सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में, सुपरसिमेट्री (SUSY) वाले कई सिद्धांत हैं जिनमें आंतरिक गेज समरूपता भी है। सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत इस धारणा को सामान्य करता है।

गेज सिद्धांत

एक गेज सिद्धांत गेज समरूपता के साथ एक क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी) है। मोटे तौर पर, वैश्विक और स्थानीय दो प्रकार की समरूपताएँ हैं। एक वैश्विक समरूपता एक समरूपता है जो समान रूप से (कुछ अर्थों में) कई गुना के प्रत्येक बिंदु पर लागू होती है। एक स्थानीय समरूपता एक समरूपता है जो स्थिति पर निर्भर है। गेज समरूपता एक स्थानीय समरूपता का एक उदाहरण है, जिसमें लाइ समूह (जो गणितीय रूप से निरंतरता (गणित) समरूपता का वर्णन करता है) द्वारा वर्णित समरूपता है, जिसे गेज सिद्धांत के संदर्भ में सिद्धांत का गेज समूह कहा जाता है।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स और क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स गेज सिद्धांतों के प्रसिद्ध उदाहरण हैं।

सुपरसिममेट्री

कण भौतिकी में, दो प्रकार के कण आँकड़ों, बोसॉन और फ़र्मियन के साथ कण मौजूद होते हैं। बोसोन में पूर्णांक स्पिन (भौतिकी) मान होते हैं, और अंतरिक्ष में एक ही बिंदु पर किसी भी समान बोसोन की संख्या रखने की क्षमता की विशेषता होती है। इस प्रकार उन्हें बलों के साथ पहचाना जाता है। फ़र्मियन में आधा-पूर्णांक स्पिन मान होते हैं, और पाउली बहिष्करण सिद्धांत द्वारा, समान फ़र्मियन स्पेसटाइम में एक स्थान पर कब्जा नहीं कर सकते हैं। बोसोन और फर्मियन क्षेत्रों की व्याख्या पदार्थ (भौतिकी) के रूप में की जाती है। इस प्रकार, सुपरसिमेट्री को विकिरण (बोसोन-मध्यस्थ बलों) और पदार्थ के एकीकरण के लिए एक मजबूत उम्मीदवार माना जाता है।

यह एकीकरण एक ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा दिया गया है $Q$ (या आम तौर पर कई ऑपरेटर), सुपर-पॉइनकेयर बीजगणित # परिभाषा या सुपरसिमेट्री जनरेटर के रूप में जाना जाता है, जो योजनाबद्ध रूप से कार्य करता है

$Q|{\text{boson}}\rangle =|{\text{fermion}}\rangle$
$Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle$ उदाहरण के लिए, सुपरसिमेट्री जनरेटर एक फोटॉन को एक तर्क के रूप में ले सकता है और इसे एक photo ​​में बदल सकता है और इसके विपरीत। यह (पैरामीटर) स्थान में अनुवाद के माध्यम से होता है। यह सुपरस्पेस एक है ${\mathbb {Z} _{2}}$-ग्रेडेड वेक्टर स्पेस ${\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}$, कहाँ ${\mathcal {W}}^{0}$ बोसोनिक हिल्बर्ट अंतरिक्ष है और ${\mathcal {W}}^{1}$ फर्मीओनिक हिल्बर्ट स्पेस है।

सूसी गेज सिद्धांत

गेज सिद्धांत के एक सुपरसिमेट्रिक संस्करण के लिए प्रेरणा यह तथ्य हो सकता है कि गेज इनवेरियन सुपरसिमेट्री के अनुरूप है। पहला उदाहरण ब्रूनो जुमिनो और सर्जियो फेरारा द्वारा खोजा गया था, और स्वतंत्र रूप से 1974 में नमस्ते अब्दुस और जेम्स स्ट्रैथडी द्वारा खोजा गया था।

दोनों आधा-पूर्णांक स्पिन फ़र्मियन और पूर्णांक स्पिन बोसोन गेज कण बन सकते हैं। गेज वेक्टर फ़ील्ड्स और इसके स्पिनोरियल सुपरपार्टनर दोनों को आंतरिक समरूपता समूह के समान प्रतिनिधित्व में रहने के लिए बनाया जा सकता है।

मान लीजिए हमारे पास ए $U(1)$ गेज परिवर्तन $V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A$, कहाँ $V_{\mu }$ एक सदिश क्षेत्र है और $A$ गेज फ़ंक्शन है। SUSY गेज थ्योरी के निर्माण में मुख्य कठिनाई उपरोक्त परिवर्तन को एक तरह से विस्तारित करना है जो SUSY परिवर्तनों के अनुरूप हो।

