असंपीड्य प्रवाह

"Incompressible" redirects here. For the property of vector fields, see Solenoidal vector field. For the topological property, see Incompressible surface. For strings which cannot be reduced by a given compression algorithm, see Incompressible string.

द्रव यांत्रिकी या अधिक आम तौर पर सातत्य यांत्रिकी में, असंपीड्य प्रवाह (आइसोकोरिक प्रक्रिया ) एक द्रव प्रवाह को संदर्भित करता है जिसमें द्रव पार्सल के भीतर सामग्री घनत्व स्थिर होता है - एक असीम मात्रा जो प्रवाह वेग के साथ चलती है। एक समतुल्य कथन जो असंपीड्यता का तात्पर्य है कि प्रवाह वेग का विचलन शून्य है (नीचे व्युत्पत्ति देखें, जो बताता है कि ये स्थितियाँ समतुल्य क्यों हैं)।

असम्पीडित प्रवाह का अर्थ यह नहीं है कि द्रव स्वयं असम्पीडित है। यह नीचे व्युत्पत्ति में दिखाया गया है कि (सही परिस्थितियों में) यहां तक ​​​​कि संपीड़ित तरल पदार्थ - एक अच्छे सन्निकटन के लिए - एक असंपीड़ित प्रवाह के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। असंपीड्य प्रवाह का तात्पर्य है कि द्रव के एक पार्सल के भीतर घनत्व स्थिर रहता है जो प्रवाह वेग के साथ चलता है।

व्युत्पत्ति

असंपीड्य प्रवाह के लिए मूलभूत आवश्यकता यह है कि घनत्व, $\rho$, एक छोटे तत्व आयतन, dV के भीतर स्थिर है, जो प्रवाह वेग 'u' पर चलता है। गणितीय रूप से, इस बाधा का तात्पर्य है कि घनत्व के सामग्री व्युत्पन्न (नीचे चर्चा की गई) को असंगत प्रवाह सुनिश्चित करने के लिए गायब होना चाहिए। इस बाधा को शुरू करने से पहले, आवश्यक संबंध उत्पन्न करने के लिए हमें द्रव्यमान के संरक्षण को लागू करना चाहिए। द्रव्यमान की गणना घनत्व के आयतन अभिन्न द्वारा की जाती है, $\rho$:

${m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.$

द्रव्यमान के संरक्षण के लिए आवश्यक है कि नियंत्रण आयतन के अंदर द्रव्यमान का समय व्युत्पन्न द्रव्यमान प्रवाह, जे के बराबर हो, इसकी सीमाओं के पार। गणितीय रूप से, हम सतह अभिन्न के संदर्भ में इस बाधा का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

${\partial m \over \partial t}=-$ $S$ $\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

उपरोक्त अभिव्यक्ति में नकारात्मक संकेत यह सुनिश्चित करता है कि बाहरी प्रवाह के परिणामस्वरूप समय के संबंध में द्रव्यमान में कमी आती है, इस सम्मेलन का उपयोग करते हुए कि सतह क्षेत्र वेक्टर बाहर की ओर इशारा करता है। अब, विचलन प्रमेय का उपयोग करके हम प्रवाह और घनत्व के आंशिक समय व्युत्पन्न के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं:

${\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},$

इसलिए:

${\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .$

असंपीड्य प्रवाह सुनिश्चित करने के लिए समय के संबंध में घनत्व के आंशिक व्युत्पन्न को गायब होने की आवश्यकता नहीं है। जब हम समय के संबंध में घनत्व के आंशिक व्युत्पन्न की बात करते हैं, तो हम निश्चित स्थिति के नियंत्रण मात्रा के भीतर परिवर्तन की इस दर का उल्लेख करते हैं। घनत्व के आंशिक समय व्युत्पन्न को गैर-शून्य होने देकर, हम खुद को असम्पीडित तरल पदार्थों तक सीमित नहीं कर रहे हैं, क्योंकि घनत्व एक निश्चित स्थिति से देखा जा सकता है क्योंकि द्रव नियंत्रण मात्रा के माध्यम से बहता है। यह दृष्टिकोण सामान्यता को बनाए रखता है, और इसकी आवश्यकता नहीं है कि घनत्व के आंशिक समय व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं, यह दर्शाता है कि संपीड़ित तरल पदार्थ अभी भी असम्पीडित प्रवाह से गुजर सकते हैं। प्रवाह वेग, 'यू' के साथ चलने वाले नियंत्रण आयतन के घनत्व में परिवर्तन से हमें क्या दिलचस्पी है। प्रवाह निम्न कार्य के माध्यम से प्रवाह वेग से संबंधित है:

