साहित्यिक बीजगणित

गणित में, एक साहचर्य बीजगणित ए एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें जोड़ के संगत संचालन, गुणक (साहचर्य संपत्ति माना जाता है), और कुछ क्षेत्र (गणित) के में तत्वों द्वारा एक स्केलर गुणा है।इसके अलावा और गुणन संचालन एक साथ 6. 'इसके अलावा और स्केलर गुणन संचालन एक साथ ।इस लेख में हम एक क्षेत्र पर बीजगणित शब्द का भी उपयोग करेंगे।एक k का एक मानक पहला उदाहरण-बीजगणित एक क्षेत्र k पर वर्ग मैट्रिक्स की एक अंगूठी है, जिसमें सामान्य मैट्रिक्स गुणा है।

एक कम्यूटेटिव बीजगणित एक साहचर्य बीजगणित है जिसमें एक कम्यूटेटिव गुणा होता है, या, समान रूप से, एक साहचर्य बीजगणित जो एक कम्यूटेटिव रिंग भी है।

इस लेख में साहचर्य बीजगणितों को एक गुणक पहचान माना जाता है, जिसे 1 निरूपित किया जाता है;उन्हें कभी -कभी स्पष्टीकरण के लिए यूनिटल एसोसिएटिव बीजगणित कहा जाता है।गणित के कुछ क्षेत्रों में यह धारणा नहीं बनाई गई है, और हम ऐसी संरचनाओं को यूनिटल बीजगणित कहेंगे। गैर-एकत्रीय साहचर्य बीजगणित।हम यह भी मान लेंगे कि सभी रिंग यूनिटल हैं, और सभी रिंग होमोमोर्फिज्म यूनिटल हैं।

कई लेखक एक क्षेत्र के बजाय एक कम्यूटेटिव रिंग आर पर एक साहचर्य बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करते हैं: एक आर -बीजगणित एक मॉड्यूल (गणित) है। आर -एक के साथ मॉड्यूलसहयोगी आर -बिलिनियर बाइनरी ऑपरेशन, जिसमें एक गुणक पहचान भी होती है।इस अवधारणा के उदाहरणों के लिए, यदि s केंद्र (रिंग थ्योरी) C के साथ कोई रिंग है, तो S एक साहचर्य C -बीजगणित है।

परिभाषा

चलो आर एक कम्यूटेटिव रिंग हो (इसलिए आर एक क्षेत्र हो सकता है)।एक 'साहचर्य आर-अलगेब्रा' (या अधिक बस, एक 'आर-अलगेब्रा') एक अंगूठी (गणित) है यह भी एक मॉड्यूल (गणित) है। आर-मॉड्यूल इस तरह से है कि दो परिवर्धन (रिंग जोड़ और मॉड्यूल जोड़) एक ही ऑपरेशन हैं, और स्केलर गुणन संतुष्ट करता है

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

आर और एक्स में सभी आर के लिए, बीजगणित में वाई।(इस परिभाषा का तात्पर्य है कि बीजगणित यूनिटल बीजगणित है, क्योंकि रिंगों को एक गुणक पहचान माना जाता है।)

समान रूप से, एक साहचर्य बीजगणित ए एक अंगूठी है, जिसमें एक रिंग होमोमोर्फिज़्म के साथ आर से केंद्र (रिंग थ्योरी) ए। $(r,x)\mapsto f(r)x$ (यहाँ गुणन रिंग गुणन है);यदि स्केलर गुणा दिया जाता है, तो रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा दिया जाता है $r\mapsto r\cdot 1_{A}$ (यह सभी देखें § From ring homomorphisms नीचे)।

हर रिंग एक साहचर्य है $\mathbb {Z}$ -लगेबरा, जहां $\mathbb {Z}$ पूर्णांक की अंगूठी को दर्शाता है।

एcommutative algebraएक साहचर्य बीजगणित है जो एक कम्यूटेटिव रिंग भी है।

मॉड्यूल की श्रेणी में एक मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में

परिभाषा यह कहने के बराबर है कि एक यूनिटल एसोसिएटिव आर-अलगेब्रा मॉड्यूल की श्रेणी में एक मोनॉयड (श्रेणी सिद्धांत) है। 'आर-मोड' (आर-मॉड्यूल की मोनोइडल श्रेणी)।परिभाषा के अनुसार, ए रिंग एबेलियन समूहों की श्रेणी में एक मोनोइड ऑब्जेक्ट है;इस प्रकार, एक साहचर्य बीजगणित की धारणा मॉड्यूल की श्रेणी के साथ एबेलियन समूहों की श्रेणी को बदलकर प्राप्त की जाती है।

