$ हम ऐसा कहते हैं $\mathbb {Q}$ में सघन (टोपोलॉजी) है $\mathbb {R} .$
• अगर $X$ सम्मिश्र संख्या है $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},$ तब $\operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.$
• अगर $S$ यूक्लिडियन स्पेस का एक सीमित सेट उपसमुच्चय है $X,$ तब $\operatorname {cl} _{X}S=S.$ (सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, यह गुण T1 स्पेस|T के बराबर है₁ स्वयंसिद्ध।)

वास्तविक संख्याओं के सेट पर कोई मानक टोपोलॉजी के बजाय अन्य टोपोलॉजी रख सकता है।

• अगर $X=\mathbb {R}$ तो, निचली सीमा टोपोलॉजी से संपन्न है $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).$
• यदि कोई विचार करता है $X=\mathbb {R}$ असतत टोपोलॉजी जिसमें प्रत्येक सेट बंद (खुला) होता है $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).$
• यदि कोई विचार करता है $X=\mathbb {R}$ तुच्छ टोपोलॉजी जिसमें केवल बंद (खुले) सेट खाली सेट होते हैं और $\mathbb {R}$ तो फिर खुद $\operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .$

ये उदाहरण दिखाते हैं कि किसी सेट का बंद होना अंतर्निहित स्थान की टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। अंतिम दो उदाहरण निम्नलिखित के विशेष मामले हैं।

• किसी भी पृथक स्थान में, चूँकि प्रत्येक सेट बंद है (और खुला भी है), प्रत्येक सेट उसके बंद होने के बराबर है।
• किसी भी अज्ञात स्थान में $X,$ चूँकि केवल बंद सेट ही खाली सेट हैं और $X$ स्वयं, हमारे पास यह है कि खाली सेट का बंद होना खाली सेट है, और प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय के लिए $A$ का $X,$ $\operatorname {cl} _{X}A=X.$ दूसरे शब्दों में, किसी अविभाज्य स्थान का प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय सघन समुच्चय होता है।

किसी सेट का क्लोजर इस बात पर भी निर्भर करता है कि हम किस स्थान पर क्लोजर ले रहे हैं। उदाहरण के लिए, यदि $X$ यूक्लिडियन स्पेस से प्रेरित सामान्य उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ, तर्कसंगत संख्याओं का सेट है $\mathbb {R} ,$ और अगर $S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},$ तब $S$ क्लोपेन स्थापित है $\mathbb {Q}$ क्योंकि न तो $S$ न ही इसका पूरक शामिल हो सकता है ${\sqrt {2}}$, जो की निचली सीमा होगी $S$, लेकिन अंदर नहीं हो सकता $S$ क्योंकि ${\sqrt {2}}$ तर्कहीन है. इसलिए, $S$ सीमा तत्वों के अंदर न होने के कारण कोई अच्छी तरह से परिभाषित समापन नहीं है $\mathbb {Q}$. हालाँकि, अगर हम इसके बजाय परिभाषित करते हैं $X$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होना और उसी प्रकार अंतराल को परिभाषित करना, तब उस अंतराल का समापन भलीभांति परिभाषित होता है और सभी का समुच्चय होगा real numbers से अधिक or equal to ${\sqrt {2}}$.

क्लोजर ऑपरेटर

See also: Closure operator and Kuratowski closure axioms

ए closure operator एक सेट पर $X$ के घात समुच्चय का एक मानचित्र (गणित) है $X,$ ${\mathcal {P}}(X)$, अपने आप में जो कुराटोस्की समापन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $(X,\tau )$, टोपोलॉजिकल क्लोजर एक फ़ंक्शन को प्रेरित करता है $\operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)$ जिसे एक उपसमुच्चय भेजकर परिभाषित किया गया है $S\subseteq X$ को $\operatorname {cl} _{X}S,$ जहां अंकन ${\overline {S}}$ या $S^{-}$ इसके स्थान पर उपयोग किया जा सकता है। इसके विपरीत, यदि $\mathbb {c}$ एक सेट पर क्लोजर ऑपरेटर है $X,$ फिर बंद सेटों को ठीक उन्हीं उपसमुच्चयों के रूप में परिभाषित करके एक टोपोलॉजिकल स्पेस प्राप्त किया जाता है $S\subseteq X$ जो संतुष्ट करता है $\mathbb {c} (S)=S$ (इसलिए इसमें पूरक है $X$ इनमें से सबसेट टोपोलॉजी के खुले सेट बनाते हैं)। बंद करने वाला ऑपरेटर $\operatorname {cl} _{X}$ इंटीरियर (टोपोलॉजी) ऑपरेटर के लिए द्वैत (गणित) है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है $\operatorname {int} _{X},$ इस अर्थ में कि