${\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.$

ताकि द्रव्यमान के संरक्षण का तात्पर्य है कि:

${\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.$

पिछला संबंध (जहां हमने उपयुक्त सदिश कलन सर्वसमिका का प्रयोग किया है) को नेवियर-स्टोक्स समीकरण#असंपीड्य द्रव के लिए निरंतरता समीकरण के रूप में जाना जाता है। अब, हमें घनत्व के कुल व्युत्पन्न के बारे में निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है (जहाँ हम श्रृंखला नियम लागू करते हैं):

${\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.$

इसलिए यदि हम एक नियंत्रण आयतन चुनते हैं जो द्रव के समान गति से चल रहा है (अर्थात (dx/dt, dy/dt, dz/dt) ='u'), तो यह अभिव्यक्ति सामग्री व्युत्पन्न को सरल बनाती है:

${D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.$

और इसलिए ऊपर प्राप्त निरंतरता समीकरण का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि:

${D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.$

समय के साथ घनत्व में बदलाव का अर्थ यह होगा कि द्रव या तो संकुचित या विस्तारित हो गया था (या यह कि हमारे स्थिर आयतन में निहित द्रव्यमान, dV बदल गया था), जिसे हमने प्रतिबंधित कर दिया है। हमें तब आवश्यकता होगी कि घनत्व का व्युत्पन्न गायब हो जाए, और समतुल्य (गैर-शून्य घनत्व के लिए) इसलिए प्रवाह वेग का विचलन होना चाहिए:

${\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.$

और इसलिए द्रव्यमान के संरक्षण और बाधा के साथ शुरुआत करते हुए द्रव की गतिमान मात्रा के भीतर घनत्व स्थिर रहता है, यह दिखाया गया है कि असंगत प्रवाह के लिए आवश्यक समतुल्य स्थिति यह है कि प्रवाह वेग का विचलन गायब हो जाता है।

कंप्रेसिबिलिटी से संबंध

कुछ क्षेत्रों में, दबाव भिन्नताओं के परिणामस्वरूप घनत्व में परिवर्तन प्रवाह की असंगतता का एक उपाय है। यह संपीड्यता के संदर्भ में सबसे अच्छा व्यक्त किया गया है

$\beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.$

यदि संपीड्यता स्वीकार्य रूप से छोटी है, तो प्रवाह को असम्पीडित माना जाता है।

सोलनॉइडल फ़ील्ड से संबंध

एक असम्पीडित प्रवाह एक solenoidal प्रवाह वेग क्षेत्र द्वारा वर्णित है। लेकिन एक परिनालिका क्षेत्र, एक शून्य विचलन होने के अलावा, गैर-शून्य कर्ल (गणित) (यानी, घूर्णी घटक) होने का अतिरिक्त अर्थ भी रखता है।

अन्यथा, यदि एक असम्पीडित प्रवाह में भी शून्य का कर्ल होता है, जिससे कि यह अघूर्णन क्षेत्र भी है, तो फ्लो वेलोसिटी फील्ड वास्तव में लाप्लासियन वेक्टर क्षेत्र है।

सामग्री से अंतर

जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है, एक असम्पीडित (आइसोकोरिक) प्रवाह वह है जिसमें

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,$

यह कहने के बराबर है

${\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0$

यानी घनत्व का मूल व्युत्पन्न शून्य है। इस प्रकार यदि कोई भौतिक तत्व का अनुसरण करता है, तो उसका द्रव्यमान घनत्व स्थिर रहता है। ध्यान दें कि सामग्री व्युत्पन्न में दो पद होते हैं। पहला कार्यकाल ${\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}$ वर्णन करता है कि भौतिक तत्व का घनत्व समय के साथ कैसे बदलता है। इस शब्द को अस्थिर शब्द के रूप में भी जाना जाता है। दूसरा कार्यकाल, $\mathbf {u} \cdot \nabla \rho$ घनत्व में परिवर्तन का वर्णन करता है क्योंकि भौतिक तत्व एक बिंदु से दूसरे स्थान पर जाता है। यह एडवेक्शन टर्म (स्केलर फील्ड के लिए कन्वेक्शन टर्म) है। असर असंपीड़्यता के रूप में हिसाब किए जाने वाले प्रवाह के लिए, इन शर्तों का अभिवृद्धि योग शून्य सेक्रो-सैंक्ट होना चाहिए।