इस विचार को और आगे बढ़ाते हुए, कुछ लेखकों ने किसी अन्य श्रेणी में एक मोनॉयड ऑब्जेक्ट के रूप में एक सामान्यीकृत रिंग पेश किया है जो मॉड्यूल की श्रेणी की तरह व्यवहार करता है।वास्तव में, यह पुनर्व्याख्या एक बीजगणित ए के तत्वों के लिए एक स्पष्ट संदर्भ बनाने से बचने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, सहयोगी को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है।मॉड्यूल के एक टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, गुणा (आर-बिल्लीनियर मैप) एक अद्वितीय आर-रैखिक मानचित्र से मेल खाती है

m:A\otimes _{R}A\to A

।

संबद्धता तब पहचान को संदर्भित करती है:

m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).

रिंग होमोमोर्फिज्म से

एक साहचर्य बीजगणित एक रिंग होमोमोर्फिज्म के लिए होता है, जिसकी छवि एक अंगूठी के केंद्र में होती है।दरअसल, एक रिंग ए और एक रिंग होमोमोर्फिज्म के साथ शुरू $\eta \colon R\to A$ किसकी छवि ए के केंद्र (रिंग थ्योरी) में निहित है, हम परिभाषित करके एक आर-बीजगणित कर सकते हैं

r\cdot x=\eta (r)x

सभी r and r और X, A. के लिए यदि A r-algebra है, तो x = 1 ले रहा है, एक ही सूत्र बदले में एक रिंग होमोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है $\eta \colon R\to A$ जिसकी छवि केंद्र में है।

यदि एक अंगूठी कम्यूटेटिव है, तो यह अपने केंद्र के बराबर है, ताकि एक कम्यूटेटिव आर-बीजगणित को केवल एक कम्यूटेटिव रिंग ए के साथ एक कम्यूटेटिव रिंग होमोमोर्फिज्म के रूप में परिभाषित किया जा सके। $\eta \colon R\to A$ ।

रिंग होमोमोर्फिज्म η उपरोक्त में दिखाई देने को अक्सर एक संरचना मानचित्र कहा जाता है।कम्यूटेटिव मामले में, कोई उस श्रेणी पर विचार कर सकता है जिसकी वस्तुएं रिंग होमोमोर्फिज्म आर → ए हैं;यानी, कम्यूटेटिव आर-एल्गेब्रस और जिनके मॉर्फिज्म रिंग होमोमोर्फिज्म ए → ए हैं'कि आर के तहत हैं;यानी, आर → ए → ए'आर → ए'।

कैसे कमिटिविटी धारणा को कमजोर करने के लिए गैर -बीजीय ज्यामिति का एक विषय है और, हाल ही में, व्युत्पन्न बीजीय ज्यामिति का।यह भी देखें: जेनेरिक मैट्रिक्स रिंग।

बीजगणित होमोमोर्फिज्म

दो आर-अलगेब्रस के बीच एक समरूपता एक मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म है। आर-रैखिक रिंग होमोमोर्फिज्म।स्पष्ट रूप से, $\varphi :A_{1}\to A_{2}$ एक साहचर्य बीजगणित समरूपता है अगर

{\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}

उनके बीच बीजगणित होमोमोर्फिज्म के साथ सभी आर-अलगेब्रस के वर्ग एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं, कभी-कभी 'आर-अलग' को निरूपित करते हैं।

कम्यूटेटिव आर-अलगेब्रस के उपश्रेणी को कॉस्लिस श्रेणी आर/'क्रिंग' के रूप में चित्रित किया जा सकता है, जहां 'क्रिंग' कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी है।

उदाहरण

सबसे बुनियादी उदाहरण एक अंगूठी ही है;यह अपने केंद्र (रिंग थ्योरी) या केंद्र में झूठ बोलने वाली किसी भी सबरिंग पर एक बीजगणित है।विशेष रूप से, कोई भी कम्यूटेटिव रिंग अपने किसी भी सबरिंग पर एक बीजगणित है।अन्य उदाहरण बीजगणित और गणित के अन्य क्षेत्रों से दोनों को छोड़ देते हैं।

