स्मृतिहीनता

संभाव्यता और सांख्यिकी में, स्मृतिहीनता कुछ संभाव्यता वितरणों की एक संपत्ति है। यह आमतौर पर उन मामलों को संदर्भित करता है जब किसी निश्चित घटना के घटित होने तक प्रतीक्षा समय का वितरण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कितना समय पहले ही बीत चुका है। स्मृतिहीन स्थितियों को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए, हमें लगातार 'भूलना' चाहिए कि सिस्टम किस स्थिति में है: संभावनाएं प्रक्रिया के इतिहास से प्रभावित नहीं होंगी।^[1] केवल दो प्रकार के वितरण स्मृतिहीन हैं: गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का ज्यामितीय वितरण और गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का घातांकीय वितरण।

मार्कोव प्रक्रियाओं के संदर्भ में, स्मृतिहीनता मार्कोव संपत्ति को संदर्भित करती है,^[2] एक और भी मजबूत धारणा जिसका अर्थ है कि भविष्य से संबंधित यादृच्छिक चर के गुण केवल वर्तमान समय के बारे में प्रासंगिक जानकारी पर निर्भर करते हैं, न कि अतीत में आगे की जानकारी पर। वर्तमान लेख मार्कोव संपत्ति के बाहर उपयोग का वर्णन करता है।

प्रतीक्षा समय के उदाहरण

स्मृति के साथ

अधिकांश घटनाएं स्मृतिहीन नहीं होती हैं, जिसका अर्थ है कि पर्यवेक्षक समय के साथ उनके बारे में जानकारी प्राप्त करेंगे। उदाहरण के लिए, मान लीजिये $X$ एक यादृच्छिक चर है, कार के इंजन का जीवनकाल, इंजन के खराब होने तक चलाए गए मील की संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। हमारे अंतर्ज्ञान के आधार पर, यह स्पष्ट है कि एक इंजन जो पहले ही 300,000 मील तक चलाया जा चुका है, उसकी क्षमता बहुत कम होगी $X$ दूसरे (समकक्ष) इंजन की तुलना में जो केवल 1,000 मील तक चला है। इसलिए, इस यादृच्छिक चर में स्मृतिहीनता का गुण नहीं होगा।

स्मृति के बिना

इसके विपरीत, आइए हम एक ऐसी स्थिति की जांच करें जो स्मृतिहीनता को प्रदर्शित करेगी। एक लंबे गलियारे की कल्पना करें, जिसकी एक दीवार पर हजारों तिजोरियाँ हों। प्रत्येक तिजोरी में 500 स्थानों वाला एक डायल है, और प्रत्येक को यादृच्छिक रूप से एक प्रारंभिक स्थान सौंपा गया है। कल्पना करें कि एक सनकी व्यक्ति दालान में चलता है, प्रत्येक तिजोरी पर एक बार रुककर उसे खोलने का एक भी यादृच्छिक प्रयास करता है। इस मामले में, हम यादृच्छिक चर को परिभाषित कर सकते हैं $X$ उनकी खोज के जीवनकाल के रूप में, व्यक्ति द्वारा सफलतापूर्वक तिजोरी खोलने तक किए जाने वाले प्रयासों की संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। इस मामले में, $E[X]$ हमेशा 500 के मान के बराबर रहेगा, भले ही पहले से ही कितने प्रयास किए गए हों। प्रत्येक नए प्रयास में सफल होने की (1/500) संभावना होती है, इसलिए व्यक्ति अगले 500 प्रयासों में कभी-कभी ठीक एक तिजोरी खोलने की संभावना रखता है - लेकिन प्रत्येक नई विफलता के साथ वे अंततः सफल होने की दिशा में कोई प्रगति नहीं करते हैं। भले ही सेफ-क्रैकर लगातार 499 बार (या 4,999 बार) विफल हुआ हो, हम अगली सफलता देखने तक 500 और प्रयासों की प्रतीक्षा करने की उम्मीद करते हैं। यदि, इसके बजाय, यह व्यक्ति अपने प्रयासों को एक ही तिजोरी पर केंद्रित करता है, और इसे खोलने के अपने पिछले प्रयासों को याद रखता है, तो उन्हें अधिकतम 500 प्रयासों के बाद तिजोरी खोलने की गारंटी दी जाएगी (और, वास्तव में, शुरुआत में केवल इसकी उम्मीद होगी) 250 प्रयासों की आवश्यकता है, 500 की नहीं)।

स्मृतिहीनता के वास्तविक जीवन के उदाहरणों में रेडियोधर्मी क्षय #सार्वभौमिक कानून शामिल है, जो किसी दिए गए रेडियोधर्मी कण के क्षय होने तक के समय का वर्णन करता है, और, संभावित रूप से, एक नए Bitcoin ब्लॉक की खोज तक का समय, हालांकि इस पर सवाल उठाया गया है।^[3] कतार सिद्धांत में स्मृतिहीनता का अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला (सैद्धांतिक) उदाहरण वह समय है जब एक स्टोरकीपर को अगले ग्राहक के आने से पहले इंतजार करना चाहिए।

विभिन्न स्मृतिहीनता

कल्पना करना $X$ एक असतत यादृच्छिक चर है जिसका मान सेट {0,1,2,...} में होता है। की संभाव्यता वितरण $X$ निश्चित रूप से स्मृतिहीन है यदि किसी के लिए $m$ और $n$ में ${0, 1, 2, ...}$ , हमारे पास है

\Pr(X>m+n\mid X\geq m)=\Pr(X>n).

