सामयिक डेटा विश्लेषण

लागू गणित में, टोपोलॉजिकल डेटा एनालिसिस (TDA) टोपोलॉजी से तकनीकों का उपयोग करके डेटासेट के विश्लेषण के लिए एक दृष्टिकोण है। उच्च-आयामी, अपूर्ण और शोर वाले डेटासेट से जानकारी निकालना आम तौर पर चुनौतीपूर्ण होता है। टीडीए इस तरह के डेटा का विश्लेषण करने के लिए एक सामान्य ढांचा प्रदान करता है जो चुने गए विशेष मीट्रिक (गणित) के प्रति असंवेदनशील है और शोर को आयाम में कमी और मजबूती प्रदान करता है। इसके अलावा, यह कार्यात्मकता, आधुनिक गणित की एक मौलिक अवधारणा, इसकी सामयिक प्रकृति से विरासत में मिली है, जो इसे नए गणितीय उपकरणों के अनुकूल बनाने की अनुमति देती है।

प्रारंभिक प्रेरणा डेटा के आकार का अध्ययन करना है। TDA ने आकार के गणितीय रूप से कठोर अध्ययन की अनुमति देने के लिए शुद्ध गणित से बीजगणितीय टोपोलॉजी और अन्य उपकरणों को संयोजित किया है। मुख्य उपकरण लगातार होमोलॉजी है, क्लाउड डेटा को इंगित करने के लिए होमोलॉजी (गणित) का अनुकूलन। कई क्षेत्रों में कई प्रकार के डेटा पर लगातार समरूपता लागू की गई है। इसके अलावा, इसका गणितीय आधार भी सैद्धांतिक महत्व का है। टीडीए की अनूठी विशेषताएं इसे टोपोलॉजी और ज्यामिति के बीच एक आशाजनक पुल बनाती हैं।

मूल सिद्धांत

अंतर्ज्ञान

टीडीए इस विचार पर आधारित है कि डेटा सेट के आकार में प्रासंगिक जानकारी होती है। वास्तविक उच्च-आयामी डेटा आमतौर पर विरल होता है, और इसमें प्रासंगिक निम्न-आयामी विशेषताएं होती हैं। TDA का एक कार्य इस तथ्य का सटीक लक्षण वर्णन प्रदान करना है। उदाहरण के लिए, लोटका-वोल्तेरा समीकरणों द्वारा शासित एक साधारण शिकारी-शिकार प्रणाली का प्रक्षेपवक्र राज्य स्थान में एक बंद घेरा बनाता है। TDA ऐसी आवर्तक गति का पता लगाने और इसकी मात्रा निर्धारित करने के लिए उपकरण प्रदान करता है। डेटा विश्लेषण के लिए कई एल्गोरिदम, जिनमें टीडीए में उपयोग किए जाने वाले भी शामिल हैं, को विभिन्न पैरामीटर सेट करने की आवश्यकता होती है। पूर्व डोमेन ज्ञान के बिना, डेटा सेट के लिए मापदंडों का सही संग्रह चुनना मुश्किल है। लगातार समरूपता की मुख्य अंतर्दृष्टि सभी पैरामीटर मानों से प्राप्त जानकारी का उपयोग इस बड़ी मात्रा में जानकारी को समझने योग्य और आसानी से प्रस्तुत करने वाले रूप में एन्कोड करके करना है। टीडीए के साथ, एक गणितीय व्याख्या होती है जब सूचना एक होमोलॉजी समूह होती है। सामान्य तौर पर, धारणा यह है कि पैरामीटर की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए बनी रहने वाली विशेषताएं वास्तविक विशेषताएं हैं। मापदंडों की केवल एक संकीर्ण सीमा के लिए बनी रहने वाली विशेषताओं को शोर माना जाता है, हालांकि इसके लिए सैद्धांतिक औचित्य स्पष्ट नहीं है।

प्रारंभिक इतिहास

लगातार समरूपता की पूर्ण अवधारणा के अग्रदूत समय के साथ धीरे-धीरे प्रकट हुए। 1990 में, पैट्रीज़ियो फ्रोसिनी ने सबमनिफोल्ड्स के बीच एक छद्म-दूरी और बाद में आकार समारोह की शुरुआत की, जो 1-मंद घटता पर 0 वीं लगातार होमोलॉजी के बराबर है। लगभग एक दशक बाद, वैनेसा रॉबिन्स ने समावेशन द्वारा प्रेरित समरूपता की छवियों का अध्ययन किया। अंत में, इसके तुरंत बाद, एडेल्सब्रुनर एट अल। एक कुशल एल्गोरिथ्म और इसके विज़ुअलाइज़ेशन के साथ एक दृढ़ता आरेख के रूप में लगातार समरूपता की अवधारणा को पेश किया। कार्लसन एट अल। प्रारंभिक परिभाषा में सुधार किया और दृढ़ता बारकोड नामक समकक्ष दृश्य पद्धति प्रदान की, विनिमेय बीजगणित की भाषा में दृढ़ता की व्याख्या।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में मोर्स सिद्धांत पर सर्गेई बरानिकोव के काम के माध्यम से लगातार समरूपता उभरी है। चिकनी मोर्स फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण मूल्यों के सेट को विहित रूप से जन्म-मृत्यु जोड़े में विभाजित किया गया था, फ़िल्टर किए गए परिसरों को वर्गीकृत किया गया था, उनके अपरिवर्तनीय, दृढ़ता आरेख और दृढ़ता बारकोड के बराबर, उनकी गणना के लिए कुशल एल्गोरिदम के साथ, कैनोनिकल के नाम से वर्णित किया गया था 1994 में बरनिकोव द्वारा प्रपत्र।

अवधारणाएं

कुछ व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली अवधारणाओं को नीचे प्रस्तुत किया गया है। ध्यान दें कि कुछ परिभाषाएँ लेखक से लेखक में भिन्न हो सकती हैं।

एक बिंदु बादल को अक्सर कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं के परिमित सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसे किसी भी परिमित मीट्रिक स्थान के रूप में लिया जा सकता है।

Cech कॉम्प्लेक्स|Cech कॉम्प्लेक्स ऑफ़ पॉइंट क्लाउड क्लाउड में प्रत्येक बिंदु के चारों ओर एक निश्चित त्रिज्या की गेंदों के कवरिंग|कवर की तंत्रिका है।

एक दृढ़ता मॉड्यूल $\mathbb {U}$ द्वारा अनुक्रमित $\mathbb {Z}$ एक सदिश स्थान है $U_{t}$ प्रत्येक के लिए $t\in \mathbb {Z}$, और एक रेखीय नक्शा $u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}$ जब कभी भी $s\leq t$, ऐसा है कि $u_{t}^{t}=1$ सभी के लिए $t$ और $u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}$ जब कभी भी $r\leq s\leq t.$ एक समकक्ष परिभाषा एक कारक है $\mathbb {Z}$ वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी के लिए आंशिक रूप से आदेशित सेट के रूप में माना जाता है।

लगातार समरूपता समूह $PH$ एक बिंदु बादल की दृढ़ता मॉड्यूल के रूप में परिभाषित किया गया है $PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})$, कहाँ $X_{r}$ त्रिज्या का चेक परिसर है $r$ बिंदु बादल का $X$ और $H_{k}$ समरूपता समूह है।

एक दृढ़ता बारकोड अंतराल का एक मल्टीसेट (अमूर्त डेटा प्रकार) है $\mathbb {R}$, और एक पर्सिस्टेंस डायग्राम पॉइंट्स का एक मल्टीसेट है $\Delta$($:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}$).

