हार्मोनिक बहुपद
गणित में, सार बीजगणित में, एक बहुभिन्नरूपी बहुपद p एक क्षेत्र पर ऐसा है कि लाप्लासियन का p शून्य है एक हार्मोनिक बहुपद कहा जाता है।[1][2] हार्मोनिक बहुपद क्षेत्र के ऊपर बहुपदों के सदिश स्थान का एक सदिश स्थान बनाते हैं। वास्तव में, वे एक श्रेणीबद्ध बीजगणित बनाते हैं।[3] वास्तविक संख्या के लिए, गणितीय भौतिकी में हार्मोनिक बहुपद महत्वपूर्ण हैं।[4][5][6] लाप्लासियन सभी चर के संबंध में दूसरे आंशिक का योग है, और रोटेशन के समूह (गणित) के माध्यम से ऑर्थोगोनल समूह की कार्रवाई के तहत एक अपरिवर्तनीय (गणित) अंतर ऑपरेटर है।
चर प्रमेय का मानक पृथक्करण[citation needed] बताता है कि एक क्षेत्र पर प्रत्येक बहुभिन्नरूपी बहुपद को एक रेडियल बहुपद और एक हार्मोनिक बहुपद के उत्पादों के परिमित योग के रूप में विघटित किया जा सकता है। यह इस कथन के समतुल्य है कि बहुपद वलय रेडियल बहुपदों के वलय पर एक मुक्त मॉड्यूल है।[7]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Walsh, J. L. (1927). "हार्मोनिक बहुपदों के संदर्भ में हार्मोनिक कार्यों के विस्तार पर". Proceedings of the National Academy of Sciences. 13 (4): 175–180. Bibcode:1927PNAS...13..175W. doi:10.1073/pnas.13.4.175. PMC 1084921. PMID 16577046.
- ↑ Helgason, Sigurdur (2003). "Chapter III. Invariants and Harmonic Polynomials". Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 83. American Mathematical Society. pp. 345–384. ISBN 9780821826737.
- ↑ Felder, Giovanni; Veselov, Alexander P. (2001). "एम-हार्मोनिक बहुपदों और केजेड समीकरणों पर कॉक्सेटर समूहों की कार्रवाई". arXiv:math/0108012.
- ↑ Sobolev, Sergeĭ Lʹvovich (2016). गणितीय भौतिकी के आंशिक विभेदक समीकरण. International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Elsevier. pp. 401–408. ISBN 9781483181363.
- ↑ Whittaker, Edmund T. (1903). "गणितीय भौतिकी के आंशिक अंतर समीकरणों पर". Mathematische Annalen. 57 (3): 333–355. doi:10.1007/bf01444290. S2CID 122153032.
- ↑ Byerly, William Elwood (1893). "Chapter VI. Spherical Harmonics". गणितीय भौतिकी में समस्याओं के अनुप्रयोगों के साथ फूरियर की श्रृंखला, और गोलाकार, बेलनाकार और दीर्घवृत्त हार्मोनिक्स पर एक प्राथमिक ग्रंथ. Dover. pp. 195–218.
- ↑ Cf. Corollary 1.8 of Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Harmonic Polynomials and Dirichlet-Type Problems
- Lie Group Representations of Polynomial Rings by Bertram Kostant published in the American Journal of Mathematics Vol 85 No 3 (July 1963) doi:10.2307/2373130
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