अधिकतम और न्यूनतम तत्व

60 के विभाजक के समुच्चय P का हैस आरेख, आंशिक रूप से संबंध x द्वारा y को विभाजित करने के क्रम में। लाल उपसमुच्चय S = {1,2,3,4} में दो अधिकतम तत्व हैं, अर्थात। 3 और 4, और एक न्यूनतम तत्व, अर्थात। 1, जो इसका सबसे छोटा तत्व भी है।

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, कुछ पूर्व-आदेशित सेट के उपसमुच्चय एस का अधिकतम तत्व एस का एक तत्व है जो एस में किसी भी अन्य तत्व से छोटा नहीं है। कुछ पूर्व-आदेशित सेट के उपसमुच्चय एस के एक न्यूनतम तत्व को एस के एक तत्व के रूप में [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] परिभाषित किया गया है जो एस में किसी भी अन्य तत्व से अधिक नहीं है।

अधिकतम और न्यूनतम तत्वों की धारणाएँ सबसेट बड़े तत्व और न्यूनतम तत्व की तुलना में कमज़ोर हैं, जिन्हें क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम के रूप में भी जाना जाता है। किसी उपसमुच्चय की अधिकतम सीमा $S$ पूर्व-आदेशित सेट का एक तत्व है $S$ जो किसी भी अन्य तत्व से बड़ा या उसके बराबर है $S,$ और न्यूनतम $S$ पुनः दोहरी परिभाषा दी गई है। आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के विशेष मामले में, जबकि अधिकतम एक अधिकतम और अधिकतम एक न्यूनतम हो सकता है, वहां कई अधिकतम या न्यूनतम तत्व हो सकते हैं।^[1]^[2] पूरी तरह से व्यवस्थित सेटों पर और अधिक विशेषज्ञता, अधिकतम तत्व और अधिकतम संयोग की धारणाएं, और न्यूनतम तत्व और न्यूनतम संयोग की धारणाएं।

उदाहरण के तौर पर, संग्रह में

S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}

समावेशन (सेट सिद्धांत) द्वारा क्रमबद्ध, तत्व {डी, ओ} न्यूनतम है क्योंकि इसमें संग्रह में कोई सेट नहीं है, तत्व {जी, ओ, ए, डी} अधिकतम है क्योंकि संग्रह में कोई सेट नहीं है जिसमें यह शामिल है , तत्व {d, o, g} कोई नहीं है, और तत्व {o, a, f} न्यूनतम और अधिकतम दोनों है। इसके विपरीत, न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम का अस्तित्व है

S.

ज़ोर्न की लेम्मा बताती है कि प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट, जिसके लिए हर पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय की ऊपरी सीमा होती है, में कम से कम एक अधिकतम तत्व होता है। यह लेम्मा सुव्यवस्थित प्रमेय और पसंद के सिद्धांत के बराबर है^[3] और अन्य गणितीय क्षेत्रों जैसे हैन-बानाच प्रमेय, किर्स्ज़ब्रौन प्रमेय, टाइकोनॉफ़ प्रमेय, प्रत्येक वेक्टर स्थान के लिए हैमेल आधार का अस्तित्व, और प्रत्येक क्षेत्र (गणित) के लिए बीजगणितीय समापन के अस्तित्व में प्रमुख परिणाम दर्शाता है।

परिभाषा

होने देना $(P,\leq )$ एक पूर्व-आदेशित सेट बनें और रहने दें $S\subseteq P.$ A maximal element of $S$ with respect to $\,\leq \,$ एक तत्व है $m\in S$ ऐसा है कि

अगर

s\in S

संतुष्ट

m\leq s,

तो आवश्यक रूप से

s\leq m.

इसी प्रकार, a minimal element of $S$ with respect to $\,\leq \,$ एक तत्व है

m\in S

ऐसा है कि

अगर

s\in S

संतुष्ट

s\leq m,

तो आवश्यक रूप से

m\leq s.

