ऋणात्मक द्विपद वितरण

Different texts (and even different parts of this article) adopt slightly different definitions for the negative binomial distribution. They can be distinguished by whether the support starts at k = 0 or at k = r, whether p denotes the probability of a success or of a failure, and whether r represents success or failure, so identifying the specific parametrization used is crucial in any given text.
Probability mass function The orange line represents the mean, which is equal to 10 in each of these plots; the green line shows the standard deviation.
Notation	$\mathrm {NB} (r,\,p)$
Parameters	r > 0 — number of successes until the experiment is stopped (integer, but the definition can also be extended to reals) p ∈ [0,1] — success probability in each experiment (real)
Support	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — number of failures
PMF	$k\mapsto {k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^{k}p^{r},$ involving a binomial coefficient
CDF	$k\mapsto I_{p}(r,\,k+1),$ the regularized incomplete beta function
Mean	${\frac {r(1-p)}{p}}$
Mode	${\begin{cases}\left\lfloor {\frac {(r-1)(1-p)}{p}}\right\rfloor &{\text{if }}r>1\\0&{\text{if }}r\leq 1\end{cases}}$
Variance	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$
Skewness	${\frac {2-p}{\sqrt {(1-p)r}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)r}}$
MGF	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ for }}t<-\log(1-p)$
CF	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ with }}t\in \mathbb {R}$
PGF	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)z}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}$
Fisher information	${\frac {r}{p^{2}(1-p)}}$
Method of Moments	$r={\frac {E[X]^{2}}{V[X]-E[X]}}$ $p=1-{\frac {E[X]}{V[X]}}$

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, नकारात्मक द्विपद वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जो एक निर्दिष्ट (गैर-यादृच्छिक) सफलताओं की संख्या से पहले स्वतंत्र और समान रूप से वितरित बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम में विफलताओं की संख्या को मॉडल करता है। $r$) घटित होना। उदाहरण के लिए, हम पासे पर 6 को रोल करने को सफलता के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, और किसी अन्य संख्या को रोल करने को विफलता के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, और पूछ सकते हैं कि तीसरी सफलता देखने से पहले कितने असफल रोल होंगे ($r=3$). ऐसे मामले में, दिखाई देने वाली विफलताओं की संख्या का संभाव्यता वितरण एक नकारात्मक द्विपद वितरण होगा।

एक वैकल्पिक सूत्रीकरण कुल परीक्षणों की संख्या (विफलताओं की संख्या के बजाय) को मॉडल करना है। वास्तव में, सफलताओं की एक निर्दिष्ट (गैर-यादृच्छिक) संख्या (आर) के लिए, विफलताओं की संख्या (एन - आर) यादृच्छिक होती है क्योंकि कुल परीक्षण (एन) यादृच्छिक होते हैं। उदाहरण के लिए, हम एक निश्चित मशीन के खराब होने से पहले (आर द्वारा निर्दिष्ट) काम करने वाले दिनों (यादृच्छिक) की संख्या को मॉडल करने के लिए नकारात्मक द्विपद वितरण का उपयोग कर सकते हैं।

'पास्कल वितरण' (ब्लेस पास्कल के बाद) और 'पोल्या वितरण' (जॉर्ज पोलिया के लिए) नकारात्मक द्विपद वितरण के विशेष मामले हैं। इंजीनियरों, जलवायु विज्ञानियों और अन्य लोगों के बीच एक परंपरा पूर्णांक-मूल्य वाले स्टॉपिंग-टाइम पैरामीटर के मामले के लिए नकारात्मक द्विपद या पास्कल का उपयोग करना है ($r$) और वास्तविक-मूल्य वाले मामले के लिए पोलिया का उपयोग करें।

