अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व

For broader coverage of this topic, see 3D rotation group.

कोना θ और अक्ष इकाई वेक्टर e एक रोटेशन को परिभाषित करें, जिसे रोटेशन वेक्टर द्वारा संक्षिप्त रूप से दर्शाया गया है θe.

गणित में, अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व एक त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक घूर्णन (गणित) को पैरामीटराइज़ करता है | त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष दो मात्राओं द्वारा: एक इकाई वेक्टर e घूर्णन अक्ष की दिशा (ज्यामिति) और घूर्णन के कोण को दर्शाता है θ एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने के परिमाण और अर्थ (उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त) का वर्णन करना। एक इकाई वेक्टर की दिशा को परिभाषित करने के लिए केवल दो संख्याओं की आवश्यकता होती है, तीन की नहीं e के परिमाण के कारण मूल में निहित है e विवश है. उदाहरण के लिए, क्षैतिज समन्वय प्रणाली के कोण e इसे किसी विशेष कार्टेशियन समन्वय फ्रेम में स्थित करने के लिए पर्याप्त है।

रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र के अनुसार, कोण और अक्ष एक परिवर्तन निर्धारित करते हैं जो त्रि-आयामी वैक्टर को घुमाता है। घूर्णन दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित अर्थ में होता है।

घूर्णन अक्ष को कभी-कभी यूलर अक्ष भी कहा जाता है। अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व यूलर के घूर्णन प्रमेय पर आधारित है, जो यह निर्देश देता है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी कठोर पिंड के घूर्णन का कोई भी घूर्णन या अनुक्रम एक एकल निश्चित अक्ष के बारे में शुद्ध घूर्णन के बराबर है।

यह तीन आयामों में कई रोटेशन औपचारिकताओं में से एक है।

रोटेशन वेक्टर

अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व अधिक संक्षिप्त घूर्णन वेक्टर के बराबर है, जिसे यूलर वेक्टर भी कहा जाता है। इस मामले में, घूर्णन अक्ष और कोण दोनों को घूर्णन अक्ष के साथ एक वेक्टर कोड-दिशात्मक द्वारा दर्शाया जाता है जिसकी लंबाई घूर्णन कोण है θ,

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.$$

इसका उपयोग इस प्रतिनिधित्व को शामिल करने वाले मैट्रिक्स मानचित्रों के मैट्रिक्स घातांक और लघुगणक के लिए किया जाता है।

कई घूर्णन सदिश एक ही घूर्णन के अनुरूप होते हैं। विशेष रूप से, लंबाई का एक घूर्णन वेक्टर θ + 2πM, किसी भी पूर्णांक के लिए M, लंबाई के घूर्णन वेक्टर के समान ही घूर्णन को एन्कोड करता है θ. इस प्रकार, किसी भी घूर्णन के अनुरूप घूर्णन सदिशों की कम से कम गणनीय अनंतता होती है। इसके अलावा, सभी घूर्णन द्वारा 2πM किसी दिए गए पूर्णांक के लिए बिना किसी घूर्णन के समान हैं M, लंबाई के सभी घूर्णन सदिश 2πM, सभी दिशाओं में, शून्य वेक्टर के समान रोटेशन को एन्कोड करने वाले रोटेशन वैक्टर के दो-पैरामीटर बेशुमार अनंत का गठन करते हैं। घातीय मानचित्र को पलटते समय, यानी किसी दिए गए रोटेशन मैट्रिक्स से मेल खाने वाले रोटेशन वेक्टर को ढूंढते समय इन तथ्यों को ध्यान में रखा जाना चाहिए। घातीय मानचित्र चालू है लेकिन एक-से-एक नहीं।

उदाहरण

मान लीजिए कि आप जमीन पर खड़े हैं और आप गुरुत्वाकर्षण की दिशा को नकारात्मक मानते हैं z दिशा। फिर यदि आप बायीं ओर मुड़ेंगे तो घूम जायेंगे -π/2 रेडियन (या समकोण|-90°) के बारे में -z एक्सिस। अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व को एक क्रमित युग्म के रूप में देखने पर, यह होगा

$$(\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).$$

उपरोक्त उदाहरण को परिमाण के साथ एक घूर्णन वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है π/2 की ओर इशारा करते हुए z दिशा,

$${\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.$$

उपयोग

कठोर-शरीर की गतिशीलता से निपटने के दौरान अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व सुविधाजनक है। यह घुमावों को चिह्नित करने और कठोर शरीर गति (भौतिकी) के विभिन्न प्रतिनिधित्वों, जैसे सजातीय परिवर्तनों के बीच परिवर्तित करने के लिए भी उपयोगी है। और मोड़.