समान रूप से,

m\in S

का एक न्यूनतम तत्व है

S

इसके संबंध में

\,\leq \,

अगर और केवल अगर

m

का एक अधिकतम तत्व है

S

इसके संबंध में

\,\geq ,\,

जहां परिभाषा के अनुसार,

q\geq p

अगर और केवल अगर

p\leq q

(सभी के लिए

p,q\in P

).

यदि उपसमुच्चय $S$ निर्दिष्ट नहीं है तो यह मान लिया जाना चाहिए $S:=P.$ स्पष्ट रूप से, ए maximal element (क्रमश, minimal element) of $(P,\leq )$ का एक अधिकतम (सम्मान न्यूनतम) तत्व है $S:=P$ इसके संबंध में $\,\leq .$ यदि पूर्व-आदेशित सेट $(P,\leq )$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट भी होता है (या अधिक सामान्यतः, यदि प्रतिबंध हो $(S,\leq )$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है) तो $m\in S$ का एक अधिकतम तत्व है $S$ अगर और केवल अगर $S$ इसमें कोई भी तत्व पूर्णतया इससे बड़ा नहीं है $m;$ स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि कोई तत्व मौजूद नहीं है $s\in S$ ऐसा है कि $m\leq s$ और $m\neq s.$ न्यूनतम तत्वों का लक्षण वर्णन उपयोग करके प्राप्त किया जाता है $\,\geq \,$ की जगह $\,\leq .$

अस्तित्व और विशिष्टता

एक बाड़ (गणित) में केवल न्यूनतम और अधिकतम तत्व होते हैं (उदाहरण 3)।

अधिकतम तत्वों का अस्तित्व आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 1: चलो $S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R}$ कहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है. सभी के लिए $m\in S,$ $s=m+1\in S$ लेकिन $m<s$ (वह है, $m\leq s$ लेकिन नहीं $m=s$ ).
उदाहरण 2: चलो $S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},$ कहाँ $\mathbb {Q}$ तर्कसंगत संख्याओं को दर्शाता है और जहां स्क्वायर_रूट_ऑफ_2#प्रमाण_ऑफ_इरेशनैलिटी| ${\sqrt {2}}$ तर्कहीन है.

सामान्य रूप में $\,\leq \,$ पर केवल आंशिक आदेश है $S.$ अगर $m$ एक अधिकतम तत्व है और $s\in S,$ तब यह संभव रहता है कि दोनों में से कोई भी नहीं $s\leq m$ और न $m\leq s.$ इससे यह संभावना खुल जाती है कि एक से अधिक अधिकतम तत्व मौजूद हैं।

उदाहरण 3: बाड़ में (गणित) $a_{1}<b_{1}>a_{2}<b_{2}>a_{3}<b_{3}>\ldots ,$ आल थे $a_{i}$ न्यूनतम और सभी हैं $b_{i}$ अधिकतम हैं, जैसा कि छवि में दिखाया गया है।
उदाहरण 4: मान लीजिए ए कम से कम दो तत्वों वाला एक समुच्चय है और मान लीजिए $S=\{\{a\}~:~a\in A\}$ सत्ता स्थापित का सबसेट बनें $\wp (A)$ सिंगलटन (गणित) से मिलकर, आंशिक रूप से आदेश दिया गया $\,\subseteq .$ यह एक अलग स्थिति है जहां कोई भी दो तत्व तुलनीय नहीं हैं और इसलिए हर तत्व तुलनीय है $\{a\}\in S$ अधिकतम (और न्यूनतम) है; इसके अलावा, किसी भी विशिष्ट के लिए $a,b\in A,$ कोई भी नहीं $\{a\}\subseteq \{b\}$ और न $\{b\}\subseteq \{a\}.$

महानतम तत्व

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए $(P,\leq ),$ का अपरिवर्तनीय कर्नेल $\,\leq \,$ के रूप में दर्शाया गया है $\,<\,$ और द्वारा परिभाषित किया गया है $x<y$ अगर $x\leq y$ और $x\neq y.$ मनमाने सदस्यों के लिए $x,y\in P,$ वास्तव में निम्नलिखित में से एक मामला लागू होता है:

$x<y$ ;
$x=y$ ;
$y<x$ ;
$x$ और $y$ अतुलनीय हैं.

