स्यूडोपोटेंशियल

स्यूडोपोटेंशियल (लाल) में नाभिक (नीला) के कूलम्ब क्षमता में एक तरंग की तुलना। वास्तविक और छद्म तरंग कार्य और क्षमता एक निश्चित कटऑफ त्रिज्या से ऊपर मेल खाते हैं

r_{c}

.

भौतिक विज्ञान में, जटिल प्रणालियों के सरलीकृत विवरण के लिए एक अनुमान के रूप में छद्म संभावित या प्रभावी क्षमता का उपयोग किया जाता है। अनुप्रयोगों में परमाणु भौतिकी और न्यूट्रॉन प्रकीर्णन शामिल हैं। 1934 में हंस हेलमैन द्वारा पहली बार स्यूडोपोटेंशियल सन्निकटन पेश किया गया था।^[1]

परमाणु भौतिकी

स्यूडोसंभावना एक परमाणु और उसके नाभिक के कोर इलेक्ट्रॉन (यानी नॉन-रासायनिक संयोजन इलेक्ट्रॉन ) की गति के जटिल प्रभावों को एक प्रभावी क्षमता या स्यूडोपोटेन्शियल के साथ बदलने का एक प्रयास है, ताकि श्रोडिंगर समीकरण में एक संशोधित प्रभावी संभावित शब्द हो आम तौर पर श्रोडिंगर समीकरण में पाए जाने वाले कोर इलेक्ट्रॉनों के लिए कूलम्ब के नियम संभावित शब्द के बजाय।

स्यूडोपोटेंशियल परमाणु ऑल-इलेक्ट्रॉन क्षमता (पूर्ण-क्षमता) को बदलने के लिए निर्मित एक प्रभावी क्षमता है, जैसे कि कोर स्टेट्स को समाप्त कर दिया जाता है और वैलेंस इलेक्ट्रॉनों को छद्म-वेवफंक्शन द्वारा काफी कम नोड्स के साथ वर्णित किया जाता है। यह छद्म-तरंग कार्यों को बहुत कम फूरियर श्रृंखला के साथ वर्णित करने की अनुमति देता है, इस प्रकार बेसिस सेट (रसायन विज्ञान)#प्लेन-वेव बेसिस सेट|प्लेन-वेव बेसिस सेट का उपयोग करने के लिए व्यावहारिक बनाता है। इस दृष्टिकोण में आमतौर पर केवल रासायनिक रूप से सक्रिय वैलेंस इलेक्ट्रॉनों को स्पष्ट रूप से निपटाया जाता है, जबकि कोर इलेक्ट्रॉनों को 'जमे हुए' होते हैं, जिन्हें नाभिक के साथ कठोर गैर-ध्रुवीकरण योग्य आयन कोर माना जाता है। जमे हुए कोर सन्निकटन को शिथिल करने के प्रभाव वाले रासायनिक वातावरण के साथ स्यूडोपोटेंशियल को स्व-निरंतर अद्यतन करना संभव है, हालांकि यह शायद ही कभी किया जाता है। गॉसियन जैसे स्थानीय आधार कार्यों का उपयोग करने वाले कोड में, अक्सर प्रभावी कोर क्षमता का उपयोग किया जाता है जो केवल कोर इलेक्ट्रॉनों को स्थिर करता है।

प्रथम-सिद्धांत स्यूडोपोटेंशियल एक परमाणु संदर्भ स्थिति से प्राप्त होते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि छद्म- और सभी-इलेक्ट्रॉन वैलेंस ईजेनस्टेट्स में समान ऊर्जा और आयाम (और इस प्रकार घनत्व) एक चुने हुए कोर कट-ऑफ त्रिज्या के बाहर हो। $r_{c}$ .