दो दृढ़ता आरेखों के बीच वासेरस्टीन मीट्रिक $X$ और $Y$ परिभाषित किया जाता है

$$W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}(\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q})^{p}\right]^{1/p}$$

कहाँ $1\leq p,q\leq \infty$ और $\varphi$ के बीच आपत्तियों से अधिक है $X$ और $Y$. कृपया मंच में चित्र 3.1 देखें उदाहरण के लिए।

के बीच अड़चन दूरी $X$ और $Y$ है

$$W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.$$

यह वासेरस्टीन दूरी का एक विशेष मामला है, दे रहा है $p=\infty$.

मूल संपत्ति

संरचना प्रमेय

लगातार समरूपता के लिए पहला वर्गीकरण प्रमेय 1994 में सामने आयाबरनिकोव के विहित रूपों के माध्यम से। क्रमविनिमेय बीजगणित की भाषा में दृढ़ता की व्याख्या करने वाला वर्गीकरण प्रमेय 2005 में प्रकट हुआ: एक निश्चित रूप से उत्पन्न दृढ़ता मॉड्यूल के लिए $C$ मैदान के साथ $F$ गुणांक,

$$H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).$$

सहज रूप से, मुक्त भाग समरूपता जनरेटर के अनुरूप होते हैं जो निस्पंदन स्तर पर दिखाई देते हैं $t_{i}$ और कभी गायब नहीं होते हैं, जबकि मरोड़ वाले हिस्से उन लोगों के अनुरूप होते हैं जो निस्पंदन स्तर पर दिखाई देते हैं $r_{j}$ और के लिए पिछले $s_{j}$ निस्पंदन के चरण (या समकक्ष, निस्पंदन स्तर पर गायब हो जाते हैं $s_{j}+r_{j}$).

बारकोड या दृढ़ता आरेख के माध्यम से लगातार होमोलॉजी की कल्पना की जाती है। बारकोड की जड़ें अमूर्त गणित में हैं। अर्थात्, एक क्षेत्र पर परिमित फ़िल्टर्ड परिसरों की श्रेणी अर्ध-सरल है। कोई भी फ़िल्टर किया गया कॉम्प्लेक्स अपने विहित रूप में आइसोमॉर्फिक है, एक- और दो-आयामी सरल फ़िल्टर किए गए कॉम्प्लेक्स का प्रत्यक्ष योग।

स्थिरता

स्थिरता वांछनीय है क्योंकि यह शोर के खिलाफ मजबूती प्रदान करती है। अगर $X$ कोई भी स्थान है जो एक साधारण परिसर के लिए होमोमोर्फिक है, और $f,g:X\to \mathbb {R}$ निरंतर वश में हैं कार्य, फिर दृढ़ता वेक्टर रिक्त स्थान $\{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}$ और $\{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}$ अंत में प्रस्तुत किए जाते हैं, और $W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }$, कहाँ $W_{\infty }$ बाधा दूरी को संदर्भित करता है और $D$ एक निरंतर टेम फ़ंक्शन को इसके दृढ़ता आरेख में ले जाने वाला मानचित्र है $k$-वें समरूपता।

वर्कफ़्लो

टीडीए में मूल कार्यप्रवाह है:

point cloud

$\to$

nested complexes

$\to$

persistence module

$\to$

barcode or diagram

1. अगर $X$ बिंदु बादल है, प्रतिस्थापित करें $X$ साधारण परिसरों के एक नेस्टेड परिवार के साथ $X_{r}$ (जैसे कि चेक या वीटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स)। यह प्रक्रिया बिंदु बादल को साधारण परिसरों के निस्पंदन में परिवर्तित करती है। इस फिल्ट्रेशन में प्रत्येक कॉम्प्लेक्स की होमोलॉजी लेने से एक दृढ़ता मॉड्यूल मिलता है
   $$H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots$$
2. लगातार बेट्टी संख्या, दृढ़ता आरेख, या समकक्ष, बारकोड प्राप्त करने के लिए संरचना प्रमेय लागू करें।

Graphically speaking,

केंद्र

गणना

बीजगणितीय टोपोलॉजी सेटिंग में लगातार समरूपता के लिए सभी क्षेत्रों में पहला एल्गोरिथम बारानिकोव द्वारा वर्णित किया गया थाऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिसेस द्वारा विहित रूप में कमी के माध्यम से। परसिस्टेंट होमोलॉजी ओवर के लिए एल्गोरिथम $F_{2}$ एडेल्सब्रुनर एट अल द्वारा दिया गया था।ज़ोमोरोडियन और कार्ल्ससन ने सभी क्षेत्रों में लगातार समरूपता की गणना करने के लिए व्यावहारिक एल्गोरिथम दिया।एडेल्सब्रनर और हारर की किताब कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी पर सामान्य मार्गदर्शन देती है। संगणना में उत्पन्न होने वाली एक समस्या जटिल का विकल्प है। चेक कोहोलॉजी|चेक कॉम्प्लेक्स और विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स पहली नज़र में सबसे स्वाभाविक हैं; हालाँकि, डेटा बिंदुओं की संख्या के साथ उनका आकार तेज़ी से बढ़ता है। विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स को सीच कॉम्प्लेक्स से अधिक पसंद किया जाता है क्योंकि इसकी परिभाषा सरल है और चेक कॉम्प्लेक्स को सामान्य परिमित मीट्रिक स्थान में परिभाषित करने के लिए अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। होमोलॉजी की कम्प्यूटेशनल लागत को कम करने के कुशल तरीकों का अध्ययन किया गया है। उदाहरण के लिए, परिसरों के आयाम और आकार को कम करने के लिए α-जटिल और गवाह परिसर का उपयोग किया जाता है। हाल ही में, असतत मोर्स सिद्धांत ने कम्प्यूटेशनल होमोलॉजी के लिए वादा दिखाया है क्योंकि यह किसी दिए गए सिंपलियल कॉम्प्लेक्स को बहुत छोटे सेलुलर कॉम्प्लेक्स में कम कर सकता है जो मूल के लिए होमोटोपिक है। यह कमी वास्तव में निष्पादित की जा सकती है क्योंकि Matroid का उपयोग करके परिसर का निर्माण किया जाता है, जिससे प्रदर्शन में और वृद्धि होती है। एक और हालिया एल्गोरिदम कम दृढ़ता वाले होमोलॉजी कक्षाओं को अनदेखा कर समय बचाता है। विभिन्न सॉफ्टवेयर पैकेज उपलब्ध हैं, जैसे javaPlex, Dionysus, .upenn.edu/~vnanda/perseus/index.html Perseus, ​​PHAT, /dipha/ DIPHA, GUDHI, Ripser, और .org/package=TDAstats TDAstats। इन उपकरणों के बीच तुलना ओटर एट अल द्वारा की जाती है। Giotto-tda स्किकिट-लर्न [https://scikit-learn.org] के माध्यम से मशीन लर्निंग वर्कफ्लो में टीडीए को एकीकृत करने के लिए समर्पित एक पायथन पैकेज है। /स्थिर/] एपीआई। एक आर पैकेज TDA लैंडस्केप और कर्नेल दूरी अनुमानक जैसी हाल ही में खोजी गई अवधारणाओं की गणना करने में सक्षम है। Topology ToolKit कम डायमेंशन (1, 2 या 3) के मैनिफोल्ड पर परिभाषित निरंतर डेटा के लिए विशिष्ट है, जैसा कि आमतौर पर वैज्ञानिक विज़ुअलाइज़ेशन में पाया जाता है। एक और आर पैकेज, TDAstats, लगातार होमोलॉजी की गणना करने के लिए रिप्सर लाइब्रेरी को लागू करता है।