एक उपसमुच्चय दिया गया $S\subseteq P$ और कुछ $x\in S,$

यदि केस 1 कभी भी किसी के लिए लागू नहीं होता है $y\in S,$ तब $x$ का एक अधिकतम तत्व है $S,$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है;
यदि केस 1 और 4 कभी भी किसी के लिए लागू नहीं होता है $y\in S,$ तब $x$ ए कहा जाता है greatest element का $S.$

इस प्रकार एक महानतम तत्व की परिभाषा अधिकतम तत्व की तुलना में अधिक मजबूत होती है।

समान रूप से, उपसमुच्चय का सबसे बड़ा तत्व $S$ के एक तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $S$ जो कि अन्य सभी तत्वों से अधिक है $S.$ एक उपसमुच्चय में अधिकतम एक सबसे बड़ा तत्व हो सकता है।^{[proof 1]} का सबसे बड़ा तत्व $S,$ यदि यह मौजूद है, तो यह भी एक अधिकतम तत्व है $S,$ ^{[proof 2]} और एकमात्र.^{[proof 3]} विरोधाभास द्वारा, यदि $S$ इसमें कई अधिकतम तत्व हैं, इसमें सबसे बड़ा तत्व नहीं हो सकता; उदाहरण 3 देखें. अगर $P$ आरोही श्रृंखला स्थिति, एक उपसमुच्चय को संतुष्ट करता है $S$ का $P$ इसका एक महत्तम तत्व है यदि, और केवल यदि, इसका एक अधिकतम तत्व है।^{[proof 4]} जब का प्रतिबंध $\,\leq \,$ को $S$ कुल ऑर्डर है ( $S=\{1,2,4\}$ सबसे ऊपरी चित्र में एक उदाहरण है), तो अधिकतम तत्व और सबसे बड़े तत्व की धारणाएँ मेल खाती हैं।^{[proof 5]} यह कोई आवश्यक शर्त नहीं है: जब भी $S$ एक महानतम तत्व है, जैसा कि ऊपर कहा गया है, धारणाएँ भी मेल खाती हैं। यदि प्रत्येक दो-तत्व उपसमुच्चय पर अधिकतम तत्व और सबसे बड़े तत्व की धारणाएँ मेल खाती हैं $S$ का $P.$ तब $\,\leq \,$ पर कुल ऑर्डर है $P.$ ^{[proof 6]}

निर्देशित सेट

पूरी तरह से व्यवस्थित सेट में, अधिकतम तत्व और सबसे बड़ा तत्व शब्द मेल खाते हैं, यही कारण है कि गणितीय विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में दोनों शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाता है जहां केवल कुल आदेशों पर विचार किया जाता है। यह अवलोकन न केवल आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय पर लागू होता है, बल्कि निर्देशित सेट के माध्यम से उनके ऑर्डर सैद्धांतिक सामान्यीकरण पर भी लागू होता है। एक निर्देशित सेट में, तत्वों की प्रत्येक जोड़ी (विशेष रूप से अतुलनीय तत्वों के जोड़े) में सेट के भीतर एक सामान्य ऊपरी सीमा होती है। यदि किसी निर्देशित समुच्चय में अधिकतम तत्व है, तो यह उसका सबसे बड़ा तत्व भी है,^{[proof 7]} और इसलिए यह एकमात्र अधिकतम तत्व है। अधिकतम या महानतम तत्वों के बिना निर्देशित सेट के लिए, उदाहरण 1 और 2 देखें #अस्तित्व और विशिष्टता।

समान निष्कर्ष न्यूनतम तत्वों के लिए सत्य हैं।

आगे की परिचयात्मक जानकारी ऑर्डर सिद्धांत पर लेख में पाई जाती है।

गुण

प्रत्येक परिमित अरिक्त उपसमुच्चय $S$ इसमें अधिकतम और न्यूनतम दोनों तत्व हैं। एक अनंत उपसमुच्चय में इनमें से किसी का होना आवश्यक नहीं है, उदाहरण के लिए, पूर्णांक $\mathbb {Z}$ सामान्य क्रम के साथ.
किसी उपसमुच्चय के अधिकतम तत्वों का समुच्चय $S$ हमेशा एक एंटीचेन होता है, यानी कोई भी दो अलग-अलग अधिकतम तत्व नहीं होते हैं $S$ तुलनीय हैं. यही बात न्यूनतम तत्वों पर भी लागू होती है।

