एंटीसिमेट्रिक संबंध

Not to be confused with Asymmetric relation.

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक द्विआधारी संबंध $R$ एक सेट पर (गणित) $X$ यदि 'विशिष्ट' तत्वों का कोई युग्म नहीं है, तो यह विषम है $X$ जिनमें से प्रत्येक से संबंधित है $R$ अन्य के लिए। अधिक औपचारिक रूप से, $R$ अगर सभी के लिए ठीक है तो एंटीसिमेट्रिक है $a,b\in X,$

$${\text{if }}\,aRb\,{\text{ with }}\,a\neq b\,{\text{ then }}\,bRa\,{\text{ must not hold}},$$

या समकक्ष,

$${\text{if }}\,aRb\,{\text{ and }}\,bRa\,{\text{ then }}\,a=b.$$

एंटीसिमेट्री की परिभाषा इस बारे में कुछ नहीं कहती है कि क्या $aRa$ वास्तव में किसी के लिए है या नहीं $a$. एक विषम संबंध $R$ एक सेट पर $X$ प्रतिवर्त संबंध हो सकता है (यानी, $aRa$ सभी के लिए $a\in X$), अपवर्तक संबंध (अर्थात, $aRa$ नहीं के लिए $a\in X$), या न तो रिफ्लेक्सिव और न ही रिफ्लेक्सिव। एक संबंध असममित संबंध है यदि और केवल यदि यह प्रतिसममित और अपरिवर्तनीय दोनों है।

उदाहरण

प्राकृतिक संख्याओं पर विभाज्यता संबंध एक प्रतिसममित संबंध का एक महत्वपूर्ण उदाहरण है। इस संदर्भ में, प्रतिसममिति का अर्थ है कि दो संख्याओं में से प्रत्येक को दूसरे से विभाज्य होने का एकमात्र तरीका यह है कि यदि दोनों वास्तव में एक ही संख्या हैं; समकक्ष, अगर $n$ और $m$ विशिष्ट हैं और $n$ का कारक है $m,$ तब $m$ का कारक नहीं हो सकता $n.$ उदाहरण के लिए, 12 4 से विभाज्य है, लेकिन 4 12 से विभाज्य नहीं है।

सामान्य आदेश संबंध $\,\leq \,$ वास्तविक संख्याओं पर एंटीसिमेट्रिक है: यदि दो वास्तविक संख्याओं के लिए $x$ और $y$ दोनों असमानता (गणित) $x\leq y$ और $y\leq x$ पकड़ो, फिर $x$ और $y$ बराबर होना चाहिए। इसी प्रकार, उपसमुच्चय क्रम $\,\subseteq \,$ किसी दिए गए सेट के सबसेट पर एंटीसिमेट्रिक है: दो सेट दिए गए हैं $A$ और $B,$ यदि प्रत्येक तत्व (गणित) में $A$ में भी है $B$ और प्रत्येक तत्व में $B$ में भी है $A,$ तब $A$ और $B$ सभी समान तत्व होने चाहिए और इसलिए समान होना चाहिए:

$$A\subseteq B{\text{ and }}B\subseteq A{\text{ implies }}A=B$$

एक रिश्ते का एक वास्तविक जीवन का उदाहरण जो आमतौर पर एंटीसिमेट्रिक होता है, के रेस्तरां बिल का भुगतान किया जाता है (किसी दिए गए अवसर तक सीमित समझा जाता है)। विशिष्ट रूप से, कुछ लोग अपने बिलों का भुगतान स्वयं करते हैं, जबकि अन्य अपने जीवनसाथी या मित्रों के लिए भुगतान करते हैं। जब तक कोई भी दो व्यक्ति एक-दूसरे के बिलों का भुगतान नहीं करते हैं, तब तक संबंध विषम होता है।

गुण

सममित और विषम संबंध

आंशिक आदेश और कुल आदेश परिभाषा के अनुसार विषम हैं। एक रिश्ता सममित संबंध और एंटीसिमेट्रिक दोनों हो सकता है (इस मामले में, यह कोरफ्लेक्टिव संबंध होना चाहिए), और ऐसे संबंध हैं जो न तो सममित हैं और न ही एंटीसिमेट्रिक (उदाहरण के लिए, जैविक प्रजातियों पर संबंध का शिकार)।

एंटीसिमेट्री असममित संबंध से अलग है: एक संबंध असममित है यदि और केवल अगर यह एंटीसिमेट्रिक और इर्रेफ्लेक्सिव संबंध है।

यह भी देखें

• Reflexive relation
• गणित में समरूपता

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Antisymmetric Relation". MathWorld.
• Lipschutz, Seymour; Marc Lars Lipson (1997). Theory and Problems of Discrete Mathematics. McGraw-Hill. p. 33. ISBN 0-07-038045-7.
• nLab antisymmetric relation