आयाम अवमंदन चैनल

क्वांटम संचार के सिद्धांत में, एक आयाम अवमंदन चैनल एक क्वांटम चैनल है जो सहज उत्सर्जन जैसी भौतिक प्रक्रियाओं को मॉडल करता है। एक प्राकृतिक प्रक्रिया जिसके द्वारा यह चैनल घटित हो सकता है वह एक स्पिन श्रृंखला है जिसके माध्यम से एक समय स्वतंत्र हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा युग्मित कई स्पिन राज्यों का उपयोग कितना राज्य को एक स्थान से दूसरे स्थान पर भेजने के लिए किया जा सकता है। परिणामी क्वांटम चैनल एक आयाम अवमंदन चैनल के समान होता है, जिसके लिए क्वांटम क्षमता, शास्त्रीय क्षमता और क्वांटम चैनल की उलझाव सहायता प्राप्त शास्त्रीय क्षमता का मूल्यांकन किया जा सकता है।

क्यूबिट चैनल

हम यहां एकल क्वबिट के मामले में आयाम अवमंदन चैनल पर विचार करते हैं।

किसी भी क्वांटम चैनल को कई समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टाइनस्प्रिंग फैलाव प्रमेय के माध्यम से|स्टाइनस्प्रिंग फैलाव प्रमेय, एक चैनल ${\mathcal {D}}$ एक आइसोमेट्री के माध्यम से दर्शाया जा सकता है $V$ जैसा ${\mathcal {D}}(\rho )=\operatorname {tr} _{2}[V\rho V^{\dagger }]$, और हम इस मामले में ऐसा कहते हैं $V$ स्टाइनस्प्रिंग का प्रतिनिधित्व है ${\mathcal {D}}$. विशेष रूप से, सिंगल-क्विबिट आयाम अवमंदन चैनल में स्टाइनस्प्रिंग प्रतिनिधित्व होता है $V$ द्वारा दिए गए

$$V|0\rangle =|0,0\rangle ,\qquad V|1\rangle ={\sqrt {1-p}}|0,1\rangle +{\sqrt {p}}|1,0\rangle .$$

क्रॉस ऑपरेटरों के माध्यम से एक वैकल्पिक समकक्ष प्रतिनिधित्व दिया गया है। इसका मतलब चैनल की कार्रवाई को फॉर्म में दर्शाना है

$${\mathcal {N}}(\rho )=\sum _{j}K_{j}\rho K_{j}^{\dagger }$$

ऑपरेटरों के कुछ सेट के लिए $K_{j}$ ऐसा है कि $\sum _{j}K_{j}^{\dagger }K_{j}=I$. आयाम अवमंदन चैनल के लिए, ऐसे प्रतिनिधित्व का एक विकल्प पढ़ता है

$${\mathcal {N}}(\rho )=K_{0}\rho K_{0}^{\dagger }+K_{1}\rho K_{1}^{\dagger }$$

साथ

$$K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {1-p}}\end{pmatrix}},\qquad K_{1}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {p}}\\0&0\end{pmatrix}}\;.$$

अधिक स्पष्ट रूप से, हमारे पास इस प्रकार है

${\cal {N}}_{p}\left[{\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}\rho _{00}+p\rho _{11}&{\sqrt {1-p}}\rho _{01}\\{\sqrt {1-p}}\rho _{10}&(1-p)\rho _{11}\end{pmatrix}}\;.$

स्पिन चेन क्वांटम चैनल के लिए मॉडल

स्पिन श्रृंखला सहसंबंधों के आधार पर क्वांटम चैनल का मुख्य निर्माण एन युग्मित स्पिन का संग्रह है। क्वांटम चैनल के दोनों ओर, स्पिन के दो समूह हैं और हम इन्हें क्वांटम रजिस्टर, ए और बी के रूप में संदर्भित करते हैं। संदेश भेजने वाले को रजिस्टर ए पर कुछ जानकारी कोड करके एक संदेश भेजा जाता है, और फिर, देने के बाद यह कुछ समय तक प्रसारित होता है, रिसीवर बाद में इसे बी राज्य से पुनः प्राप्त करता है $\rho _{A}$ ए पर स्पिनों को पहले श्रृंखला के शेष भाग से अलग करके तैयार किया जाता है। तैयारी के बाद, $\rho _{A}$ श्रृंखला के शेष भाग पर राज्य के साथ बातचीत करने की अनुमति है, जिसमें प्रारंभ में राज्य है $\sigma _{0}$. समय बढ़ने के साथ स्पिन श्रृंखला की स्थिति का वर्णन किया जा सकता है $R(t)=U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)$. इस रिश्ते से हम श्रृंखला के अन्य सभी राज्यों का पता लगाकर रजिस्टर बी से संबंधित स्पिन की स्थिति प्राप्त कर सकते हैं।