उदाहरण

पेरेटो दक्षता में, पेरेटो इष्टतम, पेरेटो सुधार के आंशिक क्रम के संबंध में एक अधिकतम तत्व है, और अधिकतम तत्वों के सेट को पेरेटो फ्रंटियर कहा जाता है।
निर्णय सिद्धांत में, एक स्वीकार्य निर्णय नियम प्रभावी निर्णय नियम के आंशिक आदेश के संबंध में एक अधिकतम तत्व है।
आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत में, जोखिम और रिटर्न पर उत्पाद क्रम के संबंध में अधिकतम तत्वों के सेट को कुशल सीमा कहा जाता है।
समुच्चय सिद्धांत में, एक समुच्चय परिमित समुच्चय होता है यदि और केवल यदि उपसमुच्चय के प्रत्येक गैर-रिक्त परिवार में समावेशन संबंध द्वारा क्रमबद्ध होने पर एक न्यूनतम तत्व होता है।
अमूर्त बीजगणित में, अधिकतम सामान्य भाजक की अवधारणा को संख्या प्रणालियों में सबसे बड़े सामान्य भाजक को सामान्यीकृत करने की आवश्यकता होती है जिसमें तत्वों के एक सेट के सामान्य भाजक में एक से अधिक अधिकतम तत्व हो सकते हैं।
कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, एक बिंदु सेट की अधिकतम सीमा समन्वय के अनुसार वर्चस्व के आंशिक क्रम के संबंध में अधिकतम होती है।

उपभोक्ता सिद्धांत

अर्थशास्त्र में, आंशिक आदेशों के बजाय प्रीऑर्डर (आम तौर पर कुल प्रीऑर्डर) का उपयोग करके, एंटीसिमेट्री के सिद्धांत को शिथिल किया जा सकता है; अधिकतम तत्व के अनुरूप धारणा बहुत समान है, लेकिन विभिन्न शब्दावली का उपयोग किया जाता है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

उपभोक्ता सिद्धांत में उपभोग स्थान कुछ सेट है $X$ , आमतौर पर कुछ सदिश समष्टि का धनात्मक ऑर्थेंट ताकि प्रत्येक $x\in X$ में प्रत्येक मौजूदा वस्तु के लिए निर्दिष्ट खपत की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है अर्थव्यवस्था। उपभोक्ता की प्राथमिकताओं को आमतौर पर कुल प्रीऑर्डर द्वारा दर्शाया जाता है $\preceq$ ताकि $x,y\in X$ और $x\preceq y$ पढ़ता है: $x$ अधिक से अधिक उतना ही पसंदीदा है $y$ . कब $x\preceq y$ और $y\preceq x$ यह समझा जाता है कि उपभोक्ता बीच में उदासीन है $x$ और $y$ लेकिन यह निष्कर्ष निकालने का कोई कारण नहीं है $x=y.$ वरीयता संबंधों को कभी भी एंटीसिमेट्रिक नहीं माना जाता है। इस संदर्भ में, किसी के लिए $B\subseteq X,$ तत्व $x\in B$ यदि इसे अधिकतम तत्व कहा जाता है

y\in B

तात्पर्य

y\preceq x

जहां इसकी व्याख्या एक उपभोग बंडल के रूप में की जाती है जिस पर इस अर्थ में किसी अन्य बंडल का प्रभुत्व नहीं है

x\prec y,

वह है

x\preceq y

और नहीं

y\preceq x.