बड़े कट-ऑफ त्रिज्या वाले स्यूडोपोटेंशियल को नरम कहा जाता है, जो कि अधिक तेजी से अभिसरण होता है, लेकिन एक ही समय में कम हस्तांतरणीय होता है, जो विभिन्न वातावरणों में यथार्थवादी सुविधाओं को पुन: उत्पन्न करने के लिए कम सटीक होता है।

प्रेरणा:

आधार सेट आकार में कमी
इलेक्ट्रॉनों की संख्या में कमी
सापेक्षतावादी और अन्य प्रभावों का समावेश

अनुमान:

एक-इलेक्ट्रॉन चित्र।^{[clarification needed]}
छोटा-कोर सन्निकटन मानता है कि कोर और वैलेंस वेव-फंक्शन के बीच कोई महत्वपूर्ण ओवरलैप नहीं है। नॉनलाइनियर कोर सुधार^[2] या सेमीकोर इलेक्ट्रॉन समावेशन^[3] उन स्थितियों से निपटें जहां ओवरलैप गैर-नगण्य है।

परमाणु स्पेक्ट्रा को फिट करने के प्रयासों के आधार पर परमाणुओं और ठोस पदार्थों के लिए स्यूडोपोटेन्शियल के प्रारंभिक अनुप्रयोगों ने केवल सीमित सफलता प्राप्त की। सॉलिड-स्टेट स्यूडोपोटेन्शियल्स ने अपनी वर्तमान लोकप्रियता काफी हद तक वाल्टर हैरिसन द्वारा एल्यूमीनियम की लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन फर्मी सतह (1958) और जेम्स चार्ल्स फिलिप्स | जेम्स सी। फिलिप्स द्वारा सिलिकॉन और जर्मेनियम के सहसंयोजक ऊर्जा अंतराल (1958) के सफल फिट के कारण हासिल की। ). फिलिप्स और सहकर्मियों (विशेष रूप से मार्विन एल. कोहेन और सहकर्मियों) ने बाद में इस काम को कई अन्य अर्धचालकों के लिए विस्तारित किया, जिसे उन्होंने अर्ध-अनुभवजन्य स्यूडोपोटेन्शियल कहा।^[4]

मानक-संरक्षण स्यूडोपोटेंशियल

सामान्य-संरक्षण और अल्ट्रासॉफ्ट आधुनिक बेसिस सेट (रसायन विज्ञान)#प्लेन-वेव बेसिस सेट|प्लेन-वेव क्वांटम रसायन विज्ञान कंप्यूटर प्रोग्राम में उपयोग किए जाने वाले स्यूडोपोटेंशियल के दो सबसे सामान्य रूप हैं। वे इलेक्ट्रॉन तरंगों का वर्णन करने के लिए काफी कम कट-ऑफ (उच्चतम फूरियर मोड की आवृत्ति) के साथ एक आधार-सेट की अनुमति देते हैं और इसलिए उचित कंप्यूटिंग संसाधनों के साथ उचित संख्यात्मक अभिसरण की अनुमति देते हैं। परमाणु जैसे कार्यों के साथ नाभिक के चारों ओर निर्धारित आधार को बढ़ाने के लिए एक विकल्प होगा, जैसा कि रैखिक संवर्धित-विमान-तरंग विधि में किया जाता है। 1979 में हामन, श्ल्यूटर और चियांग (HSC) द्वारा पहली बार सामान्य-संरक्षण छद्म संभावित को प्रस्तावित किया गया था।^[5] मूल एचएससी मानदंड-संरक्षण स्यूडोपोटेंशियल निम्नलिखित रूप लेता है:

{\hat {V}}_{\textit {ps}}(r)=\sum _{l}\sum _{m}|Y_{lm}\rangle V_{lm}(r)\langle Y_{lm}|

कहाँ $|Y_{lm}\rangle$ द्वारा लेबल किए गए कोणीय गति के लिए एक कोन-शाम कक्षीय जैसे एक-कण तरंग को प्रोजेक्ट करता है $\{l,m\}$ . $V_{lm}(r)$ छद्म संभावित है जो अनुमानित घटक पर कार्य करता है। अलग-अलग कोणीय संवेग तब अलग-अलग क्षमता महसूस करते हैं, इस प्रकार एचएससी मानक-संरक्षण स्यूडोपोटेंशियल गैर-स्थानीय है, स्थानीय स्यूडोपोटेन्शियल के विपरीत जो एक ही तरह से सभी एक-कण तरंग-कार्यों पर कार्य करता है।

