असमानता

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गणित में, एक असमानता एक बयान है कि एक असमानता (गणित) दो मूल्यों के बीच रखती है। यह आम तौर पर अभिव्यक्ति की एक जोड़ी (गणित) के रूप में लिखा जाता है जो प्रश्न में मूल्यों को दर्शाता है, उनके बीच एक संबंधपरक चिह्न के साथ विशिष्ट असमानता संबंध दर्शाता है। असमानताओं के कुछ उदाहरण हैं:

• $a<b$
• $x+y+z\leq 1$
• $n>1$
• $x\neq 0$

कुछ मामलों में, असमानता शब्द को असमानता शब्द का पर्यायवाची माना जा सकता है, जबकि अन्य मामलों में, एक असमिका केवल उन कथनों के लिए आरक्षित होती है जिनका असमानता संबंध (≠) के बराबर नहीं है।

असमानताओं की शृंखला

एक आशुलिपि संकेतन का उपयोग सामान्य अभिव्यक्तियों से जुड़ी कई असमानताओं के संयोजन (तर्क) के लिए किया जाता है, उन्हें एक साथ जोड़कर। उदाहरण के लिए, जंजीर

$0\leq a<b\leq 1$

के लिए आशुलिपि है

$0\leq a~~\mathrm {and} ~~a<b~~\mathrm {and} ~~b\leq 1$

जिसका तात्पर्य यह भी है $0<b$ और $a<1$.

दुर्लभ मामलों में, दूर के शब्दों के बारे में इस तरह के प्रभाव के बिना जंजीरों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए $i\neq 0\neq j$ के लिए आशुलिपि है $i\neq 0~~\mathrm {and} ~~0\neq j$, जिसका अर्थ नहीं है $i\neq j.$ इसी प्रकार, $a<b>c$ के लिए आशुलिपि है $a<b~~\mathrm {and} ~~b>c$, जिसका कोई आदेश नहीं है $a$ और $c$.

असमानताओं को हल करना

असमानताओं की एक नमूना सूची के लिए समाधान सेट (साध्य क्षेत्र के रूप में चित्रित)।

समीकरण को हल करने के समान, असमानता को हल करने का अर्थ यह पता लगाना है कि कौन से मान (संख्याएं, कार्य, सेट आदि) एक असमानता या कई असमानताओं के संयोजन के रूप में बताई गई स्थिति को पूरा करते हैं। इन भावों में एक या एक से अधिक अज्ञात होते हैं, जो मुक्त चर होते हैं जिनके लिए मूल्यों की मांग की जाती है जिससे शर्त पूरी हो जाती है। सटीक होने के लिए, जो मांगा जाता है वह अक्सर वास्तविक मूल्य नहीं होता है, बल्कि सामान्य रूप से अभिव्यक्तियां होती हैं। असमिका का समाधान अज्ञात के लिए व्यंजकों का नियतन है जो असमिका(नों) को संतुष्ट करता है; दूसरे शब्दों में, व्यंजक ऐसे होते हैं कि जब उन्हें अज्ञात के स्थान पर प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वे असमिकाओं को सत्य तर्कवाक्य बना देते हैं।

अक्सर, एक अतिरिक्त उद्देश्य अभिव्यक्ति (यानी, एक अनुकूलन समीकरण) दी जाती है, जिसे 'इष्टतम' समाधान द्वारा न्यूनतम या अधिकतम किया जाना है। उदाहरण के लिए,

$0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}$ असमानताओं का एक संयोजन है, आंशिक रूप से जंजीरों के रूप में लिखा गया है (जहाँ $\land$ और के रूप में पढ़ा जा सकता है); इसके समाधान का सेट चित्र में नीले रंग में दिखाया गया है (क्रमशः 1, 2, और 3 संयोजन के अनुरूप लाल, हरी और नारंगी रेखा)। एक बड़े उदाहरण के लिए। लीनियर प्रोग्रामिंग#उदाहरण देखें।

विषमताओं को हल करने में कंप्यूटर समर्थन बाधा प्रोग्रामिंग में वर्णित है; विशेष रूप से, सिंप्लेक्स एल्गोरिदम रैखिक असमानताओं के इष्टतम समाधान ढूंढता है। प्रोग्रामिंग लैंग्वेज प्रोलॉग III बुनियादी भाषा सुविधा के रूप में असमानताओं (और अन्य संबंधों) के विशेष वर्गों के लिए एल्गोरिदम को हल करने का भी समर्थन करता है। अधिक जानकारी के लिए, बाधा तर्क प्रोग्रामिंग देखें।

अर्थों का योग

आम तौर पर कुछ कार्यों (जैसे वर्गमूल) के गुणों के कारण, कुछ असमानताएं कई अन्य के संयोजन के बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, असमानता $\textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)$ तार्किक रूप से संयुक्त निम्नलिखित तीन असमानताओं के बराबर है:

1. $f(x)\geq 0$
2. $g(x)>0$
3. $f(x)<\left(g(x)\right)^{2}$

यह भी देखें

• अलग संबंध - रचनात्मक गणित में असमानता का एक रूप
• समीकरण
• बराबर का चिह्न
• असमानता (गणित)
• रिलेशनल ऑपरेटर

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• अभिव्यक्ति (गणित)
• संभाव्य क्षेत्र
• समीकरण हल करना
• बराबर का चिन्ह