संबंधित असतत घटनाओं की घटनाओं के लिए, जैसे कि बवंडर का प्रकोप, पोलिया वितरण का उपयोग पॉइसन वितरण की तुलना में अधिक सटीक मॉडल देने के लिए किया जा सकता है, जिससे पॉइसन के विपरीत, माध्य और विचरण को अलग-अलग होने की अनुमति मिलती है। ऋणात्मक द्विपद वितरण में भिन्नता होती है $\mu /p$, सीमा में वितरण पॉइसन के समान हो गया है $p\to 1$ किसी दिए गए माध्य के लिए $\mu$ (अर्थात् जब असफलताएँ दुर्लभ होती जा रही हों)। यह वितरण को पॉइसन वितरण के लिए एक उपयोगी अति-फैलाव विकल्प बना सकता है, उदाहरण के लिए पॉइसन प्रतिगमन के एक मजबूत प्रतिगमन संशोधन के लिए। महामारी विज्ञान में, इसका उपयोग संक्रामक रोगों के लिए रोग संचरण को मॉडल करने के लिए किया गया है, जहां आगे के संक्रमणों की संभावित संख्या अलग-अलग व्यक्तियों में और सेटिंग से सेटिंग में काफी भिन्न हो सकती है। अधिक आम तौर पर, यह उपयुक्त हो सकता है जहां घटनाओं में सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध घटनाएं होती हैं, जिससे सकारात्मक सहप्रसरण शब्द के कारण घटनाएं स्वतंत्र होती हैं।

ऋणात्मक द्विपद शब्द संभवतः इस तथ्य के कारण है कि वितरण के संभाव्यता द्रव्यमान फलन के सूत्र में प्रकट होने वाला एक निश्चित द्विपद गुणांक ऋणात्मक संख्याओं के साथ अधिक सरलता से लिखा जा सकता है।

परिभाषाएँ

स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम की कल्पना करें: प्रत्येक परीक्षण के दो संभावित परिणाम होते हैं जिन्हें सफलता और विफलता कहा जाता है। प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना है $p$ और असफलता का है $1-p$. हम इस क्रम को एक पूर्वनिर्धारित संख्या तक देखते हैं $r$ सफलताओं का घटित होता है. फिर देखी गई विफलताओं की यादृच्छिक संख्या, $X$, ऋणात्मक द्विपद (या पास्कल) वितरण का अनुसरण करता है:

$X\sim \operatorname {NB} (r,p)$

प्रायिकता द्रव्यमान फलन

ऋणात्मक द्विपद बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन है

$f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}$

जहां r सफलताओं की संख्या है, k विफलताओं की संख्या है, और p प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना है।

यहां, कोष्ठकों में दी गई मात्रा द्विपद गुणांक है, और इसके बराबर है

${\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,(k)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}.$

K + r के बजाय k + r − 1 परीक्षणों से k विफलताओं को चुना जाता है क्योंकि k + r परीक्षणों में से अंतिम परिभाषा के अनुसार सफलता है।

इस मात्रा को ऋणात्मक द्विपद नाम की व्याख्या करते हुए वैकल्पिक रूप से निम्नलिखित तरीके से लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[10pt]={}&(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)} ^{k{\text{ factors}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}$

ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति और द्विपद श्रृंखला द्वारा, प्रत्येक के लिए 0 ≤ p < 1 और $q=1-p$,

$p^{-r}=(1-q)^{-r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}(-q)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}q^{k}$

इसलिए संभाव्यता द्रव्यमान फलन की शर्तों का योग वास्तव में नीचे दिए अनुसार एक होता है।

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}=p^{-r}p^{r}=1$

संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन की उपरोक्त परिभाषा को समझने के लिए, ध्यान दें कि r सफलताओं और k विफलताओं के प्रत्येक विशिष्ट अनुक्रम की संभावना है p^r(1 − p)^k, क्योंकि k+r परीक्षणों के परिणामों को स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) माना जाता है। चूँकि rवीं सफलता हमेशा सबसे अंत में आती है, इसलिए शेष k + r − 1 परीक्षणों में से विफलता वाले k परीक्षणों को चुनना बाकी रहता है। उपरोक्त द्विपद गुणांक, इसकी संयुक्त व्याख्या के कारण, लंबाई k + r − 1 के इन सभी अनुक्रमों की सटीक संख्या देता है।