विज़ुअलाइज़ेशन

उच्च-आयामी डेटा को सीधे देखना असंभव है। डेटा सेट से कम-आयामी संरचना निकालने के लिए कई तरीकों का आविष्कार किया गया है, जैसे प्रमुख घटक विश्लेषण और बहुआयामी स्केलिंग। हालांकि, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि समस्या स्वयं गलत है, क्योंकि एक ही डेटा सेट में कई अलग-अलग सामयिक विशेषताएं पाई जा सकती हैं। इस प्रकार, उच्च-आयामी रिक्त स्थान के विज़ुअलाइज़ेशन का अध्ययन टीडीए के लिए केंद्रीय महत्व का है, हालांकि इसमें लगातार समरूपता का उपयोग शामिल नहीं है। हालाँकि, डेटा विज़ुअलाइज़ेशन में लगातार समरूपता का उपयोग करने के लिए हाल के प्रयास किए गए हैं।

कार्लसन एट अल। MAPPER नामक एक सामान्य विधि प्रस्तावित की है। यह सेरे के विचार को विरासत में मिला है कि एक आवरण समरूपता को संरक्षित करता है। मैपर का एक सामान्यीकृत सूत्रीकरण इस प्रकार है:

होने देना $X$ और $Z$ टोपोलॉजिकल स्पेस बनें और दें $f:X\to Z$ एक सतत मानचित्र बनें। होने देना $\mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ का परिमित खुला आवरण होना $Z$. मैपर का आउटपुट पुलबैक कवर की तंत्रिका है ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$, जहां प्रत्येक प्रीइमेज को उसके जुड़े घटकों में विभाजित किया जाता है। यह एक बहुत ही सामान्य अवधारणा है, जिसका रीब ग्राफ है और मर्ज ट्री विशेष मामले हैं।

यह बिल्कुल मूल परिभाषा नहीं है।कार्लसन एट अल। चुनना $Z$ होना $\mathbb {R}$ या $\mathbb {R} ^{2}$, और इसे खुले सेट के साथ इस तरह से कवर करें कि अधिक से अधिक दो प्रतिच्छेद करें।इस प्रतिबंध का अर्थ है कि आउटपुट एक जटिल नेटवर्क के रूप में है। क्योंकि एक परिमित बिंदु क्लाउड की टोपोलॉजी तुच्छ है, क्लस्टरिंग विधियों (जैसे सिंगल-लिंकेज क्लस्टरिंग) का उपयोग प्रीइमेज में जुड़े सेटों के एनालॉग का उत्पादन करने के लिए किया जाता है। $f^{-1}(U)$ जब मैपर वास्तविक डेटा पर लागू होता है।

गणितीय रूप से बोलते हुए, मैपर रिब ग्राफ की भिन्नता है। अगर ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$ अधिक से अधिक एक आयामी है, तो प्रत्येक के लिए $i\geq 0$,

$$H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).$$

अतिरिक्त लचीलेपन के नुकसान भी हैं। एक समस्या अस्थिरता है, जिसमें कवर की पसंद के कुछ बदलाव से एल्गोरिथम के आउटपुट में बड़ा बदलाव हो सकता है। इस समस्या को दूर करने के लिए काम किया गया है।

कार्लसन एट अल में मैपर के तीन सफल अनुप्रयोग पाए जा सकते हैं। जे. करी द्वारा इस पत्र में अनुप्रयोगों पर एक टिप्पणी यह ​​है कि अनुप्रयोगों में रुचि की एक सामान्य विशेषता फ्लेयर्स या टेंड्रिल्स की उपस्थिति है। MAPPER का निःशुल्क कार्यान्वयन उपलब्ध है online जिसे डेनियल मुलनर और अरविंदक्षण बाबू ने लिखा है। मैपर अयास्दी के एआई प्लेटफॉर्म का आधार भी बनाता है।

बहुआयामी दृढ़ता

टीडीए के लिए बहुआयामी दृढ़ता महत्वपूर्ण है। अवधारणा सिद्धांत और व्यवहार दोनों में उत्पन्न होती है। टीडीए के विकास में बहुआयामी दृढ़ता की पहली जांच थी। कार्ल्ससन-ज़ोमोरोडियन ने बहुआयामी दृढ़ता के सिद्धांत की शुरुआत की और सिंह के सहयोग से एमपीएच मॉड्यूल की गणना करने के लिए प्रतीकात्मक बीजगणित (ग्रोबनेर आधार विधियों) से उपकरणों का उपयोग शुरू किया। उनकी परिभाषा एक के रूप में एन पैरामीटर के साथ बहुआयामी दृढ़ता प्रस्तुत करती है $\mathbb {Z} ^{n}$ एन चर में एक बहुपद अंगूठी पर वर्गीकृत मॉड्यूल। हैरिंगटन-ओटर-शेंक-टिलमैन के काम में बहुआयामी दृढ़ता के अध्ययन के लिए कम्यूटेटिव और होमोलॉजिकल बीजगणित के उपकरण लागू होते हैं। टीडीए के आविष्कार के समान, साहित्य में प्रकट होने वाला पहला आवेदन आकार तुलना के लिए एक विधि है। एक एन-डायमेंशनल पर्सिस्टेंस मॉड्यूल की परिभाषा $\mathbb {R} ^{n}$ है

• सदिश स्थल $V_{s}$ में प्रत्येक बिंदु को सौंपा गया है $s=(s_{1},...,s_{n})$
• नक्शा $\rho _{s}^{t}:V_{s}\to V_{t}$ सौंपा गया है तो $s\leq t$($s_{i}\leq t_{i},i=1,...,n)$
• नक्शे संतुष्ट $\rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}$ सभी के लिए $r\leq s\leq t$

