अघुलनशील बहुपद

This article is about non-factorizable polynomials. For polynomials which are not a composition of polynomials, see Indecomposable polynomial.

गणित में, एक अप्रासंगिक बहुपद, मोटे तौर पर कहा जाए तो, एक बहुपद है जिसे दो स्थिर बहुपद|गैर-स्थिर बहुपदों के उत्पाद में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इरेड्यूसिबिलिटी का गुण उन गुणांकों की प्रकृति पर निर्भर करता है जो संभावित कारकों के लिए स्वीकार किए जाते हैं, अर्थात वह क्षेत्र (गणित) जिससे बहुपद के गुणांक और उसके संभावित कारक संबंधित माने जाते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद x² − 2 पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है, लेकिन, चूँकि प्रत्येक पूर्णांक भी एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह वास्तविक गुणांक वाला एक बहुपद भी है। यदि इसे पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है तो यह अपरिवर्तनीय है, लेकिन यह कारक है $\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)$ यदि इसे वास्तविक गुणांकों वाला बहुपद माना जाए। एक कहता है कि बहुपद x² − 2 पूर्णांकों पर अप्रासंगिक है लेकिन वास्तविक पर नहीं।

एक अभिन्न डोमेन में गुणांक वाले बहुपदों के लिए बहुपद अपरिवर्तनीयता पर विचार किया जा सकता है, और इसकी दो सामान्य परिभाषाएँ हैं। अक्सर, एक अभिन्न डोमेन पर एक बहुपद R को अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि यह दो बहुपदों का उत्पाद नहीं है जिनके गुणांक हैं R, और वह इकाई (रिंग सिद्धांत) नहीं हैं R. समान रूप से, इस परिभाषा के लिए, एक अघुलनशील बहुपद, बहुपदों के वलय में एक अघुलनशील तत्व है R. अगर R एक क्षेत्र है, अपरिवर्तनीयता की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। दूसरी परिभाषा के लिए, एक बहुपद अपरिवर्तनीय है यदि इसे एक ही डोमेन में गुणांक वाले बहुपदों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसमें दोनों की सकारात्मक डिग्री होती है। समान रूप से, एक बहुपद अपरिवर्तनीय है यदि यह अभिन्न डोमेन के अंशों के क्षेत्र पर अपरिवर्तनीय है। उदाहरण के लिए, बहुपद $2(x^{2}-2)\in \mathbb {Z} [x]$ दूसरी परिभाषा के लिए अप्रासंगिक है, पहली के लिए नहीं। वहीं दूसरी ओर, $x^{2}-2$ में अप्रासंगिक है $\mathbb {Z} [x]$ दो परिभाषाओं के लिए, जबकि यह कम करने योग्य है $\mathbb {R} [x].$ एक बहुपद जो गुणांक वाले किसी भी क्षेत्र पर अपरिवर्तनीय है, बिल्कुल अपरिवर्तनीय है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एक अविभाज्य बहुपद पूर्णतया अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। दूसरी ओर, कई अनिश्चित (चर) के साथ, किसी भी डिग्री के बिल्कुल अपरिवर्तनीय बहुपद होते हैं, जैसे कि $x^{2}+y^{n}-1,$ किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए n.

एक बहुपद जो अपरिवर्तनीय नहीं है उसे कभी-कभी एक कम करने योग्य बहुपद कहा जाता है। बहुपद गुणनखंडन और बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार के अध्ययन में इरेड्यूसिबल बहुपद स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं।

अघुलनशील बहुपदों की अभाज्य संख्याओं से तुलना करना सहायक होता है: अभाज्य संख्याएँ (समान परिमाण की संगत ऋणात्मक संख्याओं के साथ) अघुलनशील पूर्णांक होती हैं। वे अघुलनशीलता की अवधारणा के कई सामान्य गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो समान रूप से अघुलनशील बहुपदों पर लागू होते हैं, जैसे कि अभाज्य या अघुलनशील कारकों में अनिवार्य रूप से अद्वितीय गुणनखंडन। जब गुणांक वलय एक क्षेत्र या अन्य अद्वितीय गुणनखंड डोमेन होता है, तो एक अपरिवर्तनीय बहुपद को अभाज्य बहुपद भी कहा जाता है, क्योंकि यह एक अभाज्य आदर्श उत्पन्न करता है।

परिभाषा

यदि एफ एक क्षेत्र है, तो एक गैर-स्थिर बहुपद 'एफ पर अपरिवर्तनीय' है यदि इसके गुणांक एफ से संबंधित हैं और इसे एफ में गुणांक वाले दो गैर-स्थिर बहुपदों के उत्पाद में विभाजित नहीं किया जा सकता है।

पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद, या, अधिक सामान्यतः, एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन आर में गुणांक के साथ, कभी-कभी इरेड्यूसिबल (या आर के ऊपर इरेड्यूसिबल) कहा जाता है यदि यह बहुपद वलय का एक इरेड्यूसिबल तत्व है, अर्थात, यह इकाई नहीं है (रिंग सिद्धांत), शून्य नहीं है, और इसे आर में गुणांक वाले दो गैर-उलटा बहुपदों के उत्पाद में शामिल नहीं किया जा सकता है। यह परिभाषा किसी क्षेत्र में गुणांक के मामले के लिए दी गई परिभाषा को सामान्य बनाती है, क्योंकि, एक क्षेत्र पर, गैर- अचर बहुपद बिल्कुल वे बहुपद होते हैं जो गैर-उलटा और गैर-शून्य होते हैं।

एक अन्य परिभाषा का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि एक बहुपद आर पर अपरिवर्तनीय है यदि यह आर के अंशों के क्षेत्र में अपरिवर्तनीय है (तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र, यदि आर पूर्णांक है)। इस आलेख में इस दूसरी परिभाषा का उपयोग नहीं किया गया है। दोनों परिभाषाओं की समानता R पर निर्भर करती है।

सरल उदाहरण

निम्नलिखित छह बहुपद न्यूनीकरणीय और अप्रासंगिक बहुपदों के कुछ प्राथमिक गुण प्रदर्शित करते हैं:

${\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}$

पूर्णांकों पर, पहले तीन बहुपद कम करने योग्य हैं (तीसरा कम करने योग्य है क्योंकि कारक 3 पूर्णांकों में उलटा नहीं है); अंतिम दो अपरिवर्तनीय हैं। (बेशक, चौथा, पूर्णांकों पर एक बहुपद नहीं है।)

परिमेय संख्याओं पर, पहले दो और चौथे बहुपद न्यूनीकरणीय हैं, लेकिन अन्य तीन बहुपद अप्रासंगिक हैं (परिमेय संख्याओं पर एक बहुपद के रूप में, 3 एक इकाई है (रिंग सिद्धांत), और, इसलिए, एक कारक के रूप में नहीं गिना जाता है) .

वास्तविक संख्याओं पर, पहले पांच बहुपद कम करने योग्य हैं, लेकिन $p_{6}(x)$ अपरिवर्तनीय है.

सम्मिश्र संख्याओं पर, सभी छह बहुपद न्यूनीकरणीय हैं।

सम्मिश्र संख्याओं पर

जटिल क्षेत्र पर, और, अधिक सामान्यतः, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक अविभाज्य बहुपद अपरिवर्तनीय होता है यदि और केवल यदि इसकी बहुपद की डिग्री एक होती है। इस तथ्य को जटिल संख्याओं के मामले में बीजगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है और सामान्य तौर पर, बीजगणितीय रूप से बंद होने की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक अचर अविभाज्य बहुपद को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है

$a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)$

कहाँ $n$ डिग्री है, $a$ अग्रणी गुणांक है और $z_{1},\dots ,z_{n}$ बहुपद के शून्य हैं (जरूरी नहीं कि अलग हों, और जरूरी नहीं कि स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ हों)।

सम्मिश्र संख्याओं पर प्रत्येक डिग्री के अप्रासंगिक बहुभिन्नरूपी बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद

$x^{n}+y^{n}-1,$ जो एक फ़र्मेट वक्र को परिभाषित करता है, प्रत्येक सकारात्मक n के लिए अप्रासंगिक है।

वास्तविकता से परे

वास्तविक संख्या से अधिक, एक अपरिवर्तनीय अविभाज्य बहुपद की डिग्री या तो एक या दो होती है। अधिक सटीक रूप से, अपरिवर्तनीय बहुपद डिग्री एक के बहुपद और द्विघात बहुपद हैं $ax^{2}+bx+c$ जिसमें एक नकारात्मक विभेदक है $b^{2}-4ac.$ इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक गैर-अचर अविभाज्य बहुपद को अधिकतम दो घात वाले बहुपदों के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $x^{4}+1$ वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंड $\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),$ और इसे आगे नहीं गिना जा सकता, क्योंकि दोनों कारकों में नकारात्मक विभेदक है: $\left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.$

अद्वितीय गुणनखंड गुण

Main article: Unique factorization domain

एक क्षेत्र पर प्रत्येक बहुपद F को एक गैर-शून्य स्थिरांक और एक सीमित संख्या में अपरिवर्तनीय (ओवर) के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है F) बहुपद. यह अपघटन कारकों के क्रम और गैर-शून्य स्थिरांकों द्वारा कारकों के गुणन तक अद्वितीय है जिसका उत्पाद 1 है।

एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन पर एक ही प्रमेय सत्य है, लेकिन आदिम बहुपद की धारणा का उपयोग करके अधिक सटीक रूप से तैयार किया गया है। एक आदिम बहुपद (रिंग सिद्धांत) एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर एक बहुपद है, जैसे कि 1 इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