संचयी वितरण फलन

संचयी वितरण फ़ंक्शन को नियमित अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:: $F(k;r,p)\equiv \Pr(X\leq k)=I_{p}(r,k+1).$ (यह सूत्र आलेख की तालिका के समान पैरामीटरकरण का उपयोग कर रहा है, सफलताओं की संख्या के साथ, और $p=r/(r+\mu )$ साथ $\mu$ मतलब।)

इसे द्विपद वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है:

$F(k;r,p)=F_{\text{binomial}}(k;n=k+r,1-p).$

वैकल्पिक सूत्रीकरण

कुछ स्रोत नकारात्मक द्विपद वितरण को यहां प्राथमिक वितरण से थोड़ा अलग ढंग से परिभाषित कर सकते हैं। सबसे आम विविधताएँ वे हैं जहाँ यादृच्छिक चर X विभिन्न चीज़ों की गिनती कर रहा है। इन विविधताओं को यहां तालिका में देखा जा सकता है:

	X is counting...	Probability mass function	Formula	Alternate formula (using equivalent binomial)	Alternate formula (simplified using: ${\textstyle n=k+r}$)	Support
1	k failures, given r successes	${\textstyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	${\textstyle {\binom {k+r-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$	${\textstyle {\binom {k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}}$	${\textstyle {\binom {n-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$	${\text{for }}k=0,1,2,\ldots$
2	n trials, given r successes	${\textstyle f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=}$	${\textstyle {\binom {n-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$	${\textstyle {\binom {n-1}{n-r}}p^{r}(1-p)^{n-r}}$		${\text{for }}n=r,r+1,r+2,\dotsc$
3	n trials, given r failures	${\textstyle f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=}$	${\textstyle {\binom {n-1}{r-1}}p^{n-r}(1-p)^{r}}$	${\textstyle {\binom {n-1}{n-r}}p^{n-r}(1-p)^{r}}$	${\textstyle {\binom {n-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$
4	k successes, given r failures	${\textstyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	${\textstyle {\binom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$	${\textstyle {\binom {k+r-1}{r-1}}p^{k}(1-p)^{r}}$		${\text{for }}k=0,1,2,\ldots$
-	k successes, given n trials	${\textstyle f(k;n,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	This is the binomial distribution not the negative binomial: ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$			${\text{for }}k=0,1,2,\dotsc ,n$

नकारात्मक द्विपद वितरण की चार परिभाषाओं में से प्रत्येक को थोड़े अलग लेकिन समकक्ष तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। पहला वैकल्पिक सूत्रीकरण बस द्विपद गुणांक का एक समतुल्य रूप है, अर्थात: ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{a-b}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$. दूसरा वैकल्पिक सूत्रीकरण कुछ हद तक यह पहचान कर अभिव्यक्ति को सरल बनाता है कि परीक्षणों की कुल संख्या केवल सफलताओं और विफलताओं की संख्या है, अर्थात: ${\textstyle n=r+k}$. ये दूसरे सूत्र समझने में अधिक सहज हो सकते हैं, हालाँकि वे शायद कम व्यावहारिक हैं क्योंकि उनमें अधिक शर्तें हैं।

• वह परिभाषा जहां यह यादृच्छिक चर के मान में r जोड़ता है, जिससे उसका समर्थन और माध्य बदल जाता है।
• परिभाषित जहां क्या गिना जा रहा है और क्या दिया जा रहा है, इस पर विचार करते समय स्विच किया जाता है। हालाँकि, ध्यान दें कि p अभी भी सफलता की संभावना को दर्शाता है।
• नकारात्मक द्विपद वितरण की परिभाषा को उस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जहां पैरामीटर r एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मान ले सकता है। हालाँकि विफलताओं की एक गैर-पूर्णांक संख्या की कल्पना करना असंभव है, फिर भी हम इसकी संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के माध्यम से वितरण को औपचारिक रूप से परिभाषित कर सकते हैं। परिभाषा को वास्तविक-मूल्यवान (सकारात्मक) r तक विस्तारित करने की समस्या, गामा फ़ंक्शन के आधार पर, द्विपद गुणांक को उसके वास्तविक-मूल्यवान समकक्ष तक विस्तारित करने तक सीमित हो जाती है:

${\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}$

इस अभिव्यक्ति को मूल परिभाषा में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम कहते हैं कि X का एक ऋणात्मक द्विपद (या 'पोल्या') वितरण है यदि इसमें संभाव्यता द्रव्यमान फलन है:

$f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc$

यहाँ r एक वास्तविक, धनात्मक संख्या है।

नकारात्मक द्विपद प्रतिगमन में, वितरण को उसके माध्य के संदर्भ में निर्दिष्ट किया गया है, ${\textstyle m={\frac {r(1-p)}{p}}}$, जो तब रैखिक प्रतिगमन या अन्य सामान्यीकृत रैखिक मॉडल के रूप में व्याख्यात्मक चर से संबंधित है। माध्य m के व्यंजक से कोई भी प्राप्त कर सकता है ${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$ और ${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$. फिर, इन अभिव्यक्तियों को #एक्सटेंशन में वास्तविक-मूल्यवान आर|प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन के लिए प्रतिस्थापित करने पर, जब आर वास्तविक-मूल्यवान होता है, तो एम के संदर्भ में संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन का यह पैरामीट्रिजेशन प्राप्त होता है:

$\Pr(X=k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\left({\frac {r}{r+m}}\right)^{r}\left({\frac {m}{r+m}}\right)^{k}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc$

फिर विचरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है ${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$. कुछ लेखक सेट करना पसंद करते हैं ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{r}}}$, और विचरण को इस प्रकार व्यक्त करें ${\textstyle m+\alpha m^{2}}$. इस संदर्भ में, और लेखक के आधार पर, या तो पैरामीटर आर या इसके पारस्परिक α को फैलाव पैरामीटर, आकार पैरामीटर या क्लस्टरिंग गुणांक के रूप में जाना जाता है, या विविधताया एकत्रीकरण पैरामीटर.एकत्रीकरण शब्द का प्रयोग विशेष रूप से पारिस्थितिकी में व्यक्तिगत जीवों की संख्या का वर्णन करते समय किया जाता है। एकत्रीकरण पैरामीटर आर का शून्य की ओर कमी जीवों के बढ़ते एकत्रीकरण से मेल खाती है; अनंत की ओर आर की वृद्धि एकत्रीकरण की अनुपस्थिति से मेल खाती है, जैसा कि पॉइसन प्रतिगमन द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

वैकल्पिक पैरामीटरीकरण

कभी-कभी वितरण को इसके माध्य μ और विचरण σ के संदर्भ में मानकीकृत किया जाता है²:

${\begin{aligned}&p={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},\\[6pt]&r={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }},\\[3pt]&\Pr(X=k)={k+{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }}-1 \choose k}\left(1-{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{k}\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{\mu ^{2}/(\sigma ^{2}-\mu )}\\&\operatorname {E} (X)=\mu \\&\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}.\end{aligned}}$

एक अन्य लोकप्रिय मानकीकरण r और विफलता बाधाओं β का उपयोग करता है:

${\begin{aligned}&p={\frac {1}{1+\beta }}\\&\Pr(X=k)={k+r-1 \choose k}\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)^{r}\\&\operatorname {E} (X)=r\beta \\&\operatorname {Var} (X)=r\beta (1+\beta ).\end{aligned}}$

उदाहरण

अस्पताल में रहने की अवधि

अस्पताल में रहने की अवधि वास्तविक दुनिया के डेटा का एक उदाहरण है जिसे नकारात्मक द्विपद प्रतिगमन के माध्यम से नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ अच्छी तरह से तैयार किया जा सकता है।

कैंडी बेचना

पैट कॉलिस को छठी कक्षा की फील्ड यात्रा के लिए पैसे जुटाने के लिए कैंडी बार बेचने की आवश्यकता है। पैट को (कुछ हद तक कठोरता से) तब तक घर नहीं लौटना चाहिए जब तक कि पांच कैंडी बार नहीं बिक जाते। तो बच्चा घर-घर जाकर कैंडी बार बेचता है। प्रत्येक घर में, एक कैंडी बार बेचने की संभावना 0.6 है और कुछ भी नहीं बेचने की संभावना 0.4 है।

एनवें घर पर आखिरी कैंडी बार बेचने की संभावना क्या है?

