2डी ज्यामिति में दोहरे चतुर्भुजों का अनुप्रयोग

Planar quaternion multiplication

$\times$	$1$	$i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$
$1$	$1$	$i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$
$i$	$i$	$-1$	$\varepsilon k$	$-\varepsilon j$
$\varepsilon j$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon k$	$0$	$0$
$\varepsilon k$	$\varepsilon k$	$\varepsilon j$	$0$	$0$

इस लेख में, हम 2डी ज्यामिति में दोहरे चतुर्भुज बीजगणित के कुछ अनुप्रयोगों पर चर्चा करते हैं। इस वर्तमान समय में, लेख दोहरे चतुर्भुज के 4-आयामी उपबीजगणित पर केंद्रित है जिसे हम समतल चतुर्भुज कहेंगे।

'प्लानर क्वाटरनियंस' वास्तविक संख्याओं पर एक क्षेत्र पर चार-आयामी बीजगणित बनाते हैं। उनका प्राथमिक अनुप्रयोग 2डी अंतरिक्ष में कठोर पिंड गति का प्रतिनिधित्व करना है।

दोहरी संख्याओं या सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के विपरीत, समतल चतुर्भुजों का गुणन गैर-क्रमविनिमेय होता है।

परिभाषा

इस आलेख में समतल चतुर्भुजों के समुच्चय को दर्शाया गया है $\mathbb {DC}$. एक सामान्य तत्व $q$ का $\mathbb {DC}$ रूप है ${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ कहाँ $A$, $B$, $C$ और $D$ वास्तविक संख्याएँ हैं; $\varepsilon$ एक दोहरी संख्या है जिसका वर्ग शून्य होता है; और $i$, $j$, और $k$ चतुर्भुज के मानक आधार तत्व हैं।

गुणन उसी तरह से किया जाता है जैसे चतुर्भुज के साथ, लेकिन अतिरिक्त नियम के साथ ${\textstyle \varepsilon }$ सूचकांक का शून्य है $2$, अर्थात।, ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$, जो कुछ परिस्थितियों में बनता है ${\textstyle \varepsilon }$ एक अतिसूक्ष्म संख्या के बराबर। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि तलीय चतुर्भुजों के गुणनात्मक व्युत्क्रम इस प्रकार दिए गए हैं

$$(A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon j-D\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}$$

सेट $\{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}$ समतल चतुर्भुजों के सदिश समष्टि का आधार बनता है, जहाँ अदिश वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

एक समतल चतुर्भुज का परिमाण $q$ होने के लिए परिभाषित किया गया है

$$|q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.$$

कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में अनुप्रयोगों के लिए, संख्या $A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$ आमतौर पर 4-टपल के रूप में दर्शाया जाता है $(A,B,C,D)$.

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

एक तलीय चतुर्भुज $q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$ 2x2 जटिल मैट्रिक्स के रूप में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:

$${\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.$$

इसे 2×2 दोहरी संख्या मैट्रिक्स के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

$${\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.$$

उपरोक्त दो मैट्रिक्स निरूपण क्रमशः मोबियस परिवर्तन|मोबियस परिवर्तन और लैगुएरे परिवर्तन से संबंधित हैं।

शब्दावली

इस लेख में चर्चा किए गए बीजगणित को कभी-कभी दोहरी सम्मिश्र संख्याएँ भी कहा जाता है। यह एक भ्रामक नाम हो सकता है क्योंकि यह सुझाव देता है कि बीजगणित को इनमें से किसी एक का रूप लेना चाहिए:

1. दोहरी संख्याएँ, लेकिन सम्मिश्र-संख्या प्रविष्टियों के साथ
2. सम्मिश्र संख्याएँ, लेकिन दोहरी-संख्या प्रविष्टियों के साथ

एक बीजगणित बैठक या तो विवरण मौजूद है। और दोनों वर्णन समतुल्य हैं. (यह इस तथ्य के कारण है कि बीजगणित का टेंसर उत्पाद समरूपता तक क्रमविनिमेय है)। इस बीजगणित को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है $\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ भागफल रिंग का उपयोग करना। परिणामी बीजगणित में एक क्रमविनिमेय उत्पाद है और इस पर आगे चर्चा नहीं की गई है।

कठोर शरीर गतियों का प्रतिनिधित्व

होने देना

$$q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$$

एक इकाई-लंबाई वाला समतल चतुष्कोण हो, यानी हमारे पास वह होना चाहिए

$$|q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.$$

यूक्लिडियन विमान को सेट द्वारा दर्शाया जा सकता है ${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$.