यह टिप्पणी की जानी चाहिए कि औपचारिक परिभाषा एक आदेशित सेट के लिए सबसे बड़े तत्व की तरह दिखती है। हालाँकि, जब

\preceq

केवल एक प्रीऑर्डर, एक तत्व है

x

उपरोक्त गुण किसी क्रम में अधिकतम तत्व की तरह व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, एक अधिकतम तत्व

x\in B

के लिए अद्वितीय नहीं है

y\preceq x

इस संभावना से इनकार नहीं करता

x\preceq y

(जबकि

y\preceq x

और

x\preceq y

मतलब मत निकालो

x=y

लेकिन बस उदासीनता

x\sim y

). किसी प्राथमिकता प्रीऑर्डर के लिए सबसे बड़े तत्व की धारणा सबसे पसंदीदा विकल्प की होगी। यानी कुछ

x\in B

साथ

y\in B

तात्पर्य

y\prec x.

एक स्पष्ट अनुप्रयोग मांग पत्राचार की परिभाषा के लिए है। होने देना

P

कार्यात्मकताओं का वर्ग हो

X

. तत्व

p\in P

इसे मूल्य कार्यात्मक या मूल्य प्रणाली कहा जाता है और यह प्रत्येक उपभोग बंडल को मैप करता है

x\in X

इसके बाजार मूल्य में

p(x)\in \mathbb {R} _{+}

. बजट पत्राचार एक पत्राचार है

\Gamma \colon P\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X

किसी भी मूल्य प्रणाली और आय के किसी भी स्तर को एक उपसमूह में मैप करना

\Gamma (p,m)=\{x\in X~:~p(x)\leq m\}.

मांग पत्राचार किसी भी कीमत को दर्शाता है

p

और आय का कोई भी स्तर

m

के सेट में

\preceq

-के अधिकतम तत्व

\Gamma (p,m)

.

D(p,m)=\left\{x\in X~:~x{\text{ is a maximal element of }}\Gamma (p,m)\right\}.

इसे मांग पत्राचार कहा जाता है क्योंकि सिद्धांत इसकी भविष्यवाणी करता है

p

और

m

दिया गया, उपभोक्ता की तर्कसंगत पसंद

x^{*}

कुछ तत्व होगा

x^{*}\in D(p,m).

यह भी देखें

↑ If $g_{1}$ and $g_{2}$ are both greatest, then $g_{1}\leq g_{2}$ and $g_{2}\leq g_{1},$ and hence $g_{1}=g_{2}$ by antisymmetry. $\blacksquare$
↑ If $g$ is the greatest element of $S$ and $s\in S,$ then $s\leq g.$ By antisymmetry, this renders ( $g\leq s$ and $g\neq s$ ) impossible. $\blacksquare$
↑ If $m$ is a maximal element then $m\leq g$ (because $g$ is greatest) and thus $m=g$ since $m$ is maximal. $\blacksquare$
↑ Only if: see above. — If: Assume for contradiction that $S$ has just one maximal element, $m,$ but no greatest element. Since $m$ is not greatest, some $s_{1}\in S$ must exist that is incomparable to $m.$ Hence $s_{1}\in S$ cannot be maximal, that is, $s_{1}<s_{2}$ must hold for some $s_{2}\in S.$ The latter must be incomparable to $m,$ too, since $m<s_{2}$ contradicts $m$ 's maximality while $s_{2}\leq m$ contradicts the incomparability of $m$ and $s_{1}.$ Repeating this argument, an infinite ascending chain $s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}<\cdots$ can be found (such that each $s_{i}$ is incomparable to $m$ and not maximal). This contradicts the ascending chain condition. $\blacksquare$
↑ Let $m\in S$ be a maximal element, for any $s\in S$ either $s\leq m$ or $m\leq s.$ In the second case, the definition of maximal element requires that $s=m,$ so it follows that $s\leq m.$ In other words, $m$ is a greatest element. $\blacksquare$
↑ If $a,b\in P$ were incomparable, then $S=\{a,b\}$ would have two maximal, but no greatest element, contradicting the coincidence. $\blacksquare$
↑ Let $m\in D$ be maximal. Let $x\in D$ be arbitrary. Then the common upper bound $u$ of $m$ and $x$ satisfies $u\geq m$ , so $u=m$ by maximality. Since $x\leq u$ holds by definition of $u$ , we have $x\leq m$ . Hence $m$ is the greatest element. $\blacksquare$