दो स्थितियों को लागू करने के लिए सामान्य-संरक्षण छद्म क्षमता का निर्माण किया जाता है।

1. कट-ऑफ त्रिज्या के अंदर $r_{c}$ , प्रत्येक सूडो-वेवफंक्शन का सामान्यीकृत तरंग समारोह इसके संबंधित ऑल-इलेक्ट्रॉन वेवफंक्शन के समान होता है:^[6]

\int _{r<r_{c}}dr^{3}\phi _{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}})\phi _{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})=\int _{r<r_{c}}dr^{3}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}({\vec {r}}){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}({\vec {r}})

,

कहाँ

\phi _{\mathbf {R} ,i}

और

{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}

परमाणु पर स्यूडोपोटेंशियल के लिए ऑल-इलेक्ट्रॉन और स्यूडो रेफरेंस स्टेट्स हैं

\mathbf {R}

.

2. ऑल-इलेक्ट्रॉन और स्यूडो वेवफंक्शन कट-ऑफ रेडियस के बाहर समान हैं $r_{c}$ .

स्यूडोपोटेंशियल प्रभावी कोर चार्ज का प्रतिनिधित्व करता है।

अल्ट्रासॉफ्ट स्यूडोपोटेंशियल्स

अल्ट्रासॉफ्ट स्यूडोपोटेंशियल सामान्यीकृत ईगेनवैल्यू समस्या को शुरू करने की कीमत पर आवश्यक आधार-सेट आकार को कम करने के लिए मानक-संरक्षण बाधा को आराम देते हैं।^[7] मानदंडों में गैर-शून्य अंतर के साथ अब हम परिभाषित कर सकते हैं:

q_{\mathbf {R} ,ij}=\langle \phi _{\mathbf {R} ,i}|\phi _{\mathbf {R} ,j}\rangle -\langle {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle

,

और इसलिए छद्म हैमिल्टनियन का एक सामान्यीकृत ईजेनस्टेट अब सामान्यीकृत समीकरण का पालन करता है

{\hat {H}}|\Psi _{i}\rangle =\epsilon _{i}{\hat {S}}|\Psi _{i}\rangle

,

जहां ऑपरेटर ${\hat {S}}$ परिभाषित किया जाता है

{\hat {S}}=1+\sum _{\mathbf {R} ,i,j}|p_{\mathbf {R} ,i}\rangle q_{\mathbf {R} ,ij}\langle p_{\mathbf {R} ,j}|

,

कहाँ $p_{\mathbf {R} ,i}$ प्रोजेक्टर हैं जो कट-ऑफ त्रिज्या के अंदर छद्म संदर्भ राज्यों के साथ दोहरा आधार बनाते हैं, और बाहर शून्य हैं:

\langle p_{\mathbf {R} ,i}|{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} ,j}\rangle _{r<r_{c}}=\delta _{i,j}

.

एक संबंधित तकनीक^[8] प्रोजेक्टर संवर्धित तरंग विधि | प्रोजेक्टर संवर्धित तरंग (PAW) विधि है।

फर्मी स्यूडोपोटेंशियल

एनरिको फर्मी ने छद्म क्षमता का परिचय दिया, $V$ , एक नाभिक द्वारा मुक्त न्यूट्रॉन के प्रकीर्णन का वर्णन करने के लिए।^[9] प्रकीर्णन को आंशिक तरंग विश्लेषण माना जाता है। एस-लहर प्रकीर्णन, और इसलिए गोलाकार रूप से सममित। इसलिए, क्षमता त्रिज्या के कार्य के रूप में दी गई है, $r$ :

V(r)={\frac {4\pi \hbar ^{2}}{m}}b\,\delta (r)