$\rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]$

यह नीचे मैपिंग देता है, जो बताता है कि ए पर स्थिति समय के एक फ़ंक्शन के रूप में कैसे बदल जाती है क्योंकि यह क्वांटम चैनल पर बी में प्रसारित होती है। यू (टी) केवल कुछ एकात्मक मैट्रिक्स है जो एक फ़ंक्शन के रूप में सिस्टम के विकास का वर्णन करता है समय की।

$\rho _{A}\rightarrow {\mathcal {M}}(\rho _{A})\equiv \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]$ हालाँकि, क्वांटम चैनल के इस विवरण के साथ कुछ मुद्दे हैं। ऐसे चैनल का उपयोग करने से जुड़ी धारणाओं में से एक यह है कि हम उम्मीद करते हैं कि श्रृंखला की स्थिति में गड़बड़ी नहीं होगी। हालांकि श्रृंखला को परेशान किए बिना किसी राज्य को ए पर एन्कोड किया जाना संभव हो सकता है, लेकिन बी से राज्य की रीडिंग बाकी स्पिन श्रृंखला की स्थितियों को प्रभावित करेगी। इस प्रकार, रजिस्टर ए और बी के किसी भी बार-बार हेरफेर से क्वांटम चैनल पर एक अज्ञात प्रभाव पड़ेगा। इस तथ्य को देखते हुए, इस मैपिंग की क्षमताओं को हल करना आम तौर पर उपयोगी नहीं होगा, क्योंकि यह केवल तभी लागू होगा जब श्रृंखला की कई प्रतियां समानांतर में काम कर रही हों। इन क्षमताओं के लिए सार्थक मूल्यों की गणना करने के लिए, नीचे दिया गया सरल मॉडल क्षमताओं को सटीक रूप से हल करने की अनुमति देता है।

समाधान योग्य मॉडल

एक स्पिन श्रृंखला, जो लौह-चुंबकीय हाइजेनबर्ग इंटरेक्शन के माध्यम से स्पिन 1/2 के साथ कणों की एक श्रृंखला से बनी होती है, का उपयोग किया जाता है, और हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा वर्णित है: $H=-\sum _{\langle i,j\rangle }\hbar J_{ij}\left({\sigma }_{x}^{i}{\sigma }_{x}^{j}+{\sigma }_{y}^{i}{\sigma }_{y}^{j}+\gamma {\sigma }_{z}^{i}{\sigma }_{z}^{j}\right)-\sum _{i=1}^{N}\hbar B_{i}\sigma _{z}^{i}$ यह माना जाता है कि इनपुट रजिस्टर, ए और आउटपुट रजिस्टर बी श्रृंखला के साथ पहले k और अंतिम k स्पिन पर कब्जा कर लेते हैं, और श्रृंखला के साथ सभी स्पिन z दिशा में स्पिन डाउन स्थिति में होने के लिए तैयार हैं। फिर पार्टियाँ एक एकल qubit को एन्कोड/डीकोड करने के लिए अपने सभी स्पिन राज्यों का उपयोग करती हैं। इस पद्धति के लिए प्रेरणा यह है कि यदि सभी k स्पिनों का उपयोग करने की अनुमति दी गई, तो हमारे पास एक k-क्विअंश क्वांटम चैनल होगा, जो पूरी तरह से विश्लेषण करने के लिए बहुत जटिल होगा। स्पष्ट रूप से, एक अधिक प्रभावी क्वांटम चैनल सभी k स्पिनों का उपयोग करेगा, लेकिन इस अक्षम पद्धति का उपयोग करके, परिणामी मानचित्रों को विश्लेषणात्मक रूप से देखना संभव है।

