स्थानीय संपत्ति

गणित में, एक गणितीय वस्तु को स्थानीय रूप से एक संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है, यदि संपत्ति वस्तु के कुछ सीमित, तत्काल भागों पर संतुष्ट है (जैसे, कुछ पर्याप्त रूप से छोटे या मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस (गणित) पर) अंकों का)।

फ़ंक्शन पर एक बिंदु के गुण

शायद स्थानीयता के विचार का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण स्थानीय न्यूनतम (या स्थानीय अधिकतम ) की अवधारणा में निहित है, जो एक फ़ंक्शन में एक बिंदु है जिसका कार्यात्मक मूल्य तत्काल पड़ोस (गणित) के भीतर सबसे छोटा (सम्मान, सबसे बड़ा) है। अंकों की। इसे वैश्विक न्यूनतम (या वैश्विक अधिकतम) के विचार से अलग किया जाना चाहिए, जो अपने पूरे डोमेन में फ़ंक्शन के न्यूनतम (resp।, अधिकतम) से मेल खाता है।

एक ही स्थान के गुण

एक टोपोलॉजिकल स्पेस को कभी-कभी एक संपत्ति को स्थानीय रूप से प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है, यदि संपत्ति को प्रत्येक बिंदु के पास निम्न में से किसी एक तरीके से प्रदर्शित किया जाता है:

1. प्रत्येक बिंदु में संपत्ति का प्रदर्शन करने वाला पड़ोस (गणित) होता है;
2. प्रत्येक बिंदु पर संपत्ति का प्रदर्शन करने वाले सेटों का पड़ोस आधार होता है।

यहां, ध्यान दें कि स्थिति (2) अधिकांश भाग के लिए स्थिति (1) से अधिक मजबूत है, और दोनों के बीच अंतर करने के लिए अतिरिक्त सावधानी बरतनी चाहिए। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट की परिभाषा में कुछ भिन्नता इन स्थितियों के विभिन्न विकल्पों के परिणामस्वरूप उत्पन्न हो सकती है।

उदाहरण

• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस
• स्थानीय रूप से जुड़े और स्थानीय रूप से पथ से जुड़े टोपोलॉजिकल स्पेस
• स्थानीय रूप से हॉसडॉर्फ स्पेस , स्थानीय रूप से नियमित, स्थानीय रूप से सामान्य स्थान आदि ...
• स्थानीय रूप स्थानीय रूप से मापने योग्य स्थान

रिक्त स्थान की एक जोड़ी के गुण

टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच तुल्यता की कुछ धारणा (जैसे, समरूपता , भिन्नरूपता , आइसोमेट्री ) को देखते हुए, दो स्पेस को स्थानीय रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि पहले स्थान के प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस होता है जो दूसरे स्थान के पड़ोस के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, वृत्त और रेखा बहुत भिन्न वस्तुएँ हैं। कोई रेखा की तरह दिखने के लिए वृत्त को खींच नहीं सकता है, न ही बिना अंतराल या ओवरलैप के वृत्त पर फिट होने के लिए रेखा को संकुचित कर सकता है। हालांकि, रेखा के एक छोटे से टुकड़े की तरह दिखने के लिए घेरा के एक छोटे से टुकड़े को बढ़ाया और चपटा किया जा सकता है। इस कारण से, कोई कह सकता है कि वृत्त और रेखा स्थानीय रूप से समतुल्य हैं।

इसी प्रकार, गोला और तल स्थानीय रूप से समतुल्य हैं। एक गोले (जैसे, एक व्यक्ति और पृथ्वी) की सतह (टोपोलॉजी) पर खड़ा एक छोटा पर्याप्त पर्यवेक्षक इसे एक विमान से अप्रभेद्य पाएगा।

अनंत समूह ों के गुण

एक अनंत समूह के लिए, एक छोटे से पड़ोस को अंतिम रूप से उत्पन्न समूह उपसमूह के रूप में लिया जाता है। एक अनंत समूह को स्थानीय रूप से पी कहा जाता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न उपसमूह पी हो। उदाहरण के लिए, एक समूह स्थानीय रूप से परिमित समूह होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न उपसमूह परिमित होता है, और एक समूह स्थानीय रूप से घुलनशील होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न उपसमूह घुलनशील समूह होता है।

परिमित समूह ों के गुण

परिमित समूहों के लिए, एक छोटे से पड़ोस को एक अभाज्य संख्या p के संदर्भ में परिभाषित उपसमूह के रूप में लिया जाता है, आमतौर पर 'स्थानीय उपसमूह', गैर-तुच्छ पी-समूह | पी-उपसमूहों के सामान्यकर्ता। इस मामले में, एक संपत्ति को स्थानीय कहा जाता है यदि इसे स्थानीय उपसमूहों से पता लगाया जा सकता है। वैश्विक और स्थानीय संपत्तियों ने परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण पर प्रारंभिक कार्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बनाया, जो 1960 के दशक के दौरान किया गया था।

कम्यूटिव रिंगों के गुण

Main article: local ring

कम्यूटेटिव रिंगों के लिए, बीजीय ज्यामिति के विचार एक रिंग के एक छोटे से पड़ोस को एक प्रमुख आदर्श पर रिंग के स्थानीयकरण के रूप में लेना स्वाभाविक बनाते हैं। इस मामले में, एक संपत्ति को स्थानीय कहा जाता है यदि स्थानीय रिंग ों से इसका पता लगाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक कम्यूटेटिव रिंग के ऊपर एक फ्लैट मॉड्यूल होना एक स्थानीय संपत्ति है, लेकिन एक मुफ्त मॉड्यूल होना नहीं है। अधिक के लिए, एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण देखें।

यह भी देखें

• स्थानीय पथ जुड़ाव

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• पड़ोस का आधार
• स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा
• नॉर्मलाइज़र
• परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण
• बीजगणितीय ज्यामिति
• एक अंगूठी का स्थानीयकरण