यह ध्यान देने योग्य हो सकता है कि बहुआयामी दृढ़ता की परिभाषा पर विवाद हैं।

एक आयामी दृढ़ता के लाभों में से एक आरेख या बारकोड द्वारा इसकी प्रतिनिधित्व क्षमता है। हालांकि, बहुआयामी दृढ़ता मॉड्यूल के असतत पूर्ण आक्रमणकारी मौजूद नहीं हैं। <रेफरी नाम = कार्ल्ससन 71-93>Carlsson, Gunnar; Zomorodian, Afra (2009-04-24). "बहुआयामी दृढ़ता का सिद्धांत". Discrete & Computational Geometry. 42 (1): 71–93. doi:10.1007/s00454-009-9176-0. ISSN 0179-5376.</ref> इसका मुख्य कारण यह है कि तरकश अभ्यावेदन के सिद्धांत में गेब्रियल के प्रमेय द्वारा अविघटनीय पदार्थों के संग्रह की संरचना बेहद जटिल है, रेफरी>{{cite journal |last1=Derksen |first1=H. |last2=Weyman |first2=J. |title=तरकश अभ्यावेदन|journal=Notices of the AMS |volume=52 |issue=2 |pages=200–6 |date=2005 |doi= |url=https://www.ams.org/journals/notices/200502/fea-weyman.pdf}</ref> हालांकि क्रुल-श्मिट प्रमेय के कारण एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एन-डिम पर्सिस्टेंस मॉड्यूल को विशिष्ट रूप से अपघटन योग्य पदार्थों के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है। रेफरी>Atiyah, M.F. (1956). "ढेरों के लिए आवेदन के साथ क्रुल-श्मिट प्रमेय पर" (PDF). Bulletin de la Société Mathématique de France. 84: 307–317. doi:10.24033/bsmf.1475.</ref>

बहरहाल, कई परिणाम स्थापित किए गए हैं। कार्ल्ससन और ज़ोमोरोडियन ने रैंक इनवेरिएंट की शुरुआत की $\rho _{M}(u,v)$, के रूप में परिभाषित किया गया है $\rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}:M_{u}\to M_{v})$, जिसमें $M$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न एन-ग्रेड मॉड्यूल है। एक आयाम में यह बारकोड के बराबर है। साहित्य में, रैंक अपरिवर्तनीय को अक्सर लगातार बेट्टी संख्या (पीबीएन) के रूप में संदर्भित किया जाता है।कई सैद्धांतिक कार्यों में, लेखकों ने अधिक प्रतिबंधित परिभाषा का उपयोग किया है, जो सबलेवल सेट हठ से एक एनालॉग है। विशेष रूप से, एक समारोह की दृढ़ता बेट्टी संख्या $f:X\to \mathbb {R} ^{k}$ समारोह द्वारा दिया जाता है $\beta _{f}:\Delta ^{+}\to \mathrm {N}$, प्रत्येक ले रहा है $(u,v)\in \Delta ^{+}$ को $\beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))$, कहाँ $\Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}$ और $X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}$.

कुछ बुनियादी गुणों में एकरसता और विकर्ण कूद शामिल हैं। लगातार बेट्टी संख्याएँ परिमित होंगी यदि $X$ का एक कॉम्पैक्ट और स्थानीय रूप से अनुबंधित उप-स्थान है $\mathbb {R} ^{n}$. फोलिएशन विधि का उपयोग करके, के-मंद पीबीएन को आयामी कटौती द्वारा 1-मंद पीबीएन के परिवार में विघटित किया जा सकता है। इस पद्धति ने एक प्रमाण भी दिया है कि बहु-मंद पीबीएन स्थिर हैं। पीबीएन की निरंतरता केवल बिंदुओं पर होती है $(u,v)(u\leq v)$ कहाँ भी $u$ का असंतत बिन्दु है $\rho _{M}(\star ,v)$ या $v$ का असंतत बिन्दु है $\rho (u,\star )$ इस धारणा के तहत $f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})$ और $X$ एक कॉम्पैक्ट, त्रिकोणीय सामयिक स्थान है। लगातार स्थान, लगातार आरेख का एक सामान्यीकरण, 0 से अधिक बहुलता और विकर्ण वाले सभी बिंदुओं के मल्टीसेट के रूप में परिभाषित किया गया है। यह पीबीएन का एक स्थिर और पूर्ण प्रतिनिधित्व प्रदान करता है। कार्लसन एट अल द्वारा जारी एक काम। लगातार होमोलॉजी की ज्यामितीय व्याख्या देने की कोशिश कर रहा है, जो इस बात की जानकारी दे सकता है कि मशीन लर्निंग सिद्धांत को टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण के साथ कैसे जोड़ा जाए। बहुआयामी दृढ़ता की गणना करने के लिए पहला व्यावहारिक एल्गोरिथम का आविष्कार बहुत पहले किया गया था। उसके बाद, असतत मोर्स सिद्धांत जैसी अवधारणाओं के आधार पर, कई अन्य एल्गोरिदम प्रस्तावित किए गए हैं और परिमित नमूना आकलन।

अन्य हठ

TDA में मानक प्रतिमान को अक्सर सबलेवल दृढ़ता के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस विशेष केस को बढ़ाने के लिए बहुआयामी दृढ़ता के अलावा भी कई काम किए गए हैं।

ज़िगज़ैग हठ

दृढ़ता मॉड्यूल में गैर-शून्य मानचित्र श्रेणी में प्रीऑर्डर संबंध द्वारा प्रतिबंधित हैं। हालांकि, गणितज्ञों ने पाया है कि कई परिणामों के लिए दिशा की एकमतता आवश्यक नहीं है। दार्शनिक बिंदु यह है कि ग्राफ अभ्यावेदन का अपघटन सिद्धांत ग्राफ किनारों के अभिविन्यास से कुछ हद तक स्वतंत्र है। <रेफरी नाम = कार्लसन 367-405>{{Cite journal |title=ज़िगज़ैग दृढ़ता|journal=Foundations of Computational Mathematics |date=2010-04-21 |issn=1615-3375 |pages=367–405 |volume=10 |issue=4 |doi=10.1007/s10208-010-9066-0 |first1=Gunnar |last1=Carlsson |first2=Vin de |last2=Silva |doi-access=free}</ref> ज़िगज़ैग दृढ़ता सैद्धांतिक पक्ष के लिए महत्वपूर्ण है। कार्यात्मकता के महत्व को दर्शाने के लिए कार्लसन के समीक्षा पत्र में दिए गए उदाहरण इसकी कुछ विशेषताओं को साझा करते हैं।

विस्तारित दृढ़ता और स्तर-सेट दृढ़ता

फ़ंक्शन के सख्त प्रतिबंध को ढीला करने के कुछ प्रयास हैं। अधिक जानकारी के लिए कृपया #वर्गीकरण और कोशेव्स और #गणित पर प्रभाव देखें।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में अन्य बुनियादी अवधारणाओं, जैसे कोहोलॉजी और रिलेटिव होमोलॉजी/कोहोलॉजी में दृढ़ता समरूपता का विस्तार करना स्वाभाविक है। एक दिलचस्प अनुप्रयोग पहले लगातार कोहोलॉजी समूह के माध्यम से डेटा सेट के लिए परिपत्र निर्देशांक की गणना है।

परिपत्र दृढ़ता

सामान्य दृढ़ता समरूपता वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन करती है। सर्कल-वैल्यूड मैप उपयोगी हो सकता है, सर्किल-वैल्यूड मैप्स के लिए दृढ़ता सिद्धांत कुछ वेक्टर क्षेत्रों के लिए भूमिका निभाने का वादा करता है जैसा कि स्केलर फ़ील्ड्स के लिए मानक दृढ़ता सिद्धांत करता है, जैसा कि डैन बर्घेलिया एट अल में टिप्पणी की गई है। मुख्य अंतर यह है कि जॉर्डन कोशिकाएं (रैखिक बीजगणित में जॉर्डन ब्लॉक के प्रारूप में बहुत समान हैं) सर्कल-मूल्यवान कार्यों में गैर-तुच्छ हैं, जो वास्तविक-मूल्यवान मामले में शून्य होगा, और बारकोड के साथ संयोजन एक वश में मानचित्र के आक्रमणकारियों को देता है, मध्यम परिस्थितियों में।

मोर्स-नोविकोव सिद्धांत वे दो तकनीकों का उपयोग करते हैं और ग्राफ प्रतिनिधित्व सिद्धांत। अधिक हाल के परिणाम डी। बर्घेलिया एट अल में पाए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, संयम की आवश्यकता को बहुत कमजोर स्थिति, निरंतर द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

मरोड़ के साथ दृढ़ता

संरचना प्रमेय का प्रमाण आधार डोमेन के क्षेत्र पर निर्भर करता है, इसलिए मरोड़ के साथ दृढ़ता समरूपता पर कई प्रयास नहीं किए गए हैं। फ्रोसिनी ने इस विशिष्ट मॉड्यूल पर छद्ममितीय परिभाषित किया और इसकी स्थिरता साबित की। इसकी एक नवीनता यह है कि यह मीट्रिक को परिभाषित करने के लिए किसी वर्गीकरण सिद्धांत पर निर्भर नहीं करता है।

वर्गीकरण और cosheaves

श्रेणी सिद्धांत का एक लाभ ठोस परिणामों को उच्च स्तर तक ले जाने की क्षमता है, जो प्रतीत होने वाली असंबद्ध वस्तुओं के बीच संबंधों को दर्शाता है। बुबेनिक एट अल। TDA के लिए उपयुक्त श्रेणी सिद्धांत का संक्षिप्त परिचय प्रदान करता है।

श्रेणी सिद्धांत आधुनिक बीजगणित की भाषा है, और बीजगणितीय ज्यामिति और टोपोलॉजी के अध्ययन में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया गया है। यह ध्यान दिया गया है कि के प्रमुख अवलोकन यह है कि दृढ़ता आरेख द्वारा निर्मित केवल इस आरेख द्वारा की गई बीजगणितीय संरचना पर निर्भर करता है। TDA में श्रेणी सिद्धांत का उपयोग फलदायी साबित हुआ है।

बुबेनिक एट अल। में किए गए नोटेशन के बाद,अनुक्रमण श्रेणी ${\textstyle P}$ कोई पूर्वनिर्धारित सेट है (जरूरी नहीं $\mathbb {N}$ या $\mathbb {R}$), लक्ष्य श्रेणी $D$ कोई भी श्रेणी है (आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली के बजाय ${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$), और फ़ैक्टर्स ${\textstyle P\to D}$ में सामान्यीकृत दृढ़ता मॉड्यूल कहलाते हैं $D$, ऊपर ${\textstyle P}$.

टीडीए में श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करने का एक फायदा अवधारणाओं की स्पष्ट समझ और प्रमाणों के बीच नए संबंधों की खोज है। उदाहरण के लिए दो उदाहरण लें। इंटरलीविंग और मैचिंग के बीच पत्राचार की समझ का बहुत महत्व है, क्योंकि मैचिंग शुरुआत में इस्तेमाल की जाने वाली विधि रही है (मोर्स थ्योरी से संशोधित)। कार्यों का सारांश विन डी सिल्वा एट अल में पाया जा सकता है। अधिक सहज सेटिंग में कई प्रमेयों को अधिक आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।एक अन्य उदाहरण बिंदु बादलों से विभिन्न परिसरों के निर्माण के बीच का संबंध है। यह लंबे समय से देखा गया है कि चेक और विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स संबंधित हैं। विशेष रूप से, $V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)$.Cech और Rips परिसरों के बीच आवश्यक संबंध को श्रेणीबद्ध भाषा में अधिक स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा व्यापक गणितीय समुदाय के लिए पहचाने जाने वाले शब्दों में परिणाम डालने में भी मदद करती है। टोंटी दूरी के संबंध में स्थिरता पर परिणाम के कारण TDA में टोंटी दूरी का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।वास्तव में, एक क्षेत्र (गणित) में बहुआयामी दृढ़ता मॉड्यूल पर स्थिर मेट्रिक्स की पॉसेट श्रेणी में इंटरलीविंग दूरी प्रारंभिक और टर्मिनल ऑब्जेक्ट है। शीफ (गणित), आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में एक केंद्रीय अवधारणा, आंतरिक रूप से श्रेणी सिद्धांत से संबंधित हैं। मोटे तौर पर, शीफ (गणित) यह समझने के लिए गणितीय उपकरण है कि कैसे स्थानीय सूचना वैश्विक सूचना को निर्धारित करती है। जस्टिन करी स्तर सेट दृढ़ता को निरंतर कार्यों के फाइबर (गणित) के अध्ययन के रूप में मानते हैं। जिन वस्तुओं का वह अध्ययन करता है, वे MAPPER द्वारा बहुत समान हैं, लेकिन सैद्धांतिक आधार के रूप में शीफ सिद्धांत के साथ।हालांकि टीडीए के सिद्धांत में अभी तक शीफ सिद्धांत का उपयोग नहीं किया गया है, यह आशाजनक है क्योंकि शेफ सिद्धांत से संबंधित बीजगणितीय ज्यामिति में कई सुंदर प्रमेय हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक सैद्धांतिक प्रश्न यह है कि क्या अलग-अलग निस्पंदन विधियों का परिणाम एक ही आउटपुट में होता है।

स्थिरता

डेटा विश्लेषण के लिए स्थिरता केंद्रीय महत्व है, क्योंकि वास्तविक डेटा में शोर होता है। श्रेणी सिद्धांत के उपयोग से, बुबेनिक एट अल। सॉफ्ट और हार्ड स्टेबिलिटी प्रमेय के बीच अंतर किया है, और साबित किया है कि सॉफ्ट केस औपचारिक होते हैं।विशेष रूप से, TDA का सामान्य कार्यप्रवाह है

data

${\stackrel {F}{\longrightarrow }}$

topological persistence module

${\stackrel {H}{\longrightarrow }}$

algebraic persistence module

${\stackrel {J}{\longrightarrow }}$

discrete invariant

नरम स्थिरता प्रमेय यह दावा करता है $HF$ Lipschitz निरंतरता है, और कठिन स्थिरता प्रमेय यह दावा करता है $J$ लिप्सचिट्ज़ निरंतर है।