K उपलब्ध बिट्स का उपयोग करके एकल बिट की एन्कोडिंग करने के लिए, एक-स्पिन अप वेक्टर को परिभाषित किया गया है $|j\rangle$, जिसमें जे-वें को छोड़कर सभी स्पिन स्पिन डाउन अवस्था में हैं, जो स्पिन अप अवस्था में है।

$|{j}\rangle \equiv \left|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \downarrow \right\rangle$ प्रेषक अपने k इनपुट स्पिन का सेट इस प्रकार तैयार करता है:

$|\Psi \rangle _{A}\equiv \alpha \left|\Downarrow \right\rangle _{A}+\beta |\phi _{1}\rangle _{A}$ कहाँ $\left|\Downarrow \right\rangle$ वह अवस्था है जहां सभी पद नीचे आ गए हैं, और $|\phi _{1}\rangle$ सभी संभावित एक-स्पिन अप अवस्थाओं का सुपरपोज़िशन है। इस इनपुट का उपयोग करके, एक ऐसी स्थिति खोजना संभव है जो किसी दिए गए समय टी पर पूरी श्रृंखला का वर्णन करती है। ऐसी स्थिति से, रिसीवर से संबंधित एन-के स्पिन का पता लगाना, जैसा कि हमने पहले मॉडल के साथ किया होगा, राज्य को बी पर छोड़ देता है:

$\rho _{B}(t)=(|\alpha |^{2}+(1-\eta )|\beta |^{2})\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|+\eta |\beta |^{2}|\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha \beta ^{*}\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha ^{*}\beta |\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|$ कहाँ $\eta$ क्वांटम चैनल की दक्षता को परिभाषित करने वाला एक स्थिरांक है। यदि हम उन राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनमें एक स्पिन होना है $|1\rangle$ और वे जहां सभी स्पिन नीचे हैं $|0\rangle$, यह आयाम अवमंदन चैनल को लागू करने के परिणाम के रूप में पहचानने योग्य हो जाता है ${\mathcal {D}}_{n}$, निम्नलिखित क्रॉस ऑपरेटरों द्वारा विशेषता:

$A_{0}=|0\rangle \langle 0|+{\sqrt {\eta }}|1\rangle \langle 1|$; $A_{1}={\sqrt {1-\eta }}|0\rangle \langle 1|$ जाहिर है, तथ्य यह है कि एक आयाम अवमंदन चैनल स्पिन श्रृंखला में क्वांटम राज्यों के संचरण का वर्णन करता है, इस तथ्य से उपजा है कि सिस्टम का हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ऊर्जा का संरक्षण करता है। जबकि ऊर्जा को फैलाया जा सकता है क्योंकि वन-स्पिन अप अवस्था को श्रृंखला के साथ स्थानांतरित किया जाता है, नीचे की अवस्था में स्पिन के लिए अचानक ऊर्जा प्राप्त करना और स्पिन अप अवस्था में बदलना संभव नहीं है।

आयाम अवमंदन चैनल की क्षमता

स्पिन-चेन को एक आयाम अवमंदन चैनल के रूप में वर्णित करके, चैनल से जुड़ी विभिन्न क्षमताओं की गणना करना संभव है। इस चैनल की एक उपयोगी संपत्ति, जिसका उपयोग इन क्षमताओं को खोजने के लिए किया जाता है, यह तथ्य है कि क्षमता वाले दो आयाम वाले अवमंदन चैनल $\eta$ और $\eta '$ संयोजित किया जा सकता है. इस तरह का संयोजन दक्षता का एक नया चैनल देता है $\eta$$\eta '$.

क्वांटम क्षमता

क्वांटम क्षमता की गणना करने के लिए, मानचित्र ${\mathcal {D}}_{\eta }$ इस प्रकार दर्शाया गया है:

${\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\equiv {\mbox{Tr}}_{C}[V\left(\rho \otimes |0\rangle _{C}\langle 0|\right)V^{\dagger }]\;.$ मानचित्र का यह प्रतिनिधित्व एक सहायक हिल्बर्ट स्थान जोड़कर प्राप्त किया जाता है ${\mathcal {H}}_{C}$ उसके वहां के लिए ${\mathcal {H}}_{A}$. और एक ऑपरेटर V का परिचय दिया गया जो A और C पर संचालित होता है। एक पूरक चैनल, ${\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }$ को भी परिभाषित किया गया है, जहां C पर ट्रेस करने के बजाय, हम A पर ट्रेस करते हैं। एक स्वैपिंग ऑपरेशन S जो A को C में बदल देता है, परिभाषित किया गया है। इस ऑपरेशन का उपयोग करते हुए, साथ ही आयाम अवमंदन चैनलों के संयोजन के नियम के लिए, यह दिखाया गया है $\eta \geqslant 0.5$:

${\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }(\rho )=S{\mathcal {D}}_{(1-\eta )/\eta }\left({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\right)\;.$ यह संबंध दर्शाता है कि क्वांटम चैनल अवक्रमणीय है, जो गारंटी देता है कि चैनल की सुसंगत जानकारी योगात्मक है। इसका तात्पर्य यह है कि क्वांटम क्षमता एकल चैनल उपयोग के लिए हासिल की गई है।

एक आयाम डंपिंग मैपिंग को सामान्य इनपुट स्थिति पर लागू किया जाता है, और इस मैपिंग से, आउटपुट की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी इस प्रकार पाई जाती है:

$S({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}\right)/2)\;,$ कहाँ $p\in [0,1]$ राज्य के साथ $|1\rangle$ और $|\gamma |\leqslant {\sqrt {(1-p)p}}$ एक सुसंगति शब्द है. अवस्था की शुद्धि को देखने से पता चलता है कि:

$S(({\mathcal {D}}_{\eta }\otimes 1_{anc})(\Phi ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,(1-\eta )\,p)^{2}+4\,(1-\eta )\,|\gamma |^{2}}}\right)/2)$ क्वांटम क्षमता को अधिकतम करने के लिए, हम उसे चुनते हैं $\gamma =0$ (एन्ट्रापी के अवतल कार्य के कारण, जो क्वांटम क्षमता के रूप में निम्नलिखित उत्पन्न करता है:

$Q\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;$ के लिए क्वांटम क्षमता ढूँढना $\eta <0.5$ यह सीधा है, क्योंकि नो-क्लोनिंग प्रमेय के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में क्वांटम क्षमता गायब हो जाती है। तथ्य यह है कि चैनलों को इस तरह से बनाया जा सकता है कि चैनल की क्वांटम क्षमता एक फ़ंक्शन के रूप में बढ़नी चाहिए $\eta$.

उलझाव सहायता प्राप्त शास्त्रीय क्षमता

उलझाव सहायता क्षमता की गणना करने के लिए हमें क्वांटम पारस्परिक जानकारी को अधिकतम करना होगा। इसे पिछले अनुभाग में प्राप्त सुसंगत जानकारी में संदेश की इनपुट एन्ट्रापी जोड़कर पाया जाता है। इसे फिर से अधिकतम किया गया है $\gamma =0$. इस प्रकार, उलझाव की सहायता से शास्त्रीय क्षमता पाई जाती है

$C_{E}\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(p)+H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;$

शास्त्रीय क्षमता

अब हम C1 की गणना करते हैं, जो शास्त्रीय जानकारी की अधिकतम मात्रा है जिसे समानांतर चैनल उपयोग पर गैर-उलझी एन्कोडिंग द्वारा प्रसारित किया जा सकता है। यह मात्रा शास्त्रीय क्षमता, C के लिए निचली सीमा के रूप में कार्य करती है। C1 को खोजने के लिए, शास्त्रीय क्षमता को n=1 के लिए अधिकतम किया जाता है। हम संदेशों के समूह पर विचार करते हैं, जिनमें से प्रत्येक की संभावना है $\xi _{k}$. होलेवो जानकारी यह पाई गई है:

$\chi \equiv H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}}{2}}\right)-\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\;$ इस अभिव्यक्ति में, $p_{k}$ और $\gamma _{k}$ जनसंख्या और एक सुसंगति शब्द हैं, जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है, और $p$ और $\gamma$ इनके औसत मूल्य हैं।