होने देना F एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन बनें। एक गैर-स्थिर अघुलनशील बहुपद F आदिम है. एक आदिम बहुपद F अप्रासंगिक है F यदि और केवल यदि यह भिन्नों के क्षेत्र में अप्रासंगिक है F. हर बहुपद खत्म F को गैर-शून्य स्थिरांक और गैर-स्थिर अपरिवर्तनीय आदिम बहुपदों की एक सीमित संख्या के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है। गैर-शून्य स्थिरांक को स्वयं एक इकाई (रिंग सिद्धांत) के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है F और अपरिवर्तनीय तत्वों की एक सीमित संख्या F. दोनों गुणनखंडन गुणनखंडों के क्रम और गुणनखंडों को एक इकाई से गुणा करने तक अद्वितीय हैं F.

यह वह प्रमेय है जो प्रेरित करता है कि एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन पर अघुलनशील बहुपद की परिभाषा अक्सर यह मानती है कि बहुपद गैर-स्थिर है।

सभी कलन विधि जो वर्तमान में पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर बहुपदों का गुणनखंड करने के लिए कार्यान्वयन#कंप्यूटर विज्ञान हैं, इस परिणाम का उपयोग करते हैं (बहुपदों का गुणनखंडन देखें)।

पूर्णांकों और परिमित क्षेत्रों पर

पूर्णांकों पर एक बहुपद की अपरिवर्तनीयता $\mathbb {Z}$ उस क्षेत्र से संबंधित है $\mathbb {F} _{p}$ का $p$ तत्व (एक प्राइम के लिए $p$). विशेष रूप से, यदि एक अविभाज्य बहुपद f ऊपर $\mathbb {Z}$ खत्म करने योग्य है $\mathbb {F} _{p}$ कुछ प्रमुख के लिए $p$ जो कि अग्रणी गुणांक को विभाजित नहीं करता है f (चर की उच्चतम शक्ति का गुणांक), फिर f अप्रासंगिक है $\mathbb {\mathbb {Q} }$ (अर्थात्, यह पूर्णांक गुणांक वाले दो गैर-स्थिर बहुपदों का गुणनफल नहीं है)। आइज़ेंस्टीन की कसौटी इस संपत्ति का एक प्रकार है जहां अपरिवर्तनीयता खत्म हो जाती है $p^{2}$ भी शामिल है.

हालाँकि, इसका उलटा सच नहीं है: मनमाने ढंग से बड़ी डिग्री के बहुपद होते हैं जो पूर्णांकों पर अपरिवर्तनीय होते हैं और प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर कम करने योग्य होते हैं। ऐसे बहुपद का एक सरल उदाहरण है $x^{4}+1.$ पूर्णांकों पर इरेड्यूसिबिलिटी और इरेड्यूसिबिलिटी मॉड्यूलो पी के बीच संबंध पिछले परिणाम की तुलना में अधिक गहरा है: आज तक, पूर्णांकों और तर्कसंगत संख्याओं पर गुणनखंडन और इरेड्यूसिबिलिटी के लिए सभी कार्यान्वित एल्गोरिदम एक सबरूटीन के रूप में परिमित क्षेत्रों पर गुणनखंडन का उपयोग करते हैं।

डिग्री की संख्या n एक क्षेत्र पर अघुलनशील मोनिक बहुपद $\mathbb {F} _{q}$ के लिए q एक प्रमुख शक्ति द्वारा दी गई है

$N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},$

कहाँ μ मोबियस फ़ंक्शन है। के लिए q = 2, ऐसे बहुपदों का उपयोग आमतौर पर छद्म यादृच्छिक बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।

कुछ अर्थों में, शून्य या एक गुणांक वाले लगभग सभी बहुपद पूर्णांकों पर अप्रासंगिक होते हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि डेडेकाइंड जीटा फ़ंक्शन के लिए रीमैन परिकल्पना का एक संस्करण मान लिया जाता है, तो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर गुणांक वाले बहुपद के लिए पूर्णांकों पर अपरिवर्तनीय होने की संभावना {0, 1} डिग्री बढ़ने पर एक की ओर प्रवृत्त होता है।

एल्गोरिदम

Main article: Factorization of polynomials

बहुपदों की अद्वितीय गुणनखंडन संपत्ति का मतलब यह नहीं है कि किसी दिए गए बहुपद के गुणनखंडन की हमेशा गणना की जा सकती है। यहां तक ​​कि एक बहुपद की अपरिवर्तनीयता हमेशा गणना द्वारा सिद्ध नहीं की जा सकती है: ऐसे क्षेत्र हैं जिन पर मनमाने बहुपदों की अपरिवर्तनीयता तय करने के लिए कोई एल्गोरिदम मौजूद नहीं हो सकता है। पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं, परिमित क्षेत्रों और इन क्षेत्रों के परिमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार पर बहुपदों के लिए कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में बहुपदों के गुणनखंडन और अपरिवर्तनीयता का निर्णय करने के लिए एल्गोरिदम ज्ञात और कार्यान्वित किए जाते हैं। ये सभी एल्गोरिदम परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों के गुणनखंडन के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

