हॉफ लेम्मा

गणित में, हॉपफ लेम्मा, जिसका नाम एबरहार्ड हॉफ के नाम पर रखा गया है, बताता है कि यदि पर्याप्त रूप से चिकनी सीमा के साथ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन में निरंतर वास्तविक-मूल्य वाला फ़ंक्शन आंतरिक में हार्मोनिक है और सीमा पर एक बिंदु पर फ़ंक्शन का मान अधिक है डोमेन के अंदर निकटवर्ती बिंदुओं पर मानों की तुलना में, बाहर की ओर इंगित करने वाले सामान्य की दिशा में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सख्ती से सकारात्मक है। लेम्मा अधिकतम सिद्धांत के प्रमाण और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। हॉपफ लेम्मा को अण्डाकार समस्या के समाधान के व्यवहार का वर्णन करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है क्योंकि यह सीमा पर एक बिंदु तक पहुंचता है जहां इसकी अधिकतम सीमा प्राप्त होती है।

लाप्लासियन के विशेष मामले में, हॉपफ लेम्मा की खोज 1910 में स्टैनिस्लाव ज़रेम्बा (गणितज्ञ) | स्टैनिस्लाव ज़रेम्बा द्वारा की गई थी।^[1] अण्डाकार समीकरणों के लिए अधिक सामान्य सेटिंग में, इसे 1952 में हॉपफ और ओल्गा ओलेनिक द्वारा स्वतंत्र रूप से पाया गया था, हालांकि ओलेनिक का काम पश्चिमी देशों में हॉपफ के रूप में व्यापक रूप से नहीं जाना जाता है।^[2]^[3] ऐसे एक्सटेंशन भी हैं जो कोनों वाले डोमेन की अनुमति देते हैं।^[4]

हार्मोनिक फ़ंक्शंस के लिए कथन

मान लीजिए Ω R में एक परिबद्ध डोमेन हैⁿचिकनी सीमा के साथ। मान लीजिए f एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो Ω के बंद होने पर निरंतर है और Ω पर हार्मोनिक फ़ंक्शन है। यदि x एक सीमा बिंदु है जैसे कि Ω में सभी y के लिए f(x) > f(y) पर्याप्त रूप से x के करीब है, तो f का (एकतरफा) दिशात्मक व्युत्पन्न बाहर की दिशा में सीमा के सामान्य बिंदु की ओर इशारा करता है x पूर्णतः सकारात्मक है।

हार्मोनिक फ़ंक्शंस के लिए प्रमाण

एक स्थिरांक को घटाने पर, यह माना जा सकता है कि f(x) = 0 और x के निकट आंतरिक बिंदुओं पर f सख्ती से नकारात्मक है। चूँकि Ω की सीमा चिकनी है इसलिए Ω में एक छोटी सी गेंद है जिसका समापन सीमा x पर स्पर्शरेखा है और सीमा को केवल x पर काटती है। फिर इस गेंद द्वारा प्रतिस्थापित Ω के साथ परिणाम की जांच करना पर्याप्त है। स्केलिंग और अनुवाद, 'आर' में यूनिट बॉल के परिणाम की जांच करने के लिए पर्याप्त हैⁿ, यह मानते हुए कि कुछ इकाई वेक्टर x के लिए f(x) शून्य है और f(y) < 0 है यदि |y| <1.

हार्नैक की असमानता द्वारा -f पर लागू किया गया

\displaystyle {-f(rx)\geq -{1-r \over (1+r)^{n-1}}f(0),}

r <1 के लिए। इसलिए

\displaystyle {{f(x)-f(rx) \over 1-r}={-f(rx) \over 1-r}\geq -{1 \over (1+r)^{n-1}}f(0)>-{f(0) \over 2^{n-1}}>0.}

इसलिए x पर दिशात्मक अवकलज दाहिनी ओर सख्ती से सकारात्मक स्थिरांक द्वारा नीचे घिरा हुआ है।

सामान्य चर्चा

प्रपत्र के दूसरे क्रम, समान रूप से अण्डाकार ऑपरेटर पर विचार करें

Lu=a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u,\qquad x\in \Omega .

यहाँ $\Omega$ का एक खुला, परिबद्ध उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ .

कमजोर अधिकतम सिद्धांत बताता है कि समीकरण का एक समाधान $Lu=0$ में $\Omega$ समापन पर इसका अधिकतम मूल्य प्राप्त होता है ${\overline {\Omega }}$ सीमा पर किसी बिंदु पर $\partial \Omega$ . होने देना $x_{0}\in \partial \Omega$ ऐसा कोई बिंदु हो, तो अवश्य

{\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})\geq 0,

कहाँ $\partial /\partial \nu$ बाहरी सामान्य व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह तो बस इसी बात का परिणाम है $u(x)$ के रूप में घटते नहीं होना चाहिए $x$ दृष्टिकोण $x_{0}$ . हॉपफ लेम्मा हल्की धारणाओं के तहत यह साबित करके इस अवलोकन को मजबूत करता है $\Omega$ और $L$ , हमारे पास है

{\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0.

लेम्मा का एक सटीक कथन इस प्रकार है। लगता है कि $\Omega$ में एक घिरा हुआ क्षेत्र है $\mathbb {R} ^{2}$ और जाने $L$ ऊपर वर्णित ऑपरेटर बनें. होने देना $u$ क्लास का हो $C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ और अंतर असमानता को संतुष्ट करें

Lu\geq 0,\qquad {\textrm {in}}~\Omega .

होने देना $x_{0}\in \partial \Omega$ इसलिए दिया जाए $0\leq u(x_{0})=\max _{x\in {\overline {\Omega }}}u(x)$ . अगर मुझे) $\Omega$ है $C^{2}$ पर $x_{0}$ , और (ii) $c\leq 0$ , तो कोई $u$ एक स्थिरांक है, या ${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0$ , कहाँ $\nu$ ऊपर की तरह, बाहर की ओर इंगित करने वाली इकाई सामान्य है।

उपरोक्त परिणाम को कई मायनों में सामान्यीकृत किया जा सकता है। नियमितता धारणा पर $\Omega$ एक आंतरिक गेंद की स्थिति से बदला जा सकता है: लेम्मा तभी कायम रहता है जब एक खुली गेंद मौजूद हो $B\subset \Omega$ साथ $x_{0}\in \partial B$ . कार्यों पर विचार करना भी संभव है $c$ जो सकारात्मक मान लेते हैं, बशर्ते कि $u(x_{0})=0$ . प्रमाण और अन्य चर्चा के लिए, नीचे दिए गए संदर्भ देखें।

यह भी देखें

हॉपफ अधिकतम सिद्धांत

संदर्भ

↑ M.S. Zaremba, Sur un problème mixte relatif à l’équation de Laplace, Bull. Intern. de l’Acad. Sci. de Cracovie, Ser. A, Sci. Math. (1910), 313–344.
↑ Hopf, Eberhard. A remark on linear elliptic differential equations of second order. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 791–793.
↑ Oleĭnik, O. A. On properties of solutions of certain boundary problems for equations of elliptic type. Mat. Sbornik N.S. 30 (1952), no. 72, 695–702.
↑ Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Symmetry and related properties via the maximum principle. Comm. Math. Phys. 68 (1979), no. 3, 209–243.

Evans, Lawrence (2000), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
Fraenkel, L. E. (2000), An Introduction to Maximum Principles and Symmetry in Elliptic Problems, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-461955
Krantz, Steven G. (2005), Geometric Function Theory: Explorations in Complex Analysis, Springer, pp. 127–128, ISBN 0817643397
Taylor, Michael E. (2011), Partial differential equations I. Basic theory, Applied Mathematical Sciences, vol. 115 (2nd ed.), Springer, ISBN 9781441970541 (The Hopf lemma is referred to as "Zaremba's principle" by Taylor.)

बाहरी संबंध

[1] M.S. Zaremba, Sur un problème mixte relatif à l’équation de Laplace, Bull. Intern. de l’Acad. Sci. de Cracovie, Ser. A, Sci. Math. (1910), 313–344.

[2] Hopf, Eberhard. A remark on linear elliptic differential equations of second order. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 791–793.

[3] Oleĭnik, O. A. On properties of solutions of certain boundary problems for equations of elliptic type. Mat. Sbornik N.S. 30 (1952), no. 72, 695–702.

[4] Gidas, B.; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Symmetry and related properties via the maximum principle. Comm. Math. Phys. 68 (1979), no. 3, 209–243.

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