अवशेष क्षेत्र

गणित में, अवशेष क्षेत्र क्रमविनिमेय बीजगणित में एक बुनियादी निर्माण है। यदि आर एक क्रमविनिमेय वलय है और एम एक अधिकतम आदर्श है, तो अवशिष्ट क्षेत्र भागफल वलय के = आर/एम है, जो एक क्षेत्र (गणित)। अक्सर, R एक स्थानीय वलय है और m तब इसका अद्वितीय अधिकतम आदर्श है।

यह निर्माण बीजगणितीय ज्यामिति में लागू किया जाता है, जहां एक योजना (गणित) के प्रत्येक बिंदु एक्स के लिए एक्स अपने 'अवशेष क्षेत्र' के (एक्स) को जोड़ता है। कोई थोड़ा शिथिल रूप से कह सकता है कि अमूर्त बीजगणितीय विविधता के एक बिंदु का अवशेष क्षेत्र बिंदु के निर्देशांक के लिए 'प्राकृतिक डोमेन' है।

परिभाषा

मान लीजिए कि R अधिकतम आदर्श m के साथ एक क्रमविनिमेय स्थानीय वलय है। फिर 'अवशेष क्षेत्र' भागफल वलय R/m है।

अब मान लीजिए कि X एक योजना (गणित) है और x, X का एक बिंदु है। योजना की परिभाषा के अनुसार, हम A के साथ कुछ क्रमविनिमेय वलय के साथ एक परिबद्ध पड़ोस U = Spec(A) पा सकते हैं। पड़ोस यू में माना जाता है, बिंदु एक्स एक प्रमुख आदर्श पी ⊆ ए से मेल खाता है (जरिस्की टोपोलॉजी देखें)। एक्स में एक्स की स्थानीय अंगूठी परिभाषा के अनुसार एक अंगूठी आर = ए का स्थानीयकरण है_pअधिकतम आदर्श m = p·A के साथ_p. उपरोक्त रचना को लागू करते हुए, हम 'बिंदु x का अवशेष क्षेत्र' प्राप्त करते हैं:

के (एक्स): = ए_p / पी·ए_p.

कोई यह साबित कर सकता है कि यह परिभाषा आस-पड़ोस के पड़ोस यू की पसंद पर निर्भर नहीं करती है। एक बिंदु को परिमेय बिंदु कहा जाता है | K-तर्कसंगत एक निश्चित क्षेत्र K के लिए, यदि k(x) = K.

उदाहरण

एफ़िन लाइन ए पर विचार करें¹(k) = Spec(k[t]) ओवर ए फील्ड (गणित) k. यदि k बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, तो वास्तव में दो प्रकार के प्रमुख गुण हैं, अर्थात्

• (t − a), a ∈ k
• (0), शून्य-आदर्श।

अवशेष क्षेत्र हैं

• $k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)}\cong k$
• $k[t]_{(0)}\cong k(t)$, एक चर में k पर फ़ंक्शन फ़ील्ड।

यदि k बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, तो अधिक प्रकार उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए यदि k = 'R', तो प्रधान गुणजावली (x² + 1) में C के लिए अवशेष फ़ील्ड आइसोमॉर्फिक है।

गुण

• क्षेत्र k पर परिमित प्रकार के आकारिकी की स्थानीय योजना के लिए, एक बिंदु x बंद है यदि और केवल यदि k(x) आधार क्षेत्र k का परिमित विस्तार है। यह हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज का एक ज्यामितीय सूत्रीकरण है। उपरोक्त उदाहरण में, पहले प्रकार के बिंदु बंद हैं, जिसमें अवशेष क्षेत्र k है, जबकि दूसरा बिंदु सामान्य बिंदु है, जिसमें k से अधिक 1 डिग्री है।
• एक मोर्फिज्म स्पेक (K) → X, K कुछ फील्ड, एक बिंदु x ∈ X और एक फील्ड एक्सटेंशन K/k(x) देने के बराबर है।
• एक क्षेत्र पर परिमित प्रकार की योजना का क्रुल आयाम सामान्य बिंदु के अवशेष क्षेत्र की श्रेष्ठता की डिग्री के बराबर है।

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आगे की पढाई

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, section II.2

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