वेस-ज़ुमिनो गेज (सुपरसिमेट्रिक गेज फिक्सिंग के लिए एक नुस्खा) इस समस्या का एक सफल समाधान प्रदान करता है। एक बार इस तरह के उपयुक्त गेज प्राप्त हो जाने के बाद, SUSY गेज सिद्धांत की गतिशीलता निम्नानुसार काम करती है: हम एक लग्रांगियन की तलाश करते हैं जो सुपर-गेज परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है (ये परिवर्तन गेज सिद्धांत के सुपरसिमेट्रिक संस्करण को विकसित करने के लिए आवश्यक एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं)। तब हम बेरेज़िन एकीकरण नियमों का उपयोग करके Lagrangian को एकीकृत कर सकते हैं और इस प्रकार कार्रवाई प्राप्त कर सकते हैं। जो आगे चलकर गति के समीकरणों की ओर ले जाता है और इस प्रकार सिद्धांत की गतिशीलता का पूर्ण विश्लेषण प्रदान कर सकता है।

N = 1 SUSY 4D में (4 वास्तविक जनरेटर के साथ)

चार आयामों में, न्यूनतम N = 1 सुपरसममेट्री को superspace का उपयोग करके लिखा जा सकता है। इस सुपरस्पेस में चार अतिरिक्त फेरमोनिक निर्देशांक शामिल हैं $\theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}$, दो-घटक spinor और उसके संयुग्म के रूप में रूपांतरित।

प्रत्येक सुपरफ़ील्ड, यानी एक क्षेत्र जो सुपरस्पेस के सभी निर्देशांकों पर निर्भर करता है, को नए फ़र्मोनिक निर्देशांक के संबंध में विस्तारित किया जा सकता है। एक विशेष प्रकार के सुपरफ़ील्ड मौजूद हैं, तथाकथित चिरल सुपरफील्ड, जो केवल चरों पर निर्भर करते हैं θ लेकिन उनके संयुग्म नहीं (अधिक सटीक, ${\overline {D}}f=0$). हालाँकि, एक supermultiple सभी निर्देशांकों पर निर्भर करता है। यह एक गेज क्षेत्र और उसके सुपरपार्टनर का वर्णन करता है, अर्थात् एक वेइल फर्मियन जो डायराक समीकरण का पालन करता है।

$V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)$

V वेक्टर सुपरफ़ील्ड (प्रीपोटेंशियल) है और वास्तविक है (V = V). दायीं ओर के क्षेत्र घटक क्षेत्र हैं।

गेज परिवर्तन के रूप में कार्य करते हैं

$V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}$

कहाँ Λ कोई भी चिरल सुपरफ़ील्ड है।

यह जांचना आसान है कि चिरल सुपरफ़ील्ड

$W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V$

गेज अपरिवर्तनीय है। तो इसका जटिल संयुग्म है ${\overline {W}}_{\dot {\alpha }}$.

एक गैर-सुपरसिमेट्रिक सहसंयोजक गेज जिसका अक्सर उपयोग किया जाता है, वेस-ज़ुमिनो गेज है। यहाँ, C, χ, M और N सभी शून्य पर सेट हैं। अवशिष्ट गेज समरूपता पारंपरिक बोसोनिक प्रकार के गेज परिवर्तन हैं।

एक चिराल सुपरफ़ील्ड X के प्रभार के साथ q के रूप में रूपांतरित करता है

$X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X$

इसलिए Xe^−qVX गेज अपरिवर्तनीय है। यहाँ e^−qV को पुल कहा जाता है क्योंकि यह एक ऐसे क्षेत्र को पुल करता है जो नीचे रूपांतरित होता है Λ केवल एक ऐसे क्षेत्र के साथ जो नीचे रूपांतरित होता है Λ केवल।

अधिक आम तौर पर, अगर हमारे पास वास्तविक गेज समूह है G कि हम सुपरसिमेट्री चाहते हैं, हमें पहले इसे जटिल बनाना होगा G^c ⋅ e^−qV तब जटिल गेज परिवर्तनों के लिए एक कम्पेसाटर का कार्य करता है, जो केवल वास्तविक भागों को छोड़कर उन्हें अवशोषित करता है। वेस-जुमिनो गेज में यही किया जा रहा है।

