हार्मोनिक रूपवाद

गणित में, एक हार्मोनिक आकारिकी एक (चिकना) नक्शा है $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ रीमैनियन कई गुना ्स के बीच जो कोडोमेन पर वास्तविक-मूल्यवान हार्मोनिक कार्यों को डोमेन पर हार्मोनिक कार्यों के लिए वापस खींचता है। हार्मोनिक मोर्फिज्म हार्मोनिक नक्शा ्स का एक विशेष वर्ग बनाते हैं यानी वे जो क्षैतिज (कमजोर) अनुरूप होते हैं। स्थानीय निर्देशांक में, $x$ पर $M$ और $y$ पर $N$, की सामंजस्यता $\phi$ गैर-रैखिक प्रणाली द्वारा व्यक्त किया गया है

$\tau (\phi )=\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}{\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x_{k}}}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{n}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }\circ \phi {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}\right)=0,$ कहाँ $\phi ^{\alpha }=y_{\alpha }\circ \phi$ और ${\hat {\Gamma }},\Gamma$ क्रिस्टोफेल प्रतीक हैं $M$ और $N$, क्रमश। क्षैतिज अनुरूपता द्वारा दिया जाता है

$\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}(x){\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}(x){\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}(x)=\lambda ^{2}(x)h^{\alpha \beta }(\phi (x)),$

जहां अनुरूप कारक $\lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ एक सतत कार्य है जिसे फैलाव (मीट्रिक स्थान) कहा जाता है। हार्मोनिक morphisms इसलिए आंशिक अंतर समीकरणों के गैर-रैखिक अति-निर्धारित प्रणालियों के समाधान हैं, जो कि शामिल कई गुना के ज्यामितीय डेटा द्वारा निर्धारित किया गया है। इस कारण से, उन्हें खोजना मुश्किल है और उनका कोई सामान्य अस्तित्व सिद्धांत नहीं है, यहां तक ​​कि स्थानीय स्तर पर भी नहीं।

जटिल विश्लेषण

जब का कोडोमेन $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ एक सतह (टोपोलॉजी) है, आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली जिसके साथ हम काम कर रहे हैं, मीट्रिक के अनुरूप परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है $h$. इसका मतलब यह है कि, कम से कम स्थानीय अध्ययन के लिए, कोडोमेन को इसके मानक फ्लैट मीट्रिक के साथ जटिल विमान के रूप में चुना जा सकता है। इस स्थिति में एक जटिल-मूल्यवान कार्य (गणित) $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ एक हार्मोनिक morphisms है अगर और केवल अगर

$\Delta _{M}(\phi )=\Delta _{M}(u)+i\Delta _{M}(v)=0$

और

$g(\nabla \phi ,\nabla \phi )=\|\nabla u\|^{2}-\|\nabla v\|^{2}+2ig(\nabla u,\nabla v)=0.$

इसका मतलब है कि हम दो वास्तविक मूल्यवान हार्मोनिक कार्यों की तलाश करते हैं $u,v:(M,g)\to \mathbb {R}$ ग्रेडियेंट ्स के साथ $\nabla u,\nabla v$ जो ऑर्थोगोनल हैं और प्रत्येक बिंदु पर समान मानदंड हैं। इससे पता चलता है कि जटिल-मूल्यवान हार्मोनिक आकारिकी $\phi :(M,g)\to \mathbb {C}$ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स से होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन का सामान्यीकरण होता है $f:(M,g,J)\to \mathbb {C}$ काहलर से कई गुना और उनके कई बेहद दिलचस्प गुण हैं। हार्मोनिक morphisms के सिद्धांत को इसलिए जटिल विश्लेषण के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

न्यूनतम सतहें

अंतर ज्यामिति में, किसी दिए गए परिवेश स्थान के न्यूनतम सबमेनिफोल्ड के निर्माण में रुचि है $(M,g)$. इस उद्देश्य के लिए हार्मोनिक आकारिकी उपयोगी उपकरण हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक नियमित फाइबर $\phi ^{-1}(\{z_{0}\})$ ऐसे मानचित्र का $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ एक सतह (टोपोलॉजी) में मूल्यों के साथ कोडिमेंशन 2 के साथ डोमेन का एक न्यूनतम सबमेनिफोल्ड है।यह 4-आयामी मैनिफोल्ड में न्यूनतम सतहों के पूरे परिवारों के निर्माण के लिए एक आकर्षक तरीका देता है $(M^{4},g)$, विशेष रूप से, सजातीय स्थान, जैसे कि झूठ समूह और सममित स्थान।

उदाहरण

• तत्समक और स्थिर मानचित्र हार्मोनिक आकारिकी हैं।
• जटिल तल में होलोमोर्फिक कार्य हार्मोनिक आकारिकी हैं।
• जटिल सदिश स्थान में होलोमॉर्फिक कार्य $\mathbb {C} ^{n}$ हार्मोनिक morphisms हैं।
• रीमैन सतह में मूल्यों के साथ काहलर मैनिफोल्ड्स से होलोमॉर्फिक मानचित्र हार्मोनिक आकारिकी हैं।
• द हॉपफ मैप्स $\phi :S^{3}\to S^{2}$, $\phi :S^{7}\to S^{4}$ और $\phi :S^{15}\to S^{8}$ हार्मोनिक morphisms हैं।
• कॉम्पैक्ट झूठ समूहों के लिए $K\subset H\subset G$ मानक रिमेंनियन कंपन $\phi :G/H\to G/K$ एक हार्मोनिक रूपवाद है।
• कम से कम तंतुओं के साथ रिमेंनियन जलमग्न हार्मोनिक आकारिकी हैं।

बाहरी संबंध

• The Bibliography of Harmonic Morphisms, offered by Sigmundur Gudmundsson