यहाँ, $Pr(X > m + n | X \geq m)$ सशर्त संभाव्यता को दर्शाता है कि का मान $X$ से बड़ा है $m + n$ दिया गया है कि यह इससे बड़ा या इसके बराबर है $m$ . वह only स्मृतिहीन असतत संभाव्यता वितरण ज्यामितीय वितरण हैं, जो एक सफलता प्राप्त करने के लिए आवश्यक सांख्यिकीय स्वतंत्रता, समान रूप से वितरित बर्नौली परीक्षणों की संख्या की गणना करते हैं। दूसरे शब्दों में, ये बर्नौली प्रक्रिया में नकारात्मक द्विपद वितरण#प्रतीक्षा समय के वितरण हैं।

ध्यान दें कि उपरोक्त परिभाषा {0,1,2,...} समर्थन के साथ ज्यामितीय वितरण की परिभाषा पर लागू होती है। समर्थन {1, 2, ...} के साथ वैकल्पिक मानकीकरण असतत स्मृतिहीनता की थोड़ी अलग परिभाषा से मेल खाता है: अर्थात्, वह $\Pr(X>m+n\mid X>m)=\Pr(X>n).$

एक आम ग़लतफ़हमी

विफलताओं की संख्या की संभाव्यता वितरण की स्मृतिहीनता  $X$  पहली सफलता से पहले का अर्थ है, उदाहरण के लिए,

\Pr(X>40\mid X\geq 30)=\Pr(X>10).

ऐसा होता है not मतलब कि

\Pr(X>40\mid X\geq 30)=\Pr(X>40),

जो तभी सत्य होगा जब घटनाएँ $X > 40$ और $X \geq 30$ स्वतंत्र थे, अर्थात्। $\Pr(X\geq 30)=1.$

निरंतर स्मृतिहीनता

कल्पना करना $X$ एक सतत यादृच्छिक चर है जिसका मान गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं में निहित है $[0, \infty)$ . की संभाव्यता वितरण $X$ किसी भी गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए बिल्कुल स्मृतिहीन है $t$ और $s$ , हमारे पास है

\Pr(X>t+s\mid X>t)=\Pr(X>s).

सिवाय इसके कि यह पृथक संस्करण के समान है $s$ और $t$ पूर्णांकों के बजाय केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ होने के लिए बाध्य हैं। उदाहरण के लिए, पहली सफलता तक परीक्षणों की गिनती करने के बजाय, हम स्विचबोर्ड पर पहली फ़ोन कॉल के आने तक का समय चिह्नित कर सकते हैं।

स्मृतिहीन वितरण एक घातीय वितरण है

एकमात्र स्मृतिहीन निरंतर संभाव्यता वितरण घातीय वितरण है, इसलिए स्मृतिहीनता पूरी तरह से सभी निरंतर लोगों के बीच घातांकीय वितरण (गणित) का वर्णन करती है। संपत्ति निम्नलिखित प्रमाण के माध्यम से प्राप्त की जाती है:

इसे देखने के लिए, पहले उत्तरजीविता फ़ंक्शन को परिभाषित करें, $S$ , जैसा

S(t)=\Pr(X>t).

ध्यान दें कि $S (t)$ फिर नीरस रूप से घट रहा है। रिश्ते से

\Pr(X>t+s\mid X>t)=\Pr(X>s)

और सशर्त संभाव्यता की परिभाषा, यह इस प्रकार है

{\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>t)}}=\Pr(X>s).

यह कार्यात्मक समीकरण देता है (जो स्मृतिहीनता गुण का परिणाम है):

S(t+s)=S(t)S(s)

इससे, उदाहरण के लिए, हमारे पास यह होना चाहिए:

S(2)=S(1)^{2}\quad

S(1)=S(1/2)^{2}{\text{ i.e.}}\quad S(1/2)=S(1)^{1/2}.

सामान्य रूप में:

S(a)=S(1)^{a}

एकमात्र सतत फलन जो किसी भी सकारात्मक, तर्कसंगत के लिए इस समीकरण को संतुष्ट करेगा $a$ है:

S(a)=S(1)^{a}=e^{\ln(S(1))a}=e^{-\lambda a},

कहाँ $\lambda =-\ln(S(1)).$ इसलिए, जब से $S (a)$ एक संभावना है और होनी ही चाहिए $\lambda >0$ , तो कोई भी स्मृतिहीनता फ़ंक्शन एक घातीय होना चाहिए।

अलग तरीका रखो, $S$ एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन है (जिसका अर्थ है कि समय के लिए $x\leq y,$ तब $S(x)\geq S(y).$ )

केवल कार्यात्मक समीकरण ही इसका अर्थ देगा $S$ किसी विशेष संख्या के परिमेय संख्या गुणज तक सीमित एक घातांकीय फलन है। इस तथ्य के साथ संयुक्त $S$ एकरस है, इसका तात्पर्य यह है $S$ इसके पूरे डोमेन पर एक घातांकीय फलन है।

↑ "मेमोरीलेस रैंडम वेरिएबल्स पर नोट्स" (PDF).
↑ "Markov Chains and Random Walks" (PDF).
↑ Bowden, Rory; Keeler, Holger Paul; Krzezinski, Anthony E.; Taylor, Peter G. (2018). "बिटकॉइन ब्लॉकचेन में आगमन को ब्लॉक करें". arXiv:1801.07447 [cs.CR].

संदर्भ

Feller, W. (1971) Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol II (2nd edition),Wiley. Section I.3 ISBN 0-471-25709-5

[1] "मेमोरीलेस रैंडम वेरिएबल्स पर नोट्स" (PDF).

[2] "Markov Chains and Random Walks" (PDF).

[3] Bowden, Rory; Keeler, Holger Paul; Krzezinski, Anthony E.; Taylor, Peter G. (2018). "बिटकॉइन ब्लॉकचेन में आगमन को ब्लॉक करें". arXiv:1801.07447 [cs.CR].

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स्मृतिहीनता

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