,

कहाँ $\hbar$ द्वारा विभाजित प्लैंक स्थिरांक है $2\pi$ , $m$ द्रव्यमान है, $\delta (r)$ डिराक डेल्टा समारोह है, $b$ बाध्य सुसंगत न्यूट्रॉन बिखरने की लंबाई है, और $r=0$ परमाणु नाभिक के द्रव्यमान का केंद्र।^[10] इसका फूरियर रूपांतरण $\delta$ -फंक्शन निरंतर एटॉमिक फॉर्म फैक्टर #न्यूट्रॉन फॉर्म फैक्टर की ओर जाता है।

फिलिप्स स्यूडोपोटेंशियल

जेम्स चार्ल्स फिलिप्स ने बेल लैब्स में सिलिकॉन और जर्मेनियम का वर्णन करने के लिए उपयोगी एक सरल छद्म क्षमता विकसित की।^[11]

यह भी देखें

सघनता व्यावहारिक सिद्धांत
प्रोजेक्टर संवर्धित तरंग विधि
मार्विन एल. कोहेन
एलेक्स जुंगर

संदर्भ

↑ Schwerdtfeger, P. (August 2011), "The Pseudopotential Approximation in Electronic Structure Theory", ChemPhysChem, 12 (17): 3143–3155, doi:10.1002/cphc.201100387, PMID 21809427
↑ Louie, Steven G.; Froyen, Sverre; Cohen, Marvin L. (August 1982), "Nonlinear ionic pseudopotentials in spin-density-functional calculations", Physical Review B, 26 (4): 1738–1742, Bibcode:1982PhRvB..26.1738L, doi:10.1103/PhysRevB.26.1738
↑ Reis, Carlos L.; Pacheco, J. M.; Martins, José Luís (October 2003), "First-principles norm-conserving pseudopotential with explicit incorporation of semicore states", Physical Review B, American Physical Society, vol. 68, no. 15, p. 155111, Bibcode:2003PhRvB..68o5111R, doi:10.1103/PhysRevB.68.155111
↑ M. L. Cohen, J. R. Chelikowsky, "Electronic Structure and Optical Spectra of Semiconductors", (Springer Verlag, Berlin 1988)
↑ Hamann, D. R.; Schlüter, M.; Chiang, C. (1979-11-12). "सामान्य-संरक्षण छद्म क्षमता". Physical Review Letters. 43 (20): 1494–1497. Bibcode:1979PhRvL..43.1494H. doi:10.1103/PhysRevLett.43.1494.
↑ Bachelet, G. B.; Hamann, D. R.; Schlüter, M. (October 1982), "Pseudopotentials that work: From H to Pu", Physical Review B, American Physical Society, vol. 26, no. 8, pp. 4199–4228, Bibcode:1982PhRvB..26.4199B, doi:10.1103/PhysRevB.26.4199
↑ Vanderbilt, David (April 1990), "Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue formalism", Physical Review B, American Physical Society, vol. 41, no. 11, pp. 7892–7895, Bibcode:1990PhRvB..41.7892V, doi:10.1103/PhysRevB.41.7892, PMID 9993096
↑ Kresse, G.; Joubert, D. (1999). "अल्ट्रासॉफ्ट स्यूडोपोटेंशियल्स से लेकर प्रोजेक्टर ऑग्मेंटेड-वेव मेथड तक". Physical Review B. 59 (3): 1758–1775. Bibcode:1999PhRvB..59.1758K. doi:10.1103/PhysRevB.59.1758.
↑ E. Fermi (July 1936), "Motion of neutrons in hydrogenous substances", Ricerca Scientifica, 7: 13–52
↑ Squires, Introduction to the Theory of Thermal Neutron Scattering, Dover Publications (1996) ISBN 0-486-69447-X
↑ J. C. Phillips (November 1958), "Energy-Band Interpolation Scheme Based on a Pseudopotential", Physical Review, 112 (3): 685–695, Bibcode:1958PhRv..112..685P, doi:10.1103/PhysRev.112.685