कैंडी को पर्याप्त बार सफलतापूर्वक बेचना ही हमारे रुकने के मानदंड को परिभाषित करता है (इसे बेचने में असफल होने के विपरीत), इसलिए इस मामले में k विफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है और r सफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। याद रखें कि NegBin(r, p) वितरण अंतिम परीक्षण में सफलता के साथ k+r Bernoulli(p) परीक्षणों में k विफलताओं और r सफलताओं की संभावना का वर्णन करता है। पाँच कैंडी बार बेचने का अर्थ है पाँच सफलताएँ प्राप्त करना। इसलिए इसमें लगने वाले परीक्षणों (यानी घरों) की संख्या k + 5 = n है। जिस यादृच्छिक चर में हमारी रुचि है, वह घरों की संख्या है, इसलिए हम k = n − 5 को NegBin(5, 0.4) द्रव्यमान फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और घरों के वितरण के निम्नलिखित द्रव्यमान फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं (n ≥ 5 के लिए):

$f(n)={(n-5)+5-1 \choose n-5}\;(1-0.4)^{5}\;0.4^{n-5}={n-1 \choose n-5}\;3^{5}\;{\frac {2^{n-5}}{5^{n}}}.$

क्या संभावना है कि पैट दसवें घर पर समाप्त होगा?

$f(10)=0.1003290624.\,$

इसकी क्या प्रायिकता है कि पैट आठवें घर पर या उससे पहले समाप्त कर लेगा?

आठवें घर पर या उससे पहले समाप्त करने के लिए, पैट को पांचवें, छठे, सातवें या आठवें घर पर समाप्त करना होगा। उन संभावनाओं का योग करें:

$f(5)=0.07776\,$

$f(6)=0.15552\,$

$f(7)=0.18662\,$

$f(8)=0.17418\,$

$\sum _{j=5}^{8}f(j)=0.59408.$

इसकी क्या संभावना है कि पैट पड़ोस में मौजूद सभी 30 घरों को ख़त्म कर देगा?

इसे इस संभावना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि पैट पूरक घटना पांचवें से तीसवें घर पर समाप्त होगी:

$1-\sum _{j=5}^{30}f(j)=1-I_{0.4}(5,30-5+1)\approx 1-0.99999342=0.00000658.$

इस बात की उच्च संभावना के कारण कि पैट प्रत्येक घर (60 प्रतिशत) को बेच देगा, उसके द्वारा अपनी खोज पूरी न कर पाने की संभावना बहुत कम है।

गुण

उम्मीद

सफलताओं को देखने के लिए आवश्यक परीक्षणों की अपेक्षित कुल संख्या है ${\frac {r}{p}}$. इस प्रकार, विफलताओं की अपेक्षित संख्या यह मान होगी, सफलताओं को घटाकर:

$E[\operatorname {NB} (r,p)]={\frac {r}{p}}-r={\frac {r(1-p)}{p}}$

सफलताओं की आशा

मापदंडों के साथ नकारात्मक द्विपद वितरण में विफलताओं की अपेक्षित कुल संख्या (r, p) r(1 -p)/p है। इसे देखने के लिए, कल्पना करें कि ऋणात्मक द्विपद का अनुकरण करने वाला एक प्रयोग कई बार किया गया है। यानी परीक्षणों का एक सेट तब तक किया जाता है r सफलताएँ प्राप्त होती हैं, फिर परीक्षणों का एक और सेट, और फिर दूसरा आदि। प्रत्येक प्रयोग में किए गए परीक्षणों की संख्या लिखें: a, b, c, ... और सेट करें a + b + c + ... = N. अब हम इसके बारे में उम्मीद करेंगे Np कुल मिलाकर सफलताएँ। कहें कि प्रयोग किया गया था n बार. फिर हैं nr कुल मिलाकर सफलताएँ। तो हम उम्मीद करेंगे nr = Np, इसलिए N/n = r/p. देखना है कि N/n प्रति प्रयोग केवल परीक्षणों की औसत संख्या है। अपेक्षा से हमारा तात्पर्य यही है। प्रति प्रयोग विफलताओं की औसत संख्या है N/n − r = r/p − r = r(1 − p)/p. यह इस पृष्ठ के दाईं ओर बॉक्स में दिए गए माध्य से सहमत है।

