होलोमोर्फी का डोमेन

परिभाषा में सेट।

गणित में, कई जटिल चरों के कार्य के सिद्धांत में, होलोमोर्फी का एक डोमेन एक डोमेन है जो इस अर्थ में अधिकतम है कि इस डोमेन पर एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन मौजूद है जो एक बड़े डोमेन के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं हो सकता है।

औपचारिक रूप से, एक खुला सेट $\Omega$ एन-डायमेंशनल कॉम्प्लेक्स स्पेस में ${\mathbb {C} }^{n}$ होलोमोर्फी का एक डोमेन कहा जाता है यदि गैर-खाली खुले सेट मौजूद नहीं हैं $U\subset \Omega$ और $V\subset {\mathbb {C} }^{n}$ कहाँ $V$ जुड़ा हुआ स्थान है, $V\not \subset \Omega$ और $U\subset \Omega \cap V$ ऐसा है कि प्रत्येक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के लिए $f$ पर $\Omega$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन मौजूद है $g$ पर $V$ साथ $f=g$ पर $U$ में $n=1$ मामला, प्रत्येक खुला सेट होलोमॉर्फी का एक डोमेन है: हम डोमेन की सीमा (टोपोलॉजी) पर हर जगह शून्य संचय बिंदु के साथ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं, जो तब एक विश्लेषणात्मक निरंतरता होनी चाहिए # इसके पारस्परिक की परिभाषा के डोमेन के लिए प्राकृतिक सीमा . के लिए $n\geq 2$ यह अब सत्य नहीं है, क्योंकि यह हार्टोग्स लेम्मा से आता है।

समतुल्य शर्तें

एक डोमेन के लिए $\Omega$ निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:

1. $\Omega$ होलोमॉर्फी का एक डोमेन है
2. $\Omega$ होलोमोर्फिक रूप से उत्तल पतवार है
3. $\Omega$ छद्म उत्तल है
4. $\Omega$ लेवी उत्तल है - हर क्रम के लिए $S_{n}\subseteq \Omega$ विश्लेषणात्मक कॉम्पैक्ट सतहों की जैसे कि $S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma$ कुछ सेट के लिए $\Gamma$ अपने पास $S\subseteq \Omega$ ($\partial \Omega$ विश्लेषणात्मक सतहों के अनुक्रम द्वारा अंदर से छुआ नहीं जा सकता है)
5. $\Omega$ स्थानीय लेवी संपत्ति है - हर बिंदु के लिए $x\in \partial \Omega$ वहाँ एक पड़ोस मौजूद है $U$ का $x$ और $f$ होलोमॉर्फिक पर $U\cap \Omega$ ऐसा है कि $f$ के किसी भी पड़ोस में विस्तारित नहीं किया जा सकता है $x$

आशय $1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5$ मानक परिणाम हैं (के लिए $1\Rightarrow 3$, ओका की लेम्मा देखें)। मुख्य कठिनाई साबित करने में है $5\Rightarrow 1$, यानी एक वैश्विक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन का निर्माण करना जो केवल स्थानीय रूप से परिभाषित गैर-विस्तार योग्य कार्यों से कोई विस्तार नहीं स्वीकार करता है। इसे लेवी समस्या कहा जाता है (यूजेनियो एलिया लेवी|ई.ई. लेवी के बाद) और पहले कियोशी हिल द्वारा हल किया गया था, और फिर लार्स होर्मेंडर द्वारा कार्यात्मक विश्लेषण और आंशिक अंतर समीकरणों (डी-बार समस्या का परिणाम |${\bar {\partial }}$-संकट)।

गुण

• अगर $\Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}$ होलोमॉर्फी के डोमेन हैं, फिर उनका प्रतिच्छेदन $\Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}$ होलोमॉर्फी का एक डोमेन भी है।
• अगर $\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots$ होलोमॉर्फी के डोमेन का एक आरोही क्रम है, फिर उनका मिलन $\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}$ होलोमोर्फी का भी एक क्षेत्र है (बेह्नके-स्टीन प्रमेय देखें)।
• अगर $\Omega _{1}$ और $\Omega _{2}$ होलोमॉर्फी के डोमेन हैं, फिर $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ होलोमॉर्फी का एक डोमेन है।
• पहली चचेरी बहन की समस्या हमेशा होलोमॉर्फी के क्षेत्र में हल करने योग्य होती है; यह दूसरी चचेरी बहन की समस्याओं के लिए, अतिरिक्त टोपोलॉजिकल मान्यताओं के साथ भी सच है।

यह भी देखें

• बेन्के-स्टीन प्रमेय
• लेवी स्यूडोकोनवेक्स
• लेवी समस्या का समाधान
• स्टीन कई गुना

संदर्भ

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992

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