TDA में टोंटी की दूरी का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आइसोमेट्री प्रमेय का दावा है कि इंटरलीविंग दूरी $d_{I}$ बाधा दूरी के बराबर है।बुबेनिक एट अल। परिभाषा को अमूर्त कर दिया है कि functors के बीच $F,G:P\to D$ कब ${\textstyle P}$ एक सबलीनियर प्रोजेक्शन या सुपरलीनियर फैमिली से लैस है, जिसमें अभी भी एक स्यूडोमेट्रिक बना हुआ है।इंटरलीविंग दूरी के शानदार पात्रों को ध्यान में रखते हुए, यहां हम इंटरलीविंग डिस्टेंस की सामान्य परिभाषा पेश करते हैं (पहले पेश किए गए के बजाय):होने देना $\Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}}$ (एक समारोह से ${\textstyle P}$ को ${\textstyle P}$ जो मोनोटोन है और संतुष्ट करता है $x\leq \Gamma (x)$ सभी के लिए ${\textstyle x\in P}$). ए $(\Gamma ,K)$-F और G के बीच इंटरलीविंग में प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं $\varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma$ और $\psi :G\Rightarrow FK$, ऐसा है कि $(\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }$ और $(\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}$.

दो मुख्य परिणाम हैं * होने देना ${\textstyle P}$ सबलीनियर प्रोजेक्शन या सुपरलीनियर फैमिली के साथ पहले से ऑर्डर किया हुआ सेट हो। होने देना ${\textstyle H:D\to E}$ मनमानी श्रेणियों के बीच एक कारक बनें ${\textstyle D,E}$. फिर किन्हीं दो फंक्शंस के लिए ${\textstyle F,G:P\to D}$, अपने पास ${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$.

• होने देना ${\textstyle P}$ एक मीट्रिक स्थान का पोसेट बनें ${\textstyle Y}$ , ${\textstyle X}$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस हो। और जाने${\textstyle f,g:X\to Y}$ (आवश्यक रूप से निरंतर नहीं) कार्य हो, और ${\textstyle F,G}$ इसी दृढ़ता आरेख होने के लिए। तब $d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))$.

ये दो परिणाम दृढ़ता के विभिन्न मॉडलों की स्थिरता पर कई परिणामों को सारांशित करते हैं।

बहुआयामी दृढ़ता के स्थिरता प्रमेय के लिए, कृपया दृढ़ता के उपखंड को देखें।

संरचना प्रमेय

TDA के लिए संरचना प्रमेय केंद्रीय महत्व का है; जैसा कि जी. कार्ल्ससन द्वारा टिप्पणी की गई है, जो समरूपता को सामयिक स्थानों के बीच एक विभेदक के रूप में उपयोगी बनाता है, वह तथ्य यह है कि अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के लिए एक वर्गीकरण प्रमेय है। (अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मौलिक प्रमेय देखें)।

मूल संरचना प्रमेय के प्रमाण में प्रयुक्त मुख्य तर्क एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए मानक संरचना प्रमेय है।हालांकि, अनुक्रमण सेट होने पर यह तर्क विफल हो जाता है $(\mathbb {R} ,\leq )$.

सामान्य तौर पर, प्रत्येक दृढ़ता मॉड्यूल को अंतरालों में विघटित नहीं किया जा सकता है। मूल संरचना प्रमेय के प्रतिबंधों को शिथिल करने के लिए कई प्रयास किए गए हैं। स्थानीय रूप से परिमित सबसेट द्वारा अनुक्रमित बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मॉड्यूल के लिए मामला $\mathbb {R}$ वेब के काम के आधार पर हल किया जाता है। सबसे उल्लेखनीय परिणाम क्रॉली-बोएवे द्वारा किया गया, जिसने इस मामले को सुलझाया $\mathbb {R}$. क्रॉली-बोवे के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मॉड्यूल अंतराल मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है। उनके प्रमेय की परिभाषा को समझने के लिए, कुछ अवधारणाओं को प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। में एक अंतराल $(\mathbb {R} ,\leq )$ एक उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $I\subset \mathbb {R}$ संपत्ति है कि अगर $r,t\in I$ और यदि कोई है $s\in \mathbb {R}$ ऐसा है कि $r\leq s\leq t$, तब $s\in I$ भी। एक अंतराल मॉड्यूल $k_{I}$ प्रत्येक तत्व को आवंटित करता है $s\in I$ वेक्टर अंतरिक्ष $k$ और तत्वों को शून्य वेक्टर स्थान प्रदान करता है $\mathbb {R} \setminus I$. सभी नक्शे $\rho _{s}^{t}$ शून्य मानचित्र हैं, जब तक $s,t\in I$ और $s\leq t$, किस स्थिति में $\rho _{s}^{t}$ पहचान मानचित्र है।अंतराल मॉड्यूल अविघटनीय हैं। हालांकि क्रॉली-बोएवे का परिणाम एक बहुत ही शक्तिशाली प्रमेय है, फिर भी यह क्यू-टेम मामले तक विस्तृत नहीं होता है।एक दृढ़ता मॉड्यूल क्यू-टेम है यदि रैंक $\rho _{s}^{t}$ सभी के लिए परिमित है $s<t$. क्यू-टेम हठ मॉड्यूल के उदाहरण हैं जो बिंदुवार परिमित होने में विफल होते हैं। हालाँकि, यह पता चला है कि एक समान संरचना प्रमेय अभी भी कायम है यदि केवल एक सूचकांक मूल्य पर मौजूद सुविधाओं को हटा दिया जाता है।यह धारण करता है क्योंकि परिमित-रैंक की स्थिति के कारण प्रत्येक सूचकांक मूल्य पर अनंत आयामी भाग बने नहीं रहते हैं। औपचारिक रूप से, देखने योग्य श्रेणी $\mathrm {Ob}$ परिभाषित किया जाता है $\mathrm {Pers} /\mathrm {Eph}$, जिसमें $\mathrm {Eph}$ की पूर्ण उपश्रेणी को दर्शाता है $\mathrm {Pers}$ जिनकी वस्तुएँ अल्पकालिक मॉड्यूल हैं ($\rho _{s}^{t}=0$ जब कभी भी $s<t$).

ध्यान दें कि यहां सूचीबद्ध विस्तारित परिणाम ज़िगज़ैग दृढ़ता पर लागू नहीं होते हैं, क्योंकि ज़िगज़ैग दृढ़ता मॉड्यूल का एनालॉग खत्म हो गया है $\mathbb {R}$ तुरंत स्पष्ट नहीं होता।

सांख्यिकी

वास्तविक डेटा हमेशा परिमित होता है, और इसलिए इसके अध्ययन के लिए हमें स्टोचैस्टिसिटी को ध्यान में रखना होगा। सांख्यिकीय विश्लेषण हमें यादृच्छिक शोर द्वारा पेश की गई कलाकृतियों से डेटा की वास्तविक विशेषताओं को अलग करने की क्षमता देता है। कम-संभावना सुविधाओं और उच्च-संभावना सुविधाओं के बीच अंतर करने के लिए स्थायी होमोलॉजी में कोई अंतर्निहित तंत्र नहीं है।

टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण के आंकड़ों को लागू करने का एक तरीका बिंदु बादलों की टोपोलॉजिकल विशेषताओं के सांख्यिकीय गुणों का अध्ययन करना है। यादृच्छिक साधारण परिसरों का अध्ययन सांख्यिकीय टोपोलॉजी में कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। के. टर्नर एट अल। इस नस में काम का सारांश प्रस्तुत करता है।

दूसरा तरीका दृढ़ता स्थान पर संभाव्यता वितरण का अध्ययन करना है। दृढ़ता स्थान $B_{\infty }$ है $\coprod _{n}B_{n}/{\backsim }$, कहाँ $B_{n}$ सटीक रूप से युक्त सभी बारकोड का स्थान है $n$ अंतराल और समकक्ष हैं $\{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}$ अगर $x_{n}=y_{n}$. यह स्थान काफी जटिल है; उदाहरण के लिए, यह टोंटी मीट्रिक के अंतर्गत पूर्ण नहीं है। इसका अध्ययन करने का पहला प्रयास वाई माइलीको एट अल द्वारा किया गया है। दृढ़ता आरेखों का स्थान $D_{p}$ उनके पेपर में परिभाषित किया गया है

$$D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}$$

कहाँ $\Delta$ में विकर्ण रेखा है $\mathbb {R} ^{2}$. एक अच्छी संपत्ति है $D_{p}$ वासेरस्टीन मीट्रिक में पूर्ण और वियोज्य है $W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}$. अपेक्षा, विचरण और सशर्त संभाव्यता को फ्रेचेट माध्य | फ्रेचेट सेंस में परिभाषित किया जा सकता है। यह कई सांख्यिकीय उपकरणों को टीडीए में पोर्ट करने की अनुमति देता है। अशक्त परिकल्पना महत्व परीक्षण पर काम करता है, विश्वास अंतराल, और मजबूत अनुमान उल्लेखनीय कदम हैं।

तीसरा तरीका संभाव्य स्थान या सांख्यिकीय प्रणालियों के कोहोलॉजी पर सीधे विचार करना है, जिसे सूचना संरचना कहा जाता है और मूल रूप से ट्रिपल में शामिल है ($\Omega ,\Pi ,P$), नमूना स्थान, यादृच्छिक चर और संभाव्यता कानून। यादृच्छिक चर को n परमाणु संभावनाओं के विभाजन के रूप में माना जाता है (संभावना (n-1) -सिम्प्लेक्स के रूप में देखा जाता है, $|\Omega |=n$) विभाजन की जाली पर ($\Pi _{n}$). मापने योग्य कार्यों के यादृच्छिक चर या मॉड्यूल कोचेन कॉम्प्लेक्स प्रदान करते हैं, जबकि सह-सीमा को सामान्य समरूप बीजगणित के रूप में माना जाता है, जिसे होशचाइल्ड ने कंडीशनिंग की कार्रवाई को लागू करने वाली एक बाईं कार्रवाई के साथ खोजा था। पहली कोसायकल की स्थिति एंट्रॉपी के चेन नियम से मेल खाती है, जो गुणक स्थिरांक तक विशिष्ट रूप से प्राप्त करने की अनुमति देती है, शैनन एंट्रॉपी पहले कोहोलॉजी वर्ग के रूप में। एक विकृत वाम-क्रिया का विचार त्सालिस एंट्रॉपी के ढांचे को सामान्यीकृत करता है। सूचना कोहोलॉजी चक्राकार टोपोस का एक उदाहरण है। बहुभिन्नरूपी k-पारस्परिक जानकारी कोबाउंडरी एक्सप्रेशन में प्रकट होती है, और उनका गायब होना, कोसायकल स्थिति से संबंधित, सांख्यिकीय स्वतंत्रता के लिए समान स्थिति देता है। आपसी सूचनाओं की न्यूनतम, जिसे तालमेल भी कहा जाता है, होमोटोपिकल लिंक के अनुरूप दिलचस्प स्वतंत्रता विन्यास को जन्म देती है। इसकी संयोजी जटिलता के कारण, डेटा पर कोहोलॉजी और सूचना संरचना के केवल सरल उप-मामले की जांच की गई है। डेटा के लिए लागू, वे सह-वैज्ञानिक उपकरण बहुभिन्नरूपी मामले में मार्कोव श्रृंखलाओं और सशर्त स्वतंत्रता सहित सांख्यिकीय निर्भरता और स्वतंत्रता की मात्रा निर्धारित करते हैं। विशेष रूप से, पारस्परिक-सूचनाएं गैर-रैखिक सांख्यिकीय निर्भरताओं के लिए सहसंबंध गुणांक और सहप्रसरण को सामान्यीकृत करती हैं। इन दृष्टिकोणों को स्वतंत्र रूप से और केवल अप्रत्यक्ष रूप से दृढ़ता विधियों से संबंधित विकसित किया गया था, लेकिन हू कुओ टिन प्रमेय का उपयोग करके सरल मामले में मोटे तौर पर समझा जा सकता है जो पारस्परिक-सूचनात्मक कार्यों और चौराहे ऑपरेटर के साथ एक सेट के मापने योग्य कार्य के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करता है। , Cech कॉम्प्लेक्स|Čech कॉम्प्लेक्स कंकाल का निर्माण करने के लिए। सूचना कोहोलॉजी तंत्रिका विज्ञान (तंत्रिका असेंबली सिद्धांत और गुणात्मक अनुभूति) के संदर्भ में कुछ प्रत्यक्ष व्याख्या और अनुप्रयोग प्रदान करती है ), सांख्यिकीय भौतिकी, और गहरा तंत्रिका नेटवर्क जिसके लिए यादृच्छिक चर और सूचना श्रृंखला नियम के परिसर द्वारा संरचना और सीखने के एल्गोरिदम लगाए जाते हैं। दृढ़ता परिदृश्य, पीटर बुबेनिक द्वारा पेश किया गया, बारकोड का प्रतिनिधित्व करने का एक अलग तरीका है, जो सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए अधिक उपयुक्त है। एक सतत मॉड्यूल का दृढ़ता परिदृश्य $M$ एक समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है $\lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}$, $\lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)$, कहाँ ${\bar {\mathbb {R} }}$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा को दर्शाता है और $\beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))$. दृढ़ता परिदृश्य का स्थान बहुत अच्छा है: यह बारकोड प्रतिनिधित्व (स्थिरता, आसान प्रतिनिधित्व, आदि) के सभी अच्छे गुणों को प्राप्त करता है, लेकिन सांख्यिकीय मात्रा को आसानी से परिभाषित किया जा सकता है, और वाई माइलीको एट अल के काम में कुछ समस्याएं, जैसे अपेक्षाओं की गैर-विशिष्टता के रूप में,दूर किया जा सकता है। दृढ़ता परिदृश्य के साथ संगणना के लिए प्रभावी एल्गोरिदम उपलब्ध हैं। एक अन्य दृष्टिकोण संशोधित दृढ़ता का उपयोग करना है, जो छवि, कर्नेल और कोकर्नेल दृढ़ता है।

