अलग संबंध

रचनावाद (गणित) में, एक अलग संबंध असमानता का एक रचनात्मक रूप है, और इसे अक्सर समानता (गणित) से अधिक बुनियादी माना जाता है। इसे प्राय: इस प्रकार लिखा जाता है $\#$ (⧣ यूनिकोड में) समानता की उपेक्षा (इनकार असमानता) से अलग करने के लिए $\neq ,$ जो कमजोर है।

विवरण

एक अलगाव संबंध अतिरिक्त स्थिति के साथ एक सममित संबंध अपरिवर्तनीय द्विआधारी संबंध है कि यदि दो तत्व अलग हैं, तो कोई अन्य तत्व उनमें से कम से कम एक से अलग है (इस अंतिम संपत्ति को अक्सर सह-संक्रमण या तुलना कहा जाता है)।

यानी एक बाइनरी रिलेशन $\#$ एक अलगाव संबंध है अगर यह संतुष्ट करता है:

1. $\neg \;(x\#x)$
2. $x\#y\;\to \;y\#x$
3. $x\#y\;\to \;(x\#z\;\vee \;y\#z)$

द्विआधारी संबंध # एक अलगाव संबंध का पूरक एक तुल्यता संबंध है, क्योंकि उपरोक्त तीन स्थितियां रिफ्लेक्टिव संबंध, सममित संबंध और सकर्मक संबंध बन जाती हैं। यदि यह तुल्यता सम्बन्ध वास्तव में तुल्यता ही है, तो पृथकत्व सम्बन्ध टाइट कहलाता है। वह है, $\#$ एक है tight apartness relation यदि यह अतिरिक्त रूप से संतुष्ट करता है:

4. $\neg \;(x\#y)\;\to \;x=y.$

शास्त्रीय तर्क गणित में, यह भी अनुसरण करता है कि प्रत्येक अलगाव संबंध एक तुल्यता संबंध का पूरक है, और किसी दिए गए सेट पर एकमात्र तंग अलगाव संबंध समानता का पूरक है। तो उस डोमेन में, अवधारणा उपयोगी नहीं है। रचनात्मक गणित में, हालांकि, ऐसा नहीं है।

प्रोटोटाइपिक अलगाव संबंध वास्तविक संख्याओं का है: दो वास्तविक संख्याओं को अलग-अलग कहा जाता है यदि उनके बीच एक परिमेय संख्या मौजूद है (कोई निर्माण कर सकता है)। दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याएँ $x$ और $y$ अलग हैं यदि कोई परिमेय संख्या मौजूद है $z$ ऐसा है कि $x<z<y$ या $y<z<x.$ वास्तविक संख्याओं का प्राकृतिक अलगाव संबंध तब इसके प्राकृतिक छद्म क्रम का विघटन है। जटिल संख्याएँ, वास्तविक सदिश स्थान, और वास्तव में कोई भी मीट्रिक स्थान तब स्वाभाविक रूप से वास्तविक संख्याओं के अलग-अलग संबंध को प्राप्त करता है, भले ही वे किसी भी प्राकृतिक क्रम से सुसज्जित न हों।

यदि दो वास्तविक संख्याओं के बीच कोई परिमेय संख्या नहीं है, तो दो वास्तविक संख्याएँ बराबर होती हैं। शास्त्रीय रूप से, यदि दो वास्तविक संख्याएँ समान नहीं हैं, तो कोई यह निष्कर्ष निकालेगा कि उनके बीच एक परिमेय संख्या मौजूद है। हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि कोई वास्तव में ऐसी संख्या का निर्माण कर सकता है। इस प्रकार, यह कहना कि दो वास्तविक संख्याएँ अलग हैं, एक मजबूत कथन है, रचनात्मक रूप से, यह कहने की तुलना में कि वे समान नहीं हैं, और जबकि वास्तविक संख्याओं की समानता उनकी अलगता के संदर्भ में परिभाषित है, वास्तविक संख्याओं की समानता को उनके संदर्भ में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। समानता। इस कारण से, विशेष रूप से रचनात्मक टोपोलॉजी में, एक सेट (गणित) पर अलग-अलग संबंध अक्सर आदिम के रूप में लिया जाता है, और समानता एक परिभाषित संबंध है।

पृथकता संबंध से संपन्न समुच्चय को समुच्चय के रूप में जाना जाता है। एक समारोह $f:A\to B$ कहाँ $A$ और $B$ रचनात्मक सेटोइड्स को आकारिकी कहा जाता है $\#_{A}$ और $\#_{B}$ अगर $\forall x,\,y:A.\,f(x)\;\#_{B}\;f(y)\Rightarrow x\;\#_{A}\;y.$

यह भी देखें

• Equivalence class