प्रतीक्षा समय के योग के रूप में नकारात्मक द्विपद वितरण का प्रतिनिधित्व करके एक कठोर व्युत्पत्ति की जा सकती है। होने देना $X_{r}\sim \operatorname {NB} (r,p)$ सम्मेलन के साथ $X$ पहले देखी गई विफलताओं की संख्या को दर्शाता है $r$ सफलता की संभावना के साथ सफलताएँ $p$. और जाने $Y_{i}\sim Geom(p)$ कहाँ $Y_{i}$ सफलता देखने से पहले विफलताओं की संख्या को दर्शाता है। हम सोच सकते हैं $Y_{i}$ के बीच प्रतीक्षा समय (विफलताओं की संख्या) के रूप में $i$वें और $(i-1)$वें सफलता. इस प्रकार

$X_{r}=Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{r}.$

मतलब है

$E[X_{r}]=E[Y_{1}]+E[Y_{2}]+\cdots +E[Y_{r}]={\frac {r(1-p)}{p}},$

जो तथ्य से अनुसरण करता है $E[Y_{i}]=(1-p)/p$.

भिन्नता

आर-वें सफलता से पहले विफलताओं की संख्या की गणना करते समय, विचरण r(1 − p)/p होता है². आर-वें विफलता से पहले सफलताओं की संख्या की गणना करते समय, जैसा कि ऊपर वैकल्पिक फॉर्मूलेशन (3) में है, विचरण आरपी/(1 − पी) है².

द्विपद प्रमेय से संबंध

मान लीजिए Y पैरामीटर n और p के साथ द्विपद वितरण वाला एक यादृच्छिक चर है। फिर, p+q=1 को p+q≥0 के साथ मान लें

$1=1^{n}=(p+q)^{n}.$

न्यूटन के द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, इसे समान रूप से लिखा जा सकता है:

$(p+q)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}p^{k}q^{n-k},$

जिसमें योग की ऊपरी सीमा अनंत है। इस मामले में, द्विपद गुणांक

${n \choose k}={n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1) \over k!}.$

तब परिभाषित किया जाता है जब n केवल एक धनात्मक पूर्णांक के बजाय एक वास्तविक संख्या होती है। लेकिन द्विपद वितरण के हमारे मामले में यह शून्य है जब k > n। उदाहरण के लिए, हम तब कह सकते हैं

$(p+q)^{8.3}=\sum _{k=0}^{\infty }{8.3 \choose k}p^{k}q^{8.3-k}.$

अब मान लीजिए r > 0 और हम एक ऋणात्मक घातांक का उपयोग करते हैं:

$1=p^{r}\cdot p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{-r \choose k}(-q)^{k}.$

तब सभी पद सकारात्मक हैं, और पद

$p^{r}{-r \choose k}(-q)^{k}$

केवल संभावना है कि rवीं सफलता से पहले विफलताओं की संख्या k के बराबर है, बशर्ते कि r एक पूर्णांक हो। (यदि r एक नकारात्मक गैर-पूर्णांक है, ताकि घातांक एक सकारात्मक गैर-पूर्णांक हो, तो उपरोक्त योग में कुछ पद नकारात्मक हैं, इसलिए हमारे पास सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के सेट पर संभाव्यता वितरण नहीं है।)

अब हम r के गैर-पूर्णांक मानों की भी अनुमति देते हैं। तब हमारे पास एक उचित नकारात्मक द्विपद वितरण होता है, जो पास्कल वितरण का एक सामान्यीकरण है, जो पास्कल वितरण के साथ मेल खाता है जब आर एक सकारात्मक पूर्णांक होता है।

ऊपर से याद करें

स्वतंत्र नकारात्मक-द्विपद रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग आर₁ और आर₂ पैरामीटर p के लिए समान मान के साथ नकारात्मक-द्विपद रूप से समान p के साथ लेकिन r-मान r के साथ वितरित किया जाता है₁+ आर₂.