अनुप्रयोग

अनुप्रयोगों का वर्गीकरण

TDA के अनुप्रयोगों को वर्गीकृत करने के लिए एक से अधिक तरीके मौजूद हैं। शायद सबसे प्राकृतिक तरीका क्षेत्र है। सफल आवेदनों की एक बहुत ही अधूरी सूची में शामिल हैं डेटा कंकालीकरण, आकार अध्ययन, ग्राफ पुनर्निर्माण, छवि विश्लेषण, सामग्री, रोग की प्रगति विश्लेषण, सेंसर नेटवर्क, संकेत विश्लेषण, लौकिक वेब, जटिल नेटवर्क, भग्न ज्यामिति, वायरल विकास, नेटवर्क पर छूत का प्रसार , आण्विक स्पेक्ट्रोस्कोपी का उपयोग कर बैक्टीरिया वर्गीकरण, भौतिक-रसायन विज्ञान में हाइपरस्पेक्ट्रल इमेजिंग, रिमोट सेंसिंग, फीचर चयन, और वित्तीय दुर्घटनाओं के शुरुआती चेतावनी संकेत।

दूसरा तरीका जी कार्लसन द्वारा तकनीकों को अलग करना है,

one being the study of homological invariants of data on individual data sets, and the other is the use of homological invariants in the study of databases where the data points themselves have geometric structure.

अनुप्रयोगों में टीडीए के लक्षण

टीडीए के हालिया अनुप्रयोगों की कई उल्लेखनीय रोचक विशेषताएं हैं:

1. गणित की कई शाखाओं के उपकरणों का संयोजन। बीजगणित और टोपोलॉजी की स्पष्ट आवश्यकता के अलावा, आंशिक अंतर समीकरण, बीजगणितीय ज्यामिति, <रेफरी नाम = कार्ल्ससन 71-93 /> प्रतिनिधित्व सिद्धांत, <रेफरी नाम = कार्ल्ससन 367-405 /> सांख्यिकी, कॉम्बिनेटरिक्स, और रीमैनियन ज्यामितिसभी को TDA में उपयोग मिल गया है।
2. मात्रात्मक विश्लेषण। टोपोलॉजी को बहुत सॉफ्ट माना जाता है क्योंकि होमोटॉपी के तहत कई अवधारणाएं अपरिवर्तनीय हैं। हालांकि, स्थायी टोपोलॉजी टोपोलॉजिकल सुविधाओं के जन्म (उपस्थिति) और मृत्यु (गायब होने) को रिकॉर्ड करने में सक्षम है, इस प्रकार इसमें अतिरिक्त ज्यामितीय जानकारी सन्निहित है। सिद्धांत में एक साक्ष्य वक्रों के पुनर्निर्माण की विशिष्टता पर आंशिक रूप से सकारात्मक परिणाम है; आवेदन में दो फुलरीन स्थिरता के मात्रात्मक विश्लेषण और स्व-समानता के मात्रात्मक विश्लेषण पर अलग-अलग हैं। # लघु दृढ़ता की भूमिका। आम धारणा के बावजूद कि घटना का कारण शोर है, लघु दृढ़ता भी उपयोगी पाई गई है। यह गणितीय सिद्धांत के लिए दिलचस्प है।

आज डेटा विश्लेषण के मुख्य क्षेत्रों में से एक यंत्र अधिगम है। TDA में मशीन लर्निंग के कुछ उदाहरण Adcock et al में देखे जा सकते हैं। कॉन्फ़्रेंस TDA और मशीन लर्निंग के बीच की कड़ी को समर्पित है। मशीन लर्निंग से उपकरण लागू करने के लिए, TDA से प्राप्त जानकारी को सदिश रूप में दर्शाया जाना चाहिए। ऊपर चर्चा की गई दृढ़ता परिदृश्य एक सतत और आशाजनक प्रयास है। एक और प्रयास दृढ़ता छवियों की अवधारणा का उपयोग करता है। हालाँकि, इस पद्धति की एक समस्या स्थिरता का नुकसान है, क्योंकि कठिन स्थिरता प्रमेय बारकोड प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है।

गणित पर प्रभाव

टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण और लगातार समरूपता का मोर्स सिद्धांत पर प्रभाव पड़ा है. मोर्स थ्योरी ने TDA के थ्योरी में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है, जिसमें कम्प्यूटेशन भी शामिल है। लगातार समरूपता में कुछ काम ने मोर्स कार्यों के परिणामों को वश में करने के लिए या यहां तक ​​कि निरंतर कार्यों के लिए विस्तारित किया है. लगातार होमोलॉजी के आविष्कार से बहुत पहले आर। देहुवेल्स का एक भूला हुआ परिणाम मोर्स सिद्धांत को सभी निरंतर कार्यों तक फैलाता है। एक हालिया परिणाम यह है कि रीब ग्राफ की श्रेणी कोशेफ के एक विशेष वर्ग के बराबर है। यह टीडीए में सैद्धांतिक कार्य से प्रेरित है, क्योंकि रीब ग्राफ मोर्स सिद्धांत से संबंधित है और मैपर इससे प्राप्त होता है। इस प्रमेय का प्रमाण इंटरलीविंग दूरी पर निर्भर करता है।

परसिस्टेंट होमोलॉजी वर्णक्रमीय अनुक्रमों से निकटता से संबंधित है। विशेष रूप से एल्गोरिथ्म एक फ़िल्टर किए गए परिसर को उसके विहित रूप में लाता हैगणना की मानक प्रक्रिया की तुलना में वर्णक्रमीय अनुक्रमों की बहुत तेज गणना की अनुमति देता है $E_{p,q}^{r}$ समूह पृष्ठ दर पृष्ठ। ज़िगज़ैग दृढ़ता वर्णक्रमीय अनुक्रमों के लिए सैद्धांतिक महत्व की हो सकती है।

यह भी देखें

• आयामीता में कमी
• डेटा खनन
• कंप्यूटर दृष्टि
• कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी
• असतत मोर्स सिद्धांत
• आकार विश्लेषण (डिजिटल ज्यामिति)
• आकार सिद्धांत
• बीजगणितीय टोपोलॉजी

अग्रिम पठन

Brief Introduction

• Lesnick, Michael (2013). "Studying the Shape of Data Using Topology". Institute for Advanced Study.
• Source Material for Topological Data Analysis by Mikael Vejdemo-Johansson

Monograph

• Oudot, Steve Y. (2015). Persistence Theory: From Quiver Representations to Data Analysis. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2545-6.

Video Lecture

• Introduction to Persistent Homology and Topology for Data Analysis, by Matthew Wright
• The Shape of Data, by Gunnar Carlsson

Textbook on Topology

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Available for Download
• Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (2010). Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Society. ISBN 9780821849255.
• Elementary Applied Topology, by Robert Ghrist

Other Resources of TDA

• Applied Topology, by Stanford
• Applied algebraic topology research network Archived 2016-01-31 at the Wayback Machine , by the Institute for Mathematics and its Applications
• Topological Kernel Learning: Discrete Morse Theory is used to connect kernel machine learning with topological data analysis. https://www.researchgate.net/publication/327427685_Topological_Kernel_Learning