बीजगणित

किसी भी अंगूठी को 'z'-algebra' के रूप में माना जा सकता है।'Z' से A तक अद्वितीय रिंग होमोमोर्फिज्म इस तथ्य से निर्धारित होता है कि इसे A में 1 को पहचान के लिए भेजना होगा, इसलिए, रिंग्स और 'Z'-algebras समकक्ष अवधारणाएं हैं, उसी तरह जैसे एबेलियन समूह और' z 'z'-मोड्यूल्स समकक्ष हैं।
किसी भी विशेषता (बीजगणित) n की अंगूठी एक ('z'/n'z ') है-बीजगणित उसी तरह से।
एक आर-मॉड्यूल एम को देखते हुए, एम का एंडोमोर्फिज्म रिंग, निरूपित अंत_R।
एक कम्यूटेटिव रिंग आर में गुणांक के साथ मैट्रिक्स (गणित) की कोई भी अंगूठी मैट्रिक्स जोड़ और गुणन के तहत एक आर-बीजगणित बनाती है।यह पिछले उदाहरण के साथ मेल खाता है जब एम एक बारीक रूप से उत्पन्न, मुक्त मॉड्यूल आर-मॉड्यूल है।
- विशेष रूप से, क्षेत्र k से प्रविष्टियों के साथ वर्ग n-by-n वर्ग मैट्रिक्स K पर एक साहचर्य बीजगणित बनाता है।
जटिल संख्या वास्तविक संख्याओं पर 2-आयामी कम्यूटेटिव बीजगणित बनाती है।
चतुर्भुज रियल पर एक 4-आयामी साहचर्य बीजगणित बनाते हैं (लेकिन जटिल संख्याओं पर एक बीजगणित नहीं, क्योंकि जटिल संख्याएँ चतुष्कोणीय के केंद्र में नहीं हैं)।
वास्तविक गुणांक के साथ बहुपद रियल पर एक कम्यूटेटिव बीजगणित बनाते हैं।
हर बहुपद रिंग आर [एक्स₁, ..., एक्स_n] एक कम्यूटेटिव आर-बीजगणित है।वास्तव में, यह सेट {एक्स पर मुफ्त कम्यूटेटिव आर-बीजगणित है₁, ..., एक्स_n}।
फ्री बीजगणित | एक सेट ई पर मुफ्त आर-बीजगांव आर में गुणांक के साथ बहुपद का एक बीजगणित है और सेट ई से लिया गया अनिश्चितता है।
एक आर-मॉड्यूल का टेंसर बीजगणित स्वाभाविक रूप से एक साहचर्य आर-बीजगणित है।बाहरी बीजगणित और सममित बीजगणित जैसे उद्धरणों के लिए भी यही सच है।स्पष्ट रूप से, फंक्शनर जो अपने टेंसर बीजगणित के लिए एक आर-मॉड्यूल को मैप करता है, वह फंक्शनर के पास छोड़ दिया जाता है जो अपने अंतर्निहित आर-मॉड्यूल (गुणक संरचना को भूलकर) को आर-बीजगणित भेजता है।
निम्नलिखित रिंग का उपयोग λ-rings के सिद्धांत में किया जाता है।एक कम्यूटेटिव रिंग को देखते हुए, चलो $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ निरंतर शब्द 1 के साथ औपचारिक शक्ति श्रृंखला का सेट। यह समूह संचालन के साथ एक एबेलियन समूह है जो बिजली श्रृंखला का गुणन है।यह तब गुणा के साथ एक अंगूठी है, जिसे निरूपित किया गया है $\circ$ , ऐसा है कि $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ इस स्थिति और रिंग स्वयंसिद्धों द्वारा निर्धारित।योज्य पहचान 1 है और गुणात्मक पहचान है $1+t$ ।फिर $A$ की एक विहित संरचना है $G(A)$ -लजबरा रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा दिया गया ${\begin{cases}G(A)\to A\\1+\sum _{i>0}a_{i}t^{i}\mapsto a_{1}\end{cases}}$ दूसरी ओर, यदि A λ-ring है, तो एक रिंग होमोमोर्फिज्म है ${\begin{cases}A\to G(A)\\a\mapsto 1+\sum _{i>0}\lambda ^{i}(a)t^{i}\end{cases}}$ दे रही है $G(A)$ ए-बीजगणित की एक संरचना।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

एक झूठ बीजगणित का सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित एक साहचर्य बीजगणित है जिसका उपयोग दिए गए झूठ बीजगणित का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।
यदि जी एक समूह है और आर एक कम्यूटेटिव रिंग है, तो जी से आर से सभी कार्यों का सेट परिमित समर्थन के साथ एक आर-बीजगणित के साथ गुणन के रूप में कन्व्यूशन के साथ।इसे जी का समूह रिंग कहा जाता है। निर्माण (असतत) समूहों के अध्ययन के लिए आवेदन के लिए प्रारंभिक बिंदु है।
यदि G एक बीजगणितीय समूह है (जैसे, Semisimple कॉम्प्लेक्स LIE GROUP), तो G का समन्वय रिंग HOPF ALGEBRA है जो G के समान है। G की कई संरचनाएं A के लिए अनुवाद करती हैं। A.
एक निर्देशित ग्राफ का एक तरकश बीजगणित (या एक पथ बीजगणित) ग्राफ में पथ द्वारा उत्पन्न एक क्षेत्र पर मुक्त साहचर्य बीजगणित है।

विश्लेषण

किसी भी Banach स्पेस X को देखते हुए, निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर A: X → X एक साहचर्य बीजगणित (गुणक के रूप में ऑपरेटरों की संरचना का उपयोग करके) बनाते हैं;यह एक बानाच बीजगणित है।
किसी भी टोपोलॉजी एक्स को देखते हुए, एक्स पर निरंतर वास्तविक या जटिल-मूल्यवान कार्यों को एक वास्तविक या जटिल साहचर्य बीजगणित बनाता है;यहां कार्यों को जोड़ा जाता है और पॉइंट वाइज से गुणा किया जाता है।
निस्पंदन (गणित) #Measure थ्योरी (& omega;, & nbsp; f, & nbsp; (f; (f, & nbsp;_t)_t ≥ 0, & nbsp; p) स्टोकेस्टिक कैलकुलस के तहत एक अंगूठी बनाता है।
वेल बीजगणित
एक अज़ुमया बीजगणित

ज्यामिति और कॉम्बिनेटरिक्स

क्लिफोर्ड बीजगणित, जो ज्यामिति और भौतिकी में उपयोगी हैं।
स्थानीय रूप से परिमित स्थिति आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों की घटना बीजगणित संयोजक बीजगणितों को कॉम्बिनेटरिक्स में माना जाता है।
विभाजन बीजगणित और इसके उप-वर्गीज, जिसमें ब्रेयर बीजगणित और टेम्परली-लीब बीजगणित शामिल हैं।

निर्माण

सबलगेब्रस: एक आर-अलगेब्रा ए का एक सबलेगैब्रा ए का एक सबसेट है, जो कि एक सबरिंग और ए का एक सबमॉड्यूल दोनों है।ए।
भागफल बीजगणित: एक आर-बीजगणित होने दो।किसी भी रिंग-थ्योरिटिक आदर्श (रिंग थ्योरी) I में एक स्वचालित रूप से R & nbsp के बाद से R- मॉड्यूल है;_A)एक्स।यह भागफल की अंगूठी a & nbsp;/& nbsp; मैं एक आर-मॉड्यूल की संरचना देता है और, वास्तव में, एक आर-बीजगणित।यह निम्नानुसार है कि ए की कोई भी रिंग होमोमोर्फिक छवि भी एक आर-बीजगणित है।
प्रत्यक्ष उत्पाद: आर-अलगेब्रस के एक परिवार का प्रत्यक्ष उत्पाद रिंग-थ्योरिटिक डायरेक्ट उत्पाद है।यह स्पष्ट स्केलर गुणन के साथ एक आर-बीजगणित बन जाता है।
मुक्त उत्पाद: कोई समूहों के मुक्त उत्पाद के समान तरीके से आर-अलगेब्रस के साहचर्य बीजगणित का एक मुक्त उत्पाद बना सकता है।मुक्त उत्पाद आर-बीजबार की श्रेणी में कॉप्रोडक्ट है।
टेंसर उत्पाद: दो आर-बीजबारों का टेंसर उत्पाद भी एक प्राकृतिक तरीके से एक आर-बीजगणित है।अधिक जानकारी के लिए बीजगणित का टेंसर उत्पाद देखें।एक कम्यूटेटिव रिंग आर और किसी भी रिंग को रिंग्स आर एंड एनबीएसपी के टेंसर उत्पाद को देखते हुए_Z& nbsp; a को r & nbsp; · & nbsp; (s & nbsp; ⊗ & nbsp; a) = (rs & nbsp; ⊗ & nbsp; a) को परिभाषित करके एक r-algebra की संरचना दी जा सकती है।फंक्टर जो एक r & nbsp; ⊗ को भेजता है_Z& nbsp; एक फंक्शनर के पास छोड़ दिया गया है जो अपनी अंतर्निहित अंगूठी (मॉड्यूल संरचना को भूलकर) को एक आर-बीजगणित भेजता है।यह भी देखें: छल्ले का परिवर्तन।

वियोज्य बीजगणित

एक कम्यूटेटिव रिंग आर के ऊपर एक बीजगणित होने दें। फिर बीजगणित ए एक अधिकार है^[1] मॉड्यूल ओवर $A^{e}:=A^{op}\otimes _{R}A$ कार्रवाई के साथ $x\cdot (a\otimes b)=axb$ ।फिर, परिभाषा के अनुसार, ए को अलग -अलग बीजगणित के लिए कहा जाता है यदि गुणा मानचित्र $A\otimes _{R}A\to A,\,x\otimes y\mapsto xy$ एक के रूप में विभाजित करता है $A^{e}$ -लाइनर मानचित्र,^[2] कहां $A\otimes A$ एक $A^{e}$ -मॉड्यूल द्वारा $(x\otimes y)\cdot (a\otimes b)=ax\otimes yb$ ।समान रूप से,^[3] $A$ यदि यह एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल है तो अलग -अलग है $A^{e}$ ;इस प्रकार $A^{e}$ -प्रोणि आयाम, कभी -कभी ए की 'द्विदिश' कहा जाता है, पृथक्करण की विफलता को मापता है।

परिमित-आयामी बीजगणित

एक क्षेत्र k पर एक परिमित-आयामी बीजगणित होने दें।फिर एक आर्टिनियन रिंग है।

कम्यूटेटिव केस

जैसा कि एक आर्टिनियन है, अगर यह कम्यूटेटिव है, तो यह आर्टिनियन स्थानीय रिंगों का एक परिमित उत्पाद है, जिनके अवशेषों के क्षेत्र आधार क्षेत्र के पर बीजगणित हैं।अब, एक कम आर्टिनियन स्थानीय अंगूठी एक क्षेत्र है और इस प्रकार निम्नलिखित समतुल्य हैं^[4]

$A$ अलग है।
$A\otimes {\overline {k}}$ कम हो गया है, जहां ${\overline {k}}$ कुछ बीजगणितीय बंद है के।
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ कुछ एन के लिए।
$\dim _{k}A$ की संख्या है $k$ -लगेबरा होमोमोर्फिज्म $A\to {\overline {k}}$ ।

noncommutative मामला

चूंकि एक साधारण आर्टिनियन रिंग एक डिवीजन रिंग पर एक (पूर्ण) मैट्रिक्स रिंग है, अगर ए एक साधारण बीजगणित है, तो एक डिवीजन बीजगणित डी के ऊपर एक (पूर्ण) मैट्रिक्स बीजगणित है;अर्थात।, $A=M_{n}(D)$ ।अधिक आम तौर पर, यदि A एक सेमीसिम्पल बीजगणित है, तो यह मैट्रिक्स बीजगणित (विभिन्न डिवीजन के-अलगेब्रस पर) का एक परिमित उत्पाद है, जिसे आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

तथ्य यह है कि ए आर्टिनियन एक जैकबसन कट्टरपंथी की धारणा को सरल करता है;एक आर्टिनियन रिंग के लिए, ए का जैकबसन कट्टरपंथी सभी (दो-तरफा) अधिकतम आदर्शों का चौराहा है (इसके विपरीत, सामान्य रूप से, एक जैकबसन कट्टरपंथी सभी बाएं अधिकतम आदर्शों या सभी दाहिने अधिकतम आदर्शों के चौराहे का चौराहा है।)