$\operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),$

और भी

$\operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).$

इसलिए, क्लोजर ऑपरेटरों के अमूर्त सिद्धांत और कुराटोस्की क्लोजर एक्सिओम्स को सेट को उनके पूरक (सेट सिद्धांत) के साथ प्रतिस्थापित करके आंतरिक ऑपरेटरों की भाषा में आसानी से अनुवादित किया जा सकता है। $X.$ सामान्य तौर पर, क्लोजर ऑपरेटर चौराहों से आवागमन नहीं करता है। हालाँकि, संपूर्ण मीट्रिक स्थान में निम्नलिखित परिणाम मान्य होता है:

Theorem (C. Ursescu) — Let $S_{1},S_{2},\ldots$ be a sequence of subsets of a complete metric space $X.$

• If each $S_{i}$ is closed in $X$ then
  $$\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$$
• If each $S_{i}$ is open in $X$ then
  $$\operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].$$

बंद होने के बारे में तथ्य

उपसमुच्चय $S$ बंद सेट है $X$ अगर और केवल अगर $\operatorname {cl} _{X}S=S.$ विशेष रूप से:

• ख़ाली सेट का बंद होना ख़ाली सेट है;
• का समापन $X$ स्वयं है $X.$
• सबसेटों के एक इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) का समापन हमेशा सेटों के क्लोजर के इंटरसेक्शन का एक उपसमुच्चय होता है (लेकिन इसके बराबर होने की आवश्यकता नहीं है)।
• परिमित रूप से कई सेटों के एक संघ (सेट सिद्धांत) में, संघ का समापन और समापन का संघ बराबर होता है; शून्य समुच्चयों का संघ रिक्त समुच्चय है, और इसलिए इस कथन में एक विशेष मामले के रूप में रिक्त समुच्चय को बंद करने के बारे में पिछला कथन शामिल है।
• अनंत रूप से कई सेटों के मिलन का समापन बंदों के मिलन के बराबर होना आवश्यक नहीं है, लेकिन यह हमेशा बंदों के मिलन का एक सुपरसेट होता है।
  • इस प्रकार, जिस तरह दो बंद सेटों का मिलन बंद हो जाता है, उसी तरह क्लोजर भी बाइनरी यूनियनों पर वितरित होता है: यानी, $\operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).$ लेकिन जिस प्रकार अनंत अनेक बंद समुच्चयों का एक संघ आवश्यक रूप से बंद नहीं होता है, उसी प्रकार समापन भी आवश्यक रूप से अनंत संघों में वितरित नहीं होता है: अर्थात, $\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}$ संभव है जब $I$ अनंत है.

अगर $S\subseteq T\subseteq X$ और अगर $T$ का एक टोपोलॉजिकल उपस्थान है $X$ (मतलब है कि $T$ सबस्पेस टोपोलॉजी से संपन्न है $X$ उस पर प्रेरित करता है), फिर $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ और का समापन $S$ में गणना की गई $T$ के प्रतिच्छेदन के बराबर है $T$ और का समापन $S$ में गणना की गई $X$:

$$\operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.$$

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

क्योंकि $\operatorname {cl} _{X}S$ का एक बंद उपसमुच्चय है $X,$ चौराहा $T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ का एक बंद उपसमुच्चय है $T$ (सबस्पेस टोपोलॉजी की परिभाषा के अनुसार), जिसका तात्पर्य यह है $\operatorname {cl} _{T}S\subseteq T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ (क्योंकि $\operatorname {cl} _{T}S$ है smallest का बंद उपसमुच्चय $T$ युक्त $S$). क्योंकि $\operatorname {cl} _{T}S$ का एक बंद उपसमुच्चय है $T,$ सबस्पेस टोपोलॉजी की परिभाषा से, कुछ सेट मौजूद होना चाहिए $C\subseteq X$ ऐसा है कि $C$ में बंद है $X$ और $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap C.$ क्योंकि $S\subseteq \operatorname {cl} _{T}S\subseteq C$ और $C$ में बंद है $X,$ की न्यूनतमता $\operatorname {cl} _{X}S$ इसका आशय है $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq C.$ दोनों पक्षों को साथ में काटना $T$ पता चलता है कि $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=\operatorname {cl} _{T}S.$ $\blacksquare$