यह संपत्ति तब बनी रहती है जब परिभाषा को इस प्रकार सामान्यीकृत किया जाता है, और यह देखने का एक त्वरित तरीका प्रदान करता है कि नकारात्मक द्विपद वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

पुनरावृत्ति संबंध

निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध कायम हैं:

संभाव्यता द्रव्यमान फलन के लिए

${\begin{cases}(k+1)\Pr(X=k+1)-p\Pr(X=k)(k+r)=0,\\[5pt]\Pr(X=0)=(1-p)^{r}.\end{cases}}$

क्षणों के लिए $m_{k}=\mathbb {E} (X^{k}),$

$m_{k+1}=rPm_{k}+(P^{2}+P){dm_{k} \over dP},\quad P:=(1-p)/p,\quad m_{0}=1.$

संचयकों के लिए

$\kappa _{k+1}=(Q-1)Q{d\kappa _{k} \over dQ},\quad Q:=1/p,\quad \kappa _{1}=r(Q-1).$

संबंधित वितरण

• ज्यामितीय वितरण ({ 0 , 1 , 2 , 3 ... } पर) नकारात्मक द्विपद वितरण का एक विशेष मामला है, जिसमें

$\operatorname {Geom} (p)=\operatorname {NB} (1,\,p).\,$

• ऋणात्मक द्विपद वितरण असतत चरण-प्रकार वितरण का एक विशेष मामला है।
• ऋणात्मक द्विपद वितरण असतत यौगिक पॉइसन वितरण का एक विशेष मामला है।

पॉइसन वितरण

नकारात्मक द्विपद यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर विचार करें जहां स्टॉपिंग पैरामीटर आर अनंत तक जाता है, जबकि प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना पी एक तक जाती है, इस तरह से वितरण का मतलब बनाए रखने के लिए (यानी विफलताओं की अपेक्षित संख्या) स्थिर। इस माध्य को λ के रूप में दर्शाते हुए, पैरामीटर p, p = r/(r + λ) होगा

${\begin{aligned}{\text{Mean:}}\quad &\lambda ={\frac {(1-p)r}{p}}\quad \Rightarrow \quad p={\frac {r}{r+\lambda }},\\{\text{Variance:}}\quad &\lambda \left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)>\lambda ,\quad {\text{thus always overdispersed}}.\end{aligned}}$

इस पैरामीट्रिजेशन के तहत प्रायिकता द्रव्यमान फलन होगा

$f(k;r,p)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\cdot \Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot {\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)\;(r+\lambda )^{k}}}\cdot {\frac {1}{\left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)^{r}}}$

अब यदि हम सीमा को r → ∞ मानते हैं, तो दूसरा कारक एक में परिवर्तित हो जाएगा, और तीसरा घातांक फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाएगा:

$\lim _{r\to \infty }f(k;r,p)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{e^{\lambda }}},$

जो पॉइसन वितरण का द्रव्यमान फलन है| अपेक्षित मूल्य λ के साथ पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर।

दूसरे शब्दों में, पॉइसन वितरण और आर के वितरण में वैकल्पिक रूप से पैरामीटरयुक्त नकारात्मक द्विपद वितरण अभिसरण पॉइसन से विचलन को नियंत्रित करता है। यह नकारात्मक द्विपद वितरण को पॉइसन के एक मजबूत विकल्प के रूप में उपयुक्त बनाता है, जो बड़े आर के लिए पॉइसन तक पहुंचता है, लेकिन छोटे आर के लिए पॉइसन की तुलना में बड़ा विचरण होता है।

$\operatorname {Poisson} (\lambda )=\lim _{r\to \infty }\operatorname {NB} \left(r,{\frac {r}{r+\lambda }}\right).$

गामा-पॉइसन मिश्रण

नकारात्मक द्विपद वितरण पॉइसन वितरण (यानी एक मिश्रित संभाव्यता वितरण) के निरंतर मिश्रण के रूप में भी उत्पन्न होता है, जहां पॉइसन दर का मिश्रण वितरण एक गामा वितरण होