सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति

गणित में, सिंथेटिक विभेदक ज्यामिति टोपोस सिद्धांत की भाषा में डिफरेंशियल ज्योमेट्री के सिद्धांत का एक औपचारिकीकरण है। ऐसी कई अंतर्दृष्टियाँ हैं जो इस तरह के सुधार की अनुमति देती हैं। पहला यह है कि चिकनी कई गुना ्स के वर्ग का वर्णन करने के लिए अधिकांश विश्लेषणात्मक डेटा को मैनिफोल्ड्स पर कुछ फाइबर बंडलों में एन्कोड किया जा सकता है: अर्थात् जेट के बंडल (गणित) (जेट बंडल भी देखें)। दूसरी अंतर्दृष्टि यह है कि जेट के एक बंडल को स्मूथ मैनिफोल्ड में असाइन करने का ऑपरेशन प्रकृति में ऑपरेटर है। तीसरी अंतर्दृष्टि यह है कि एक निश्चित श्रेणी सिद्धांत पर, ये प्रतिनिधित्व योग्य फ़ंक्शनल हैं। इसके अलावा, उनके प्रतिनिधि दोहरी संख्याओं के बीजगणित से संबंधित हैं, ताकि सहज अनंतिम विश्लेषण का उपयोग किया जा सके।

सिंथेटिक डिफरेंशियल ज्योमेट्री, डिफरेंशियल ज्योमेट्री से कुछ अन्यथा अस्पष्ट या भ्रमित करने वाली धारणाओं को तैयार करने के लिए एक मंच के रूप में काम कर सकती है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक (या अपरिवर्तनीय) का अर्थ विशेष रूप से सरल अभिव्यक्ति है, भले ही शास्त्रीय अंतर ज्यामिति में सूत्रीकरण काफी कठिन हो सकता है।

अग्रिम पठन

• John Lane Bell, Two Approaches to Modelling the Universe: Synthetic Differential Geometry and Frame-Valued Sets (PDF file)
• F.W. Lawvere, Outline of synthetic differential geometry (PDF file)
• Anders Kock, Synthetic Differential Geometry (PDF file), Cambridge University Press, 2nd Edition, 2006.
• R. Lavendhomme, Basic Concepts of Synthetic Differential Geometry, Springer-Verlag, 1996.
• Michael Shulman, Synthetic Differential Geometry
• Ryszard Paweł Kostecki, Differential Geometry in Toposes