यह इस प्रकार है कि $S\subseteq T$ का एक सघन उपसमुच्चय है $T$ अगर और केवल अगर $T$ का एक उपसमुच्चय है $\operatorname {cl} _{X}S.$ के लिए यह संभव है $\operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ का एक उचित उपसमुच्चय होना $\operatorname {cl} _{X}S;$ उदाहरण के लिए, लीजिए $X=\mathbb {R} ,$ $S=(0,1),$ और $T=(0,\infty ).$ अगर $S,T\subseteq X$ लेकिन $S$ आवश्यक रूप से इसका उपसमुच्चय नहीं है $T$ सिर्फ तभी

$$\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S$$

हमेशा गारंटी दी जाती है, जहां यह रोकथाम सख्त हो सकती है (उदाहरण के लिए विचार करें)। $X=\mathbb {R}$ सामान्य टोपोलॉजी के साथ, $T=(-\infty ,0],$ और $S=(0,\infty )$), यद्यपि यदि $T$ के एक खुले उपसमुच्चय के साथ होता है $X$ फिर समानता $\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S$ (दोनों के बीच संबंध चाहे जो भी हो) कायम रहेगा $S$ और $T$).

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

होने देना $S,T\subseteq X$ और मान लीजिये $T$ में खुला है $X.$ होने देना $C:=\operatorname {cl} _{T}(T\cap S),$ जो के बराबर है $T\cap \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)$ (क्योंकि $T\cap S\subseteq T\subseteq X$). पूरक $T\setminus C$ में खुला है $T,$ कहाँ $T$ में खुला होना $X$ अब इसका तात्पर्य यह है $T\setminus C$ में भी खुला है $X.$ फलस्वरूप $X\setminus (T\setminus C)=(X\setminus T)\cup C$ का एक बंद उपसमुच्चय है $X$ कहाँ $(X\setminus T)\cup C$ रोकना $S$ एक उपसमुच्चय के रूप में (क्योंकि यदि $s\in S$ में है $T$ तब $s\in T\cap S\subseteq \operatorname {cl} _{T}(T\cap S)=C$), जिसका तात्पर्य यह है $\operatorname {cl} _{X}S\subseteq (X\setminus T)\cup C.$ दोनों पक्षों को साथ में काटना $T$ यह साबित करता है $T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=C.$ रिवर्स समावेशन इस प्रकार है $C\subseteq \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.$ $\blacksquare$

फलस्वरूप, यदि ${\mathcal {U}}$ का कोई खुला आवरण है $X$ और अगर $S\subseteq X$ तो क्या कोई उपसमुच्चय है:

$$\operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)$$

क्योंकि $\operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S$ हरएक के लिए $U\in {\mathcal {U}}$ (जहाँ हर $U\in {\mathcal {U}}$ इसके द्वारा प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $X$). यह समानता विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब $X$ एक मैनिफोल्ड (गणित) है और खुले आवरण में सेट है ${\mathcal {U}}$ समन्वय चार्ट के डोमेन हैं। शब्दों में, यह परिणाम दर्शाता है कि समापन $X$ किसी भी उपसमुच्चय का $S\subseteq X$ के किसी भी खुले कवर के सेट में स्थानीय रूप से गणना की जा सकती है $X$ और फिर एक साथ मिल गए। इस प्रकार, इस परिणाम को सुविख्यात तथ्य के अनुरूप देखा जा सकता है कि एक उपसमुच्चय $S\subseteq X$ में बंद है $X$ यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से बंद है तो सेट करें $X$, मतलब कि अगर ${\mathcal {U}}$ का कोई खुला आवरण है $X$ तब $S$ में बंद है $X$ अगर और केवल अगर $S\cap U$ में बंद है $U$ हरएक के लिए $U\in {\mathcal {U}}.$

