फाइबर (गणित)

गणित में, फाइबर (अमेरिकी अंग्रेजी) या फाइबर (ब्रिटिश अंग्रेजी) शब्द के संदर्भ के आधार पर दो अर्थ हो सकते हैं:

1. भोले सेट सिद्धांत में, तत्व का फाइबर (गणित) $y$ सेट में (गणित) $Y$ मानचित्र के अंतर्गत (गणित) $f:X\to Y$ सिंगलटन (गणित) की उलटी छवि है $\{y\}$ नीचे $f.$
2. बीजगणितीय ज्यामिति में, योजना (गणित) के एक आकृतिवाद के तंतु की धारणा को अधिक सावधानी से परिभाषित किया जाना चाहिए क्योंकि, सामान्य तौर पर, प्रत्येक तत्व (श्रेणी सिद्धांत) बंद नहीं होता है।

परिभाषाएँ

भोली सेट सिद्धांत में फाइबर

होने देना $f:X\to Y$ सेट के बीच एक फ़ंक्शन (गणित) बनें।

किसी तत्व का रेशा $y\in Y$ (या फाइबर खत्म $y$) नक्शे के नीचे $f$ सेट है

$$f^{-1}(y)=\{x\in X:f(x)=y\},$$

वह है, उन तत्वों का समूह जिन्हें मैप किया जाता है $y$ समारोह द्वारा। यह सिंगलटन का preimage है $\{y\}.$ (एक आमतौर पर लेता है $y$ की छवि (गणित) में $f$ बचने के लिए $f^{-1}(y)$ खाली सेट होने के नाते।)

समारोह के लिए सभी तंतुओं का संग्रह $f$ डोमेन का एक विभाजन (सेट सिद्धांत) बनाता है $X.$ फाइबर जिसमें एक तत्व होता है $x\in X$ सेट है $f^{-1}(f(x)).$ उदाहरण के लिए, प्रक्षेपण मानचित्र के तंतु $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ जो भेजता है $(x,y)$ प्रति $x$ ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं, जो समतल का एक विभाजन बनाती हैं।

यदि $f$ कई वास्तविक चरों का एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान कार्य है, फ़ंक्शन के तंतु स्तर सेट हैं $f$. यदि $f$ एक सतत कार्य भी है और $y\in \mathbb {R}$ की छवि (गणित) में है $f,$ स्तर सेट $f^{-1}(y)$ आम तौर पर द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक वक्र (गणित) होगा, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सतह (गणित), और अधिक आम तौर पर, डोमेन के क्षेत्र में एक ऊनविम पृष्ठ होगा। $f.$

बीजगणितीय ज्यामिति में फाइबर

बीजगणितीय ज्यामिति में, यदि $f:X\to Y$ योजनाओं का एक रूपवाद है, एक तत्व का तंतु (श्रेणी सिद्धांत) $p$ में $Y$ योजनाओं का फाइबर उत्पाद है

$$X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)$$
 कहाँ पे $k(p)$ अवशेष क्षेत्र है $p.$

टोपोलॉजी में फाइबर

एक स्थानीय स्थानीय होमोमोर्फिज्म प्रत्येक तंतु अपने डोमेन का एक असतत स्थान टोपोलॉजिकल उप-स्थान है। यदि $f:X\to Y$ एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) है और यदि $Y$ (या अधिक आम तौर पर, अगर $f(X)$) एक T1 स्पेस है|T₁ अंतरिक्ष तो हर फाइबर का एक बंद सेट है $X.$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक फंक्शन को कहा जाता है monotone अगर हर फाइबर अपने डोमेन का जुड़ा हुआ स्थान टोपोलॉजिकल सबस्पेस है। एक समारोह $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ इस टोपोलॉजिकल अर्थ में मोनोटोन है अगर और केवल अगर यह गैर-बढ़ता हुआ कार्य है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक फंक्शन को (कभी-कभी) कहा जाता है proper map यदि प्रत्येक फाइबर अपने डोमेन का कॉम्पैक्ट जगह सबस्पेस है। हालाँकि, कई लेखक उचित मानचित्र की अन्य गैर-समतुल्य प्रतिस्पर्धी परिभाषाओं का उपयोग करते हैं, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि हमेशा यह जाँचें कि कोई विशेष लेखक इस शब्द को कैसे परिभाषित करता है। एक कंटीन्यूअस फंक्शन बंद नक्शा विशेषण समारोह जिसके फाइबर सभी कॉम्पैक्ट होते हैं, कहलाता है a perfect map.

यह भी देखें

• कंपन
• फाइबर बंडल
• फाइबर उत्पाद
• प्रीइमेज प्रमेय
• शून्य सेट

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• भोला सेट सिद्धांत
• तत्व (गणित)
• सेट (गणित)
• नक्शा (गणित)
• आकारिता
• समारोह (गणित)
• कई वास्तविक चर का कार्य
• लेवल सेट
• निरंतर कार्य
• त्रि-आयामी स्थान
• द्वि-आयामी स्थान
• योजनाओं का आकारिकी
• योजनाओं के फाइबर उत्पाद
• टोपोलॉजिकल सबस्पेस
• निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)
• मोनोटोन समारोह
• वास्तविक विश्लेषण
• गैर-वृद्धिशील कार्य
• गैर घटता समारोह

संदर्भ

• Lee, John M. (2011). Introduction to Topological Manifolds (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-1-4419-7940-7.