तत्व $v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k$ पर $\Pi$ कार्टेशियन निर्देशांक के साथ यूक्लिडियन विमान पर बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है $(x,y)$.

$q$ ग्रुप एक्शन (गणित) पर बनाया जा सकता है $v$ द्वारा

$$qvq^{-1},$$

जो मानचित्र $v$ किसी अन्य बिंदु पर $\Pi$.

हमारे पास निम्नलिखित (एकाधिक) ध्रुवीय रूप हैं $q$:

1. कब $B\neq 0$, तत्व $q$ के रूप में लिखा जा सकता है
   $$\cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),$$
   जो कोण के घूर्णन को दर्शाता है $\theta$ बिंदु के आसपास $(x,y)$.
2. कब $B=0$, तत्व $q$ के रूप में लिखा जा सकता है
   $${\begin{aligned}&1+i(x\varepsilon j+y\varepsilon k)\\={}&1-y\varepsilon j+x\varepsilon k,\end{aligned}}$$
   जो वेक्टर द्वारा अनुवाद को दर्शाता है ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

ज्यामितीय निर्माण

समतल चतुर्भुज का एक सैद्धांतिक निर्माण पहले यह देखकर पाया जा सकता है कि वे दोहरे चतुर्भुजों का एक उपसमूह हैं।

दोहरे-चतुर्भुज की दो ज्यामितीय व्याख्याएँ हैं, जिनमें से दोनों का उपयोग समतल पर समतल चतुर्भुज की क्रिया को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

• दोहरे चतुर्भुज का प्रतिनिधित्व करने के एक तरीके के रूप में। तब तलीय चतुष्कोणों को उन कठोर-शरीर गतियों के एक उपसमूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए देखा जा सकता है। इसके लिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर दोहरे चतुर्भुज के कार्य करने के तरीके से कुछ परिचित होने की आवश्यकता है। हम यहां इस दृष्टिकोण का वर्णन नहीं करेंगे क्योंकि यह दोहरा चतुर्भुज है।
• दोहरे चतुर्भुजों को चतुर्भुजों के एक अत्यंत छोटे मोटेपन के रूप में समझा जा सकता है। याद रखें कि चतुर्भुजों का उपयोग चतुर्भुजों और स्थानिक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है, जबकि दोहरी संख्याओं का उपयोग अनंतिमों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। उन विशेषताओं को एक साथ मिलाने से घुमावों को अनंत रूप से भिन्न किया जा सकता है। होने देना $\Pi$ इकाई गोले पर पड़े एक अतिसूक्ष्म तल को निरूपित करें, जो के बराबर है $\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}$. उसका अवलोकन करो $\Pi$ समतल होने के बावजूद, यह गोले का एक उपसमुच्चय है (यह दोहरी संख्या वाले अनन्तिमों के व्यवहार के कारण है)।
  फिर ध्यान दें कि दोहरे चतुर्भुजों के उपसमुच्चय के रूप में, तलीय चतुर्भुज समतल को घुमाते हैं $\Pi$ वापस अपने आप पर. इसका असर इस पर पड़ता है $v\in \Pi$ के मूल्य पर निर्भर करता है $q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$ में $qvq^{-1}$:
  1. कब $B\neq 0$, घूर्णन की धुरी किसी बिंदु की ओर इंगित करती है $p$ पर $\Pi$, ताकि अंक चालू रहें $\Pi$ चारों ओर घूमने का अनुभव करें $p$.
  2. कब $B=0$, घूर्णन की धुरी समतल से दूर इंगित करती है, जिसमें घूर्णन का कोण अपरिमित होता है। इस मामले में, बिंदु पर $\Pi$ अनुवाद का अनुभव करें.

यह भी देखें

• एडवर्ड अध्ययन
• चतुर्भुज
• दोहरी संख्या
• दोहरी चतुर्भुज
• क्लिफोर्ड बीजगणित
• यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री
• एफ़िन परिवर्तन
• प्रक्षेप्य तल
• सजातीय निर्देशांक
• एसएलआरपी
• अनुरूप ज्यामितीय बीजगणित