क्षेत्र विस्तार

Main article: Algebraic extension

अपरिवर्तनीय बहुपद और बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार की धारणाएँ निम्नलिखित तरीके से दृढ़ता से संबंधित हैं।

मान लीजिए कि x, फ़ील्ड K के फ़ील्ड विस्तार L का एक तत्व है। इस तत्व को बीजगणितीय कहा जाता है यदि यह K में गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद के फ़ंक्शन का शून्य है। जिन बहुपदों में x एक मूल है, वहां बिल्कुल वही है जो मोनिक बहुपद है और न्यूनतम डिग्री का है, जिसे x का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। एल के एक बीजगणितीय तत्व x का न्यूनतम बहुपद अपरिवर्तनीय है, और यह अद्वितीय अघुलनशील बहुपद है जिसका x एक मूल है। x का न्यूनतम बहुपद प्रत्येक बहुपद को विभाजित करता है जिसका मूल x होता है (यह एबेल की अपरिवर्तनीयता प्रमेय है)।

इसके विपरीत, यदि $P(X)\in K[X]$ एक क्षेत्र K पर एक अविभाज्य बहुपद है, मान लीजिए $L=K[X]/P(X)$ बहुपद वलय का भागफल वलय हो $K[X]$ आदर्श द्वारा (रिंग सिद्धांत)#एक सेट द्वारा उत्पन्न आदर्श P. तब L एक फ़ील्ड है यदि और केवल यदि P अप्रासंगिक है K. इस मामले में, यदि x की छवि है X में L, का न्यूनतम बहुपद x का भागफल है P इसके अग्रणी गुणांक द्वारा।

उपरोक्त का एक उदाहरण सम्मिश्र संख्याओं की मानक परिभाषा है $\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).$ यदि एक बहुपद P में एक अघुलनशील कारक है Q ऊपर K, जिसकी डिग्री एक से अधिक हो, कोई भी इसके लिए आवेदन कर सकता है Q बीजगणितीय विस्तार का पूर्ववर्ती निर्माण, जिसमें विस्तार प्राप्त करना P में in से कम से कम एक जड़ अधिक है K. इस निर्माण को दोहराते हुए, अंततः एक क्षेत्र प्राप्त होता है जिसके ऊपर P कारकों को रैखिक कारकों में। वलय समरूपता तक अद्वितीय इस क्षेत्र को विभाजन क्षेत्र कहा जाता है P.

एक अभिन्न डोमेन पर

यदि R एक अभिन्न डोमेन है, तो R का एक तत्व f जो न तो शून्य है और न ही एक इकाई है, अगर f = gh के साथ कोई गैर-इकाइयाँ g और h नहीं हैं, तो इसे अपरिवर्तनीय तत्व कहा जाता है। कोई यह दिखा सकता है कि प्रत्येक अभाज्य तत्व अपरिवर्तनीय है; इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है, लेकिन अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में मौजूद है। फ़ील्ड F (या किसी अद्वितीय-गुणनखंडन डोमेन) पर बहुपद वलय F[x] फिर से एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है। आगमनात्मक रूप से, इसका मतलब यह है कि n में बहुपद वलय अनिश्चित (एक वलय R के ऊपर) एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है यदि R के लिए भी यही सच है।

यह भी देखें

• गॉस की लेम्मा (बहुपद)
• तर्कसंगत मूल प्रमेय, यह पता लगाने की एक विधि कि क्या बहुपद में तर्कसंगत गुणांक के साथ एक रैखिक कारक है
• आइज़ेंस्टीन की कसौटी
• पेरोन की इरेड्यूसिबिलिटी कसौटी
• हिल्बर्ट की अपरिवर्तनीयता प्रमेय
• कोहन की इरेड्यूसिबिलिटी कसौटी
• टोपोलॉजिकल स्पेस का इरेड्यूसेबल घटक
• परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों का गुणनखंडन
• Quartic function § Reducible quartics
• Cubic function § Factorization
• एक अघुलनशील मामला , तीन वास्तविक जड़ों वाला इरेड्यूसिबल क्यूबिक
• Quadratic equation § Quadratic factorization

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556. This classical book covers most of the content of this article.
• Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0, pp. 91.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
• Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (1997), Handbook of applied cryptography, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8523-0, pp. 154.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Irreducible Polynomial". MathWorld.
• irreducible polynomial at PlanetMath.
• Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.