C1 को खोजने के लिए, पहले C1 के लिए एक ऊपरी सीमा पाई जाती है, और फिर एक सेट $p_{k},\gamma _{k},\xi _{k}$ ऐसे पाए जाते हैं जो इस बाध्यता को संतुष्ट करते हैं। पहले जैसा, $\gamma$ होलेवो जानकारी के पहले पद को अधिकतम करने के लिए 0 पर सेट किया गया है। यहां से हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि बाइनरी एन्ट्रापी $H_{2}(z)$ के सापेक्ष कम हो रहा है $|1/2+z|$ साथ ही यह तथ्य भी $H_{2}(1+{\sqrt {1-z^{2}}}/2)$ निम्नलिखित असमानता को खोजने के लिए z के संबंध में उत्तल कार्य है:

$\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\geqslant H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )(\sum _{k}\xi _{k}p_{k})^{2}}}}{2}}\right)$ पी के सभी विकल्पों को अधिकतम करके, C1 के लिए निम्नलिखित ऊपरी सीमा पाई जाती है:

$C_{1}\leqslant \max _{p\in [0,1]}{\Big \{}H_{2}\left(\eta \,p\right)-H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )\,p^{2}}}}{2}}\right){\Big \}}\;$ यह ऊपरी सीमा C1 के लिए मान पाई जाती है, और पैरामीटर जो इस सीमा का एहसास कराते हैं $\xi _{k}=1/d\,\!$,$p_{k}=p\,\!$, और $\gamma _{k}=e^{2\pi ik/d}{\sqrt {(1-p)p}}$.

क्षमताओं का संख्यात्मक विश्लेषण

विभिन्न क्षमताओं के भावों से उन पर संख्यात्मक विश्लेषण करना संभव है। एक के लिए $\eta$ 1 में से, तीन क्षमताओं को अधिकतम किया जाता है, जिससे क्वांटम और शास्त्रीय क्षमताएं दोनों 1 हो जाती हैं, और एंटैंगलमेंट सहायता प्राप्त शास्त्रीय क्षमता 2 हो जाती है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, क्वांटम क्षमता किसी के लिए 0 है $\eta$ 0.5 से कम, जबकि शास्त्रीय क्षमता और उलझाव सहायता प्राप्त शास्त्रीय क्षमता 0 तक पहुंचती है $\eta$ का 0. कब $\eta$ 0.5 से कम है, तो प्राप्तकर्ता पक्ष को भेजी जाने वाली क्वांटम जानकारी के लिए बहुत अधिक जानकारी पर्यावरण में खो जाती है।

क्वांटम संचार चैनल के रूप में स्पिन-चेन की प्रभावशीलता

चैनल की दक्षता के एक फ़ंक्शन के रूप में आयाम अवमंदन चैनल की क्षमताओं की गणना करने के बाद, एन्कोडिंग साइट और डिकोडिंग साइट के बीच की दूरी के एक फ़ंक्शन के रूप में ऐसे चैनल की प्रभावशीलता का विश्लेषण करना संभव है। बोस ने प्रदर्शित किया कि कार्यकुशलता एक कार्य के रूप में गिरती है $|r-s|^{-2/3}$, जहां r डिकोडिंग की स्थिति है और s एन्कोडिंग की स्थिति है। इस तथ्य के कारण कि क्वांटम क्षमता गायब हो जाती है $\eta$ 0.5 से कम, इसका मतलब है कि किसी भी क्वांटम सूचना को प्रसारित करने के लिए प्रेषक और प्राप्तकर्ता के बीच की दूरी बहुत कम होनी चाहिए। इसलिए, लंबी स्पिन श्रृंखलाएं क्वांटम जानकारी प्रसारित करने के लिए उपयुक्त नहीं हैं।

बाहरी संबंध

• Giovannetti, V.; Fazio, R. (2005). "Information capacity description of spin-chain correlations". Physical Review A. 71 (3): 032314. arXiv:quant-ph/0405110. Bibcode:2005PhRvA..71c2314G. doi:10.1103/PhysRevA.71.032314. S2CID 118903641.
• Bose, S. (2003). "Quantum Communication through an Unmodulated spin Chain". Physical Review Letters. 91 (20): 207901. arXiv:quant-ph/0212041. Bibcode:2003PhRvL..91t7901B. doi:10.1103/PhysRevLett.91.207901. PMID 14683398. S2CID 31739795.
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information"
• Wilde, Mark M. (2017), Quantum Information Theory, Cambridge University Press, arXiv:1106.1445, Bibcode:2011arXiv1106.1445W, doi:10.1017/9781316809976.001, S2CID 2515538