डिफरेंशियल सुपरफॉर्म्स

पारंपरिक यांग-मिल्स गेज सिद्धांत की तरह दिखने के लिए सब कुछ फिर से करें। हमारे पास एक U(1) 1-सुपरफॉर्म गेज कनेक्शन ए के साथ पूर्ण सुपरस्पेस पर काम करने वाली गेज समरूपता। स्पर्शरेखा स्थान के लिए विश्लेषणात्मक आधार में, सहसंयोजक व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है $D_{M}=d_{M}+iqA_{M}$. चिरल कंस्ट्रेंट के साथ चिरल सुपरफील्ड्स के लिए इंटीग्रेबिलिटी कंडीशंस

${\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0$

हमारा साथ छोड़ दो

$\left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.$

एंटीचिरल सुपरफील्ड्स के लिए एक समान बाधा हमें छोड़ देती है F_αβ = 0. इसका मतलब है कि हम या तो गेज फिक्स कर सकते हैं $A_{\dot {\alpha }}=0$ या A_α = 0 लेकिन दोनों एक साथ नहीं। दो अलग-अलग गेज फिक्सिंग योजनाओं I और II को क्रमशः कॉल करें। गेज I में, ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0$ और गेज II में, d_α X = 0. अब, ट्रिक एक साथ दो अलग-अलग गेज का उपयोग करने की है; चिरल सुपरफील्ड्स के लिए गेज I और एंटीचिरल सुपरफील्ड्स के लिए गेज II। दो अलग-अलग गेजों के बीच सेतु बनाने के लिए, हमें गेज परिवर्तन की आवश्यकता है। इसे कहते हैं e^−V (रिवाज के सन्दर्भ मे)। अगर हम सभी क्षेत्रों के लिए एक गेज का उपयोग कर रहे थे, XX गेज अपरिवर्तनीय होगा। हालाँकि, हमें गेज I को गेज II में परिवर्तित करने की आवश्यकता है X को (e^−V)^qX. तो, गेज अपरिवर्तनीय मात्रा है Xe^−qVX.

गेज I में, हमारे पास अभी भी अवशिष्ट गेज है e^Λ कहाँ ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0$ और गेज II में, हमारे पास अवशिष्ट गेज है e^Λ संतुष्टि देने वाला d_α Λ = 0. अवशिष्ट गेज के तहत, पुल रूपांतरित होता है

$e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.$

बिना किसी अतिरिक्त बाधा के, पुल e^−V गेज फ़ील्ड के बारे में सारी जानकारी नहीं देगा। हालांकि, अतिरिक्त बाधा के साथ $F_{{\dot {\alpha }}\beta }$, केवल एक अद्वितीय गेज फ़ील्ड है जो ब्रिज मोडुलो गेज ट्रांसफ़ॉर्मेशन के साथ संगत है। अब, ब्रिज बिल्कुल वही सूचना सामग्री देता है जो गेज फील्ड देता है।

8 या अधिक SUSY जनरेटर के साथ सिद्धांत (N > 1)

उच्च सुपरसिमेट्री (और शायद उच्च आयाम) के सिद्धांतों में, एक वेक्टर सुपरफ़ील्ड आमतौर पर न केवल एक गेज फ़ील्ड और एक वेइल फ़र्मियन का वर्णन करता है बल्कि कम से कम एक जटिल अदिश क्षेत्र का भी वर्णन करता है।

उदाहरण

शुद्ध सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत

• एन = 1 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत | एन = 1 सुपर यांग-मिल्स
• सीबर्ग-विटन सिद्धांत | एन = 2 सुपर यांग-मिल्स
• एन = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत | एन = 4 सुपर यांग-मिल्स

पदार्थ के साथ सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांत

• सुपर क्यूसीडी
• न्यूनतम सुपरसिमेट्रिक मानक मॉडल (न्यूनतम सुपरसिमेट्रिक स्टैंडर्ड मॉडल)
• NMSSM (नेक्स्ट-टू-मिनिमल सुपरसिमेट्रिक स्टैंडर्ड मॉडल)

यह भी देखें

• महाशक्ति
• डी अवधि
• एफ अवधि
• वर्तमान सुपरफ़ील्ड
• सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी

संदर्भ

• Stephen P. Martin. A Supersymmetry Primer, arXiv:hep-ph/9709356.
• Prakash, Nirmala. Mathematical Perspective on Theoretical Physics: A Journey from Black Holes to Superstrings, World Scientific (2003).
• Kulshreshtha, D. S.; Mueller-Kirsten, H. J. W. (1991). "Quantization of systems with constraints: The Faddeev-Jackiw method versus Dirac's method applied to superfields". Physical Review D. Phys. Rev. D43, 3376-3383. 43 (10): 3376–3383. Bibcode:1991PhRvD..43.3376K. doi:10.1103/PhysRevD.43.3376.