सहगणनीय टोपोलॉजी

किसी भी सेट X पर सहगणनीय टोपोलॉजी या गणनीय पूरक टोपोलॉजी में X के खाली सेट और सभी सहगणनीय उपसमुच्चय शामिल होते हैं, यानी वे सभी सेट जिनका X में पूरक (सेट सिद्धांत) गणनीय सेट है . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एकमात्र बंद उपसमुच्चय X और X के गणनीय उपसमुच्चय हैं। प्रतीकात्मक रूप से, कोई टोपोलॉजी को इस प्रकार लिखता है

$${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is countable}}\}.$$

सहगणनीय टोपोलॉजी वाला प्रत्येक सेट₁, क्योंकि सभी सिंगलटन बंद हैं।

यदि हालाँकि, सहगणनीय टोपोलॉजी में सभी अभिसरण अनुक्रम अंततः स्थिर होते हैं, इसलिए सीमाएँ अद्वितीय होती हैं। चूंकि एक्स में सघन स्थान परिमित उपसमुच्चय हैं, सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय बंद हैं, एक और स्थिति आमतौर पर हॉसडॉर्फ पृथक्करण सिद्धांत से संबंधित है।

गणनीय समुच्चय पर सहगणनीय टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है। एक बेशुमार सेट पर सहगणनीय टोपोलॉजी हाइपरकनेक्टेड स्पेस है, इस प्रकार कनेक्टेड स्पेस, स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ स्थान]] और छद्मकॉम्पैक्ट स्थान है, लेकिन न तो सीमा बिंदु कॉम्पैक्ट और न ही मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस, इसलिए कॉम्पैक्ट नहीं है।

यह भी देखें

• कोफिनिट टोपोलॉजी
• टोपोलॉजी की सूची

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (See example 20).