दूसरी ओर, एक 'सजातीय, असम्पीडित सामग्री' वह है जिसका घनत्व निरंतर बना रहता है। ऐसी सामग्री के लिए, $\rho ={\text{constant}}$. यह बताता है कि,

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$ और

$\nabla \rho =0$ स्वतंत्र रूप से।

निरंतरता समीकरण से यह इस प्रकार है

${\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0$

इस प्रकार सजातीय पदार्थ हमेशा ऐसे प्रवाह से गुजरते हैं जो असंपीड्य होता है, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है। यही है, संपीड़ित सामग्री प्रवाह में संपीड़न का अनुभव नहीं कर सकती है।

संबंधित प्रवाह की कमी

द्रव गतिकी में, प्रवाह वेग का विचलन शून्य होने पर प्रवाह को असंपीड़ित माना जाता है। हालांकि, मॉडलिंग की जा रही प्रवाह प्रणाली के आधार पर संबंधित योगों का कभी-कभी उपयोग किया जा सकता है। कुछ संस्करण नीचे वर्णित हैं:

1. असम्पीडित प्रवाह: ${\nabla \cdot \mathbf {u} =0}$. यह या तो निरंतर घनत्व (सख्त असम्पीडित) या भिन्न घनत्व प्रवाह मान सकता है। अलग-अलग घनत्व सेट घनत्व, दबाव और/या तापमान क्षेत्रों में छोटे गड़बड़ी वाले समाधानों को स्वीकार करता है, और डोमेन में दबाव वायुमंडलीय स्तरीकरण की अनुमति दे सकता है।
2. एनालास्टिक प्रवाह: ${\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}$. मुख्य रूप से वायुमंडलीय विज्ञान के क्षेत्र में उपयोग किया जाता है, एनालास्टिक बाधा स्तरीकृत घनत्व और/या तापमान के साथ-साथ दबाव के लिए असंपीड़ित प्रवाह वैधता का विस्तार करती है। उदाहरण के लिए, मौसम विज्ञान के क्षेत्र में उपयोग किए जाने पर यह थर्मोडायनामिक चर को निचले वातावरण में देखे जाने वाले 'वायुमंडलीय' आधार अवस्था में आराम करने की अनुमति देता है। इस स्थिति का उपयोग विभिन्न खगोलीय प्रणालियों के लिए भी किया जा सकता है।
3. लो मच-नंबर फ्लो, या स्यूडो-इनकम्प्रेसबिलिटी: $\nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta$. कम मच संख्या | मैक-नंबर बाधा को गैर-आयामी मात्राओं के पैमाने विश्लेषण का उपयोग करके संपीड़ित यूलर समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है। संयम, इस खंड में पिछले की तरह, ध्वनिक तरंगों को हटाने की अनुमति देता है, लेकिन घनत्व और / या तापमान में बड़े गड़बड़ी की भी अनुमति देता है। धारणा यह है कि इस तरह की बाधा के वैध होने के लिए किसी भी समाधान के लिए प्रवाह मैक संख्या सीमा (सामान्य रूप से 0.3 से कम) के भीतर रहता है। फिर से, सभी असंपीड्य प्रवाह के अनुसार दबाव विचलन दबाव आधार स्थिति की तुलना में छोटा होना चाहिए।

ये विधियाँ प्रवाह के बारे में अलग-अलग धारणाएँ बनाती हैं, लेकिन सभी बाधा के सामान्य रूप को ध्यान में रखती हैं $\nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta$ सामान्य प्रवाह निर्भर कार्यों के लिए $\alpha$ और $\beta$.

संख्यात्मक सन्निकटन

असंपीड्य प्रवाह समीकरणों की कठोर प्रकृति का अर्थ है कि उन्हें हल करने के लिए विशिष्ट गणितीय तकनीकों को तैयार किया गया है। इनमें से कुछ विधियों में शामिल हैं:

1. प्रोजेक्शन विधि (द्रव गतिकी) (अनुमानित और सटीक दोनों)
2. कृत्रिम संपीड्यता तकनीक (अनुमानित)
3. संपीड्यता पूर्व-कंडीशनिंग

यह भी देखें

• बरनौली का सिद्धांत
• यूलर समीकरण (द्रव गतिकी)
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण

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