'वेडरबर्न प्रिंसिपल प्रमेय' में कहा गया है:^[5] एक परिमित-आयामी बीजगणित के लिए एक निलपोटेंट आदर्श I के साथ, यदि प्रोजेक्टिव आयाम $A/I$ के रूप में $(A/I)^{e}$ -मॉड्यूल सबसे अधिक है, फिर प्राकृतिक नजरबंदी $p:A\to A/I$ विभाजन;अर्थात।, $A$ एक सबलजेब्रा होता है $B$ ऐसा है कि $p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I$ एक आइसोमोर्फिज्म है।मैं जैकबसन कट्टरपंथी बनने के लिए, प्रमेय का कहना है कि विशेष रूप से जैकबसन कट्टरपंथी एक सेमीसिम्पल बीजगणित द्वारा पूरक है।प्रमेय झूठ अल्जेब्रास के लिए लेवी के प्रमेय का एक एनालॉग है।

लैटिस और ऑर्डर

चलो आर एक नॉटेथियन इंटीग्रल डोमेन हो, जो कि अंश के क्षेत्र के साथ है (उदाहरण के लिए, वे हो सकते हैं $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q}$ )।एक परिमित-आयामी के-वेक्टर स्पेस वी में एक जाली (ऑर्डर) एल वी का एक बारीक रूप से उत्पन्न आर-सबमॉड्यूल है जो वी को स्पैन करता है;दूसरे शब्दों में, $L\otimes _{R}K=V$ ।

होने देना $A_{K}$ एक परिमित-आयामी K-bgebra बनें।में एक आदेश (रिंग थ्योरी) $A_{K}$ एक आर-सबलगेब्रा है जो एक जाली है।सामान्य तौर पर, लैटिस की तुलना में बहुत कम ऑर्डर होते हैं;उदा। ${1 \over 2}\mathbb {Z}$ में एक जाली है $\mathbb {Q}$ लेकिन एक आदेश नहीं (क्योंकि यह बीजगणित नहीं है)।^[6] एक अधिकतम आदेश एक आदेश है जो सभी आदेशों के बीच अधिकतम है।

अभ्यावेदन

एक बीजगणित ए का एक प्रतिनिधित्व सिद्धांत एक बीजगणित होमोमोर्फिज्म ρ & nbsp;: A से → अंत (v) कुछ वेक्टर स्पेस (या मॉड्यूल) के एंडोमोर्फिज़्म बीजगणित से।ऑपरेशन (अर्थात, ρ (xy) & nbsp; = & nbsp; ρ (x) ρ (y) सभी x और y के लिए a), और यह कि ρ की इकाई को अंत (v) की इकाई को भेजता है (v), वी की पहचान एंडोमोर्फिज्म के लिए)।

यदि A और B दो बीजगणित हैं, और ρ & nbsp;: a → अंत (v) और & tau; & nbsp;: b → अंत (w) दो अभ्यावेदन हैं, तो एक (विहित) प्रतिनिधित्व एक है $\otimes$ B → अंत (v (v) $\otimes$ डब्ल्यू) टेंसर उत्पाद बीजगणित ए $\otimes$ वेक्टर स्पेस वी पर बी $\otimes$ डब्ल्यू। हालांकि, एक एकल साहचर्य बीजगणित के दो अभ्यावेदन के एक टेंसर उत्पाद को इस तरह से परिभाषित करने का कोई स्वाभाविक तरीका नहीं है कि परिणाम अभी भी उसी बीजगणित (अपने साथ अपने टेंसर उत्पाद का नहीं) का प्रतिनिधित्व करता है, बिना किसी तरह के थोपने के बिना।अतिरिक्त शर्त।यहां, अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद द्वारा, सामान्य अर्थ का इरादा है: परिणाम उत्पाद वेक्टर अंतरिक्ष पर एक ही बीजगणित का एक रैखिक प्रतिनिधित्व होना चाहिए।इस तरह की अतिरिक्त संरचना को लागू करने से आमतौर पर हॉपफ बीजगणित या झूठ बीजगणित का विचार होता है, जैसा कि नीचे प्रदर्शित किया गया है।

एक हॉपफ बीजगणित के लिए प्रेरणा

उदाहरण के लिए, दो अभ्यावेदन पर विचार करें $\sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)$ और $\tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)$ ।एक टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व बनाने की कोशिश कर सकता है $\rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)$ यह उत्पाद वेक्टर स्थान पर कैसे कार्य करता है, इसके अनुसार, ताकि

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).

हालांकि, ऐसा नक्शा रैखिक नहीं होगा, क्योंकि एक होगा

\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)

K के लिए। K. कोई इस प्रयास को बचा सकता है और अतिरिक्त संरचना को लागू करके रैखिकता को पुनर्स्थापित कर सकता है, एक बीजगणित होमोमोर्फिज्म को परिभाषित करके Δ: A → A & otimes;ए, और टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व को परिभाषित करना

\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .

इस तरह के एक समरूपता को एक comultiplication कहा जाता है यदि यह कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।परिणामी संरचना को एक Bialgebra कहा जाता है।साहचर्य बीजगणित की परिभाषाओं के अनुरूप होने के लिए, कोलजबरा को सह-सहयोगी होना चाहिए, और, यदि बीजगणित एकतरफा है, तो सह-वृद्धि को सह-एक-समान होना चाहिए।एक हॉपफ बीजगणित संरचना के एक अतिरिक्त टुकड़े (तथाकथित एंटीपोड) के साथ एक Bialgebra है, जो न केवल दो अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देता है, बल्कि दो अभ्यावेदन का होम मॉड्यूल भी है (फिर से, इसी तरह, यह कैसे किया जाता हैसमूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में)।

एक झूठ बीजगणित के लिए प्रेरणा

एक टेंसर उत्पाद को परिभाषित करने में अधिक चतुर होने की कोशिश कर सकते हैं।उदाहरण के लिए, विचार करें,

x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)

ताकि टेंसर उत्पाद स्थान पर कार्रवाई दी जाए

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

।

यह नक्शा स्पष्ट रूप से x में रैखिक है, और इसलिए इसमें पहले की परिभाषा की समस्या नहीं है।हालांकि, यह गुणन को संरक्षित करने में विफल रहता है:

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

।

लेकिन, सामान्य तौर पर, यह समान नहीं है

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

।

इससे पता चलता है कि एक टेंसर उत्पाद की यह परिभाषा बहुत भोली है;स्पष्ट सुधार इसे इस तरह से परिभाषित करना है कि यह एंटीसिमेट्रिक है, ताकि मध्य दो शब्द रद्द हो जाएं।यह एक झूठ बीजगणित की अवधारणा की ओर जाता है।

गैर-एकतर बीजगणित

कुछ लेखक संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए साहचर्य बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं, जो जरूरी नहीं कि एक गुणक पहचान हो, और इसलिए उन होमोमोर्फिज्म पर विचार करें जो जरूरी नहीं कि यूनिटल हों।

एक गैर-एकतर साहचर्य बीजगणित का एक उदाहरण सभी कार्यों के सेट द्वारा दिया गया है f: 'r' → 'r' जिसकी फ़ंक्शन की सीमा X के पास के रूप में अनंत शून्य है।

एक अन्य उदाहरण निरंतर आवधिक कार्यों का वेक्टर स्थान है, साथ में एक साथ।

यह भी देखें

सार बीजगणित
बीजगणितीय संरचना
एक क्षेत्र पर बीजगणित
अल्जेब्रा के शीश, एक रिंगेड स्पेस पर एक बीजगणित का एक प्रकार

↑ Editorial note: as it turns, $A^{e}$ is a full matrix ring in interesting cases and it is more conventional to let matrices act from the right.
↑ Cohn 2003, § 4.7.
↑ To see the equivalence, note a section of $A\otimes _{R}A\to A$ can be used to construct a section of a surjection.
↑ Waterhouse 1979, § 6.2.
↑ Cohn 2003, Theorem 4.7.5.
↑ Artin 1999, Ch. IV, § 1.

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संदर्भ

Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF). Archived (PDF) from the original on October 9, 2022.
Bourbaki, N. (1989). Algebra I. Springer. ISBN 3-540-64243-9.
Cohn, P.M. (2003). Further Algebra and Applications (2nd ed.). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001.
Nathan Jacobson, Structure of Rings
James Byrnie Shaw (1907) A Synopsis of Linear Associative Algebra, link from Cornell University Historical Math Monographs.
Ross Street (1998) Quantum Groups: an entrée to modern algebra, an overview of index-free notation.
Waterhouse, William (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117

श्रेणी: बीजगणित श्रेणी: बीजगणितीय ज्यामिति]

[1] Editorial note: as it turns, $A^{e}$ is a full matrix ring in interesting cases and it is more conventional to let matrices act from the right.

[2] Cohn 2003, § 4.7.

[3] To see the equivalence, note a section of $A\otimes _{R}A\to A$ can be used to construct a section of a surjection.

[4] Waterhouse 1979, § 6.2.

[5] Cohn 2003, Theorem 4.7.5.

[6] Artin 1999, Ch. IV, § 1.

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[6]