कार्य और समापन

निरंतरता

Main article: Continuous function

एक समारोह $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच निरंतर कार्य होता है यदि और केवल तभी जब कोडोमेन के प्रत्येक बंद उपसमुच्चय की पूर्वछवि डोमेन में बंद हो; स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है: $f^{-1}(C)$ में बंद है $X$ जब कभी भी $C$ का एक बंद उपसमुच्चय है $Y.$ क्लोजर ऑपरेटर के संदर्भ में, $f:X\to Y$ निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq X,$

$$f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).$$

कहने का तात्पर्य यह है कि कोई भी तत्व दिया गया है $x\in X$ यह एक उपसमुच्चय के बंद होने से संबंधित है $A\subseteq X,$ $f(x)$ आवश्यक रूप से बंद करने के अंतर्गत आता है $f(A)$ में $Y.$ यदि हम इसे एक बिंदु घोषित करते हैं $x$ है close to उपसमुच्चय $A\subseteq X$ अगर $x\in \operatorname {cl} _{X}A,$ तब यह शब्दावली निरंतरता के स्पष्ट अंग्रेजी विवरण की अनुमति देती है: $f$ निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq X,$ $f$ उन बिंदुओं को मानचित्रित करें जो निकट हैं $A$ उन बिंदुओं के लिए जो करीब हैं $f(A).$ इस प्रकार निरंतर कार्य वास्तव में वे कार्य हैं जो बिंदुओं और सेटों के बीच निकटता संबंध को संरक्षित (आगे की दिशा में) करते हैं: एक फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि और केवल यदि जब भी कोई बिंदु सेट के करीब होता है तो उस बिंदु की छवि छवि के करीब होती है उस सेट का. इसी प्रकार, $f$ एक निश्चित दिए गए बिंदु पर निरंतर है $x\in X$ यदि और केवल यदि कभी भी $x$ एक उपसमुच्चय के करीब है $A\subseteq X,$ तब $f(x)$ इसके करीब है $f(A).$

बंद मानचित्र

Main article: Open and closed maps

एक समारोह $f:X\to Y$ एक (दृढ़ता से) बंद नक्शा है यदि और केवल यदि जब भी $C$ का एक बंद उपसमुच्चय है $X$ तब $f(C)$ का एक बंद उपसमुच्चय है $Y.$ क्लोजर ऑपरेटर के संदर्भ में, $f:X\to Y$ एक (दृढ़ता से) बंद नक्शा है यदि और केवल यदि $\operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq X.$ समान रूप से, $f:X\to Y$ एक (दृढ़ता से) बंद नक्शा है यदि और केवल यदि $\operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)$ प्रत्येक बंद उपसमुच्चय के लिए $C\subseteq X.$

श्रेणीबद्ध व्याख्या

क्लोजर ऑपरेटर को सार्वभौमिक तीरों के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

एक सेट का सत्ता स्थापित $X$ आंशिक क्रम श्रेणी (गणित) के रूप में महसूस किया जा सकता है $P$ जिसमें वस्तुएँ उपसमुच्चय हैं और आकारिकी समावेशन मानचित्र हैं $A\to B$ जब कभी भी $A$ का एक उपसमुच्चय है $B.$ इसके अलावा, एक टोपोलॉजी $T$ पर $X$ की एक उपश्रेणी है $P$ समावेशन फ़ैक्टर के साथ $I:T\to P.$ बंद उपसमुच्चय का वह समुच्चय जिसमें एक निश्चित उपसमुच्चय होता है $A\subseteq X$ अल्पविराम श्रेणी से पहचाना जा सकता है $(A\downarrow I).$ यह श्रेणी - एक आंशिक क्रम भी है - फिर प्रारंभिक वस्तु है $\operatorname {cl} A.$ इस प्रकार से एक सार्वभौमिक तीर है $A$ को $I,$ समावेशन द्वारा दिया गया $A\to \operatorname {cl} A.$ इसी प्रकार, प्रत्येक बंद सेट युक्त के बाद से $X\setminus A$ में निहित एक खुले सेट से मेल खाता है $A$ हम श्रेणी की व्याख्या कर सकते हैं $(I\downarrow X\setminus A)$ खुले उपसमुच्चय के समुच्चय के रूप में $A,$ टर्मिनल वस्तु के साथ $\operatorname {int} (A),$ का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी)। $A.$ क्लोजर के सभी गुण इस परिभाषा और उपरोक्त श्रेणियों के कुछ गुणों से प्राप्त किए जा सकते हैं। इसके अलावा, यह परिभाषा टोपोलॉजिकल क्लोजर और अन्य प्रकार के क्लोजर (उदाहरण के लिए बीजगणितीय क्लोजर) के बीच सटीक सादृश्य बनाती है, क्योंकि सभी सार्वभौमिक तीर के उदाहरण हैं।

यह भी देखें

• Adherent point
• Closure algebra
• बंद नियमित सेट, उनके इंटीरियर के बंद होने के बराबर एक सेट
• Derived set (mathematics)
• Interior (topology)
• Limit point of a set

ग्रन्थसूची

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बाहरी संबंध

• "Closure of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]