जब एक कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो इसका अक्ष-कोण डेटा एक स्थिर फ़ंक्शन रोटेशन अक्ष और रोटेशन कोण समय पर निरंतर कार्य करता है।

तीन eigenvalues ​​​​1 और को प्लग करना e^±iθ और मर्सर के प्रमेय में कार्टेशियन प्रतिनिधित्व में उनके संबंधित तीन ऑर्थोगोनल अक्ष तीन आयामों में रोटेशन मैट्रिक्स के कार्टेशियन प्रतिनिधित्व का एक सुविधाजनक निर्माण है।

वेक्टर को घुमाना

Main article: Rodrigues' rotation formula

रोड्रिग्स का रोटेशन फॉर्मूला, जिसका नाम ओलिन्डे रोड्रिग्स के नाम पर रखा गया है, एक यूक्लिडियन वेक्टर को घुमाने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है, जिसे रोटेशन अक्ष और रोटेशन का कोण दिया गया है। दूसरे शब्दों में, रोड्रिग्स का सूत्र घातीय मानचित्र की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम प्रदान करता है ${\mathfrak {so}}(3)$ को SO(3) पूर्ण मैट्रिक्स घातांक की गणना किए बिना।

अगर v एक वेक्टर है R³ और e एक इकाई वेक्टर है जो मूल में निहित है जो घूर्णन की धुरी का वर्णन करता है v को एक कोण द्वारा घुमाया जाता है θ, घुमाए गए वेक्टर को प्राप्त करने के लिए रोड्रिग्स का रोटेशन फॉर्मूला है

$$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} \,.$$

एकल वेक्टर के घूर्णन के लिए यह परिवर्तित करने की तुलना में अधिक कुशल हो सकता है e और θ वेक्टर को घुमाने के लिए एक रोटेशन मैट्रिक्स में।

अन्य अभ्यावेदन से संबंध

Further information: Charts on SO(3)

किसी घूर्णन को दर्शाने के कई तरीके हैं। यह समझना उपयोगी है कि विभिन्न प्रतिनिधित्व एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं, और उनके बीच कैसे परिवर्तित किया जाए। यहाँ इकाई सदिश को दर्शाया गया है ω के बजाय e.

𝔰𝔬(3) से SO(3) तक घातीय मानचित्र

Further information: Matrix exponential, Orthogonal matrix, Lie algebra § Relation to Lie groups, and Rotation group SO(3) § Exponential map

घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) घूर्णन के अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व से रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तन को प्रभावित करता है,

$$\exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.$$

अनिवार्य रूप से, टेलर विस्तार का उपयोग करके इन दो अभ्यावेदन के बीच एक बंद-रूप संबंध प्राप्त होता है। एक यूनिट वेक्टर दिया गया है ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$ इकाई घूर्णन अक्ष और एक कोण का प्रतिनिधित्व करते हुए, θ ∈ R, एक समतुल्य रोटेशन मैट्रिक्स R इस प्रकार दिया गया है, जहाँ K का क्रॉस उत्पाद#मैट्रिक्स गुणन में रूपांतरण है ω, वह है, Kv = ω × v सभी वैक्टर के लिए v ∈ R³,

$$R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots$$

क्योंकि K तिरछा-सममित है, और इसके ऊपर-विकर्ण प्रविष्टियों के वर्गों का योग 1 है, विशेषता बहुपद P(t) का K है P(t) = det(K − tI) = −(t³ + t). चूँकि, केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, P(K) = 0, इसका तात्पर्य यह है

$$\mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.$$

नतीजतन, K⁴ = –K², K⁵ = K, K⁶ = K², K⁷ = –K.

यह चक्रीय पैटर्न अनिश्चित काल तक जारी रहता है, और इसी प्रकार सभी उच्च शक्तियाँ भी K के रूप में व्यक्त किया जा सकता है K और K². इस प्रकार, उपरोक्त समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है

$$R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,$$

वह है,

$$R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,$$

टेलर श्रृंखला द्वारा#त्रिकोणमितीय फलन।

रोड्रिग्स के घूर्णन सूत्र लेख में ज्यामितीय व्युत्पत्ति के विपरीत, यह एक लाई-बीजगणितीय व्युत्पत्ति है। उपर्युक्त घातीय मानचित्र के अस्तित्व के कारण, इकाई वेक्टर ω घूर्णन अक्ष और कोण का प्रतिनिधित्व करता है θ को कभी-कभी रोटेशन मैट्रिक्स के घातीय निर्देशांक कहा जाता है R.

===SO(3) से 𝔰𝔬(3)=== तक मानचित्र लॉग करें

Further information: Rotation group SO(3) and Infinitesimal transformation

होने देना K 3×3 मैट्रिक्स को निरूपित करना जारी रखें जो रोटेशन अक्ष के साथ क्रॉस उत्पाद को प्रभावित करता है ω: K(v) = ω × v सभी वैक्टर के लिए v जो आगे हुआ।

रोटेशन मैट्रिक्स के अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व को पुनः प्राप्त करने के लिए, रोटेशन मैट्रिक्स से रोटेशन के कोण की गणना करें#कोण का निर्धारण:

$$\theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)$$

और फिर सामान्यीकृत अक्ष को खोजने के लिए उसका उपयोग करें,

$${\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,$$

कहाँ $R_{ij}$ रोटेशन मैट्रिक्स का घटक है, $R$, में $i$-वीं पंक्ति और $j$-वाँ स्तंभ.

घूर्णन के बाद से अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं है $-\theta$ के बारे में $-{\boldsymbol {\omega }}$ के घूर्णन के समान है $\theta$ के बारे में ${\boldsymbol {\omega }}$.

अक्ष वेक्टर की उपरोक्त गणना $\omega$ अगर काम नहीं करता R सममित है. सामान्य मामले के लिए $\omega$ के शून्य स्थान का उपयोग करके पाया जा सकता है R-I, रोटेशन मैट्रिक्स#अक्ष का निर्धारण देखें।

रोटेशन मैट्रिक्स का मैट्रिक्स लघुगणक R है

$$\log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}$$

अपवाद तब होता है जब R के eigenvalues ​​​​बराबर हैं −1. इस मामले में, लॉग अद्वितीय नहीं है. हालाँकि, उस मामले में भी जब θ = π लॉग का फ्रोबेनियस मानदंड है

$$\|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.$$

दिए गए रोटेशन मैट्रिक्स A और B,

$$d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }$$

रोटेशन मैट्रिसेस के 3डी मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक दूरी है।

छोटे घुमावों के लिए, उपरोक्त गणना θसंख्यात्मक रूप से सटीक नहीं हो सकता क्योंकि आर्ककोस का व्युत्पन्न अनंत तक जाता है θ → 0. उस स्थिति में, ऑफ-एक्सिस शर्तें वास्तव में इसके बारे में बेहतर जानकारी प्रदान करेंगी θचूंकि, छोटे कोणों के लिए, R ≈ I + θK. (ऐसा इसलिए है क्योंकि ये टेलर श्रृंखला के पहले दो पद हैं exp(θK).)

इस सूत्रीकरण में संख्यात्मक समस्याएँ भी हैं θ = π, जहां ऑफ-एक्सिस शब्द रोटेशन अक्ष के बारे में जानकारी नहीं देते हैं (जो अभी भी एक संकेत अस्पष्टता तक परिभाषित है)। उस स्थिति में, हमें उपरोक्त सूत्र पर पुनर्विचार करना चाहिए।

$$R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )$$

पर θ = π, हमारे पास है

$$R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I$$

और इसलिए चलो

$$B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,$$

अत: के विकर्ण पद B के तत्वों के वर्ग हैं ω और संकेत (संकेत अस्पष्टता तक) ऑफ-एक्सिस शर्तों के संकेतों से निर्धारित किए जा सकते हैंB.

इकाई चतुर्भुज

Main article: Quaternions and spatial rotation

निम्नलिखित अभिव्यक्ति अक्ष-कोण निर्देशांक को छंद (इकाई चतुर्भुज) में बदल देती है:

$$Q=\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)$$

एक अनुवादक द्वारा दिया गया q = s + x को इसके चतुर्भुज#अदिश और सदिश भागों से दर्शाया गया है s और वेक्टर x, अक्ष-कोण निर्देशांक निम्नलिखित का उपयोग करके निकाले जा सकते हैं:

$${\begin{aligned}\theta &=2\arccos s\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {x} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}$$

घूर्णन कोण की अधिक संख्यात्मक रूप से स्थिर अभिव्यक्ति atan2 फ़ंक्शन का उपयोग करती है:

$$\theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {x} |,s)\,,$$

कहाँ |x| 3-वेक्टर का यूक्लिडियन मानदंड है x.

यह भी देखें

• सजातीय निर्देशांक
• छद्मवेक्टर
• तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकता#कोण-कोण-कोण
• पेंच सिद्धांत, ट्विस्ट, स्क्रू और रिंच की अवधारणाओं का उपयोग करके कठोर-शरीर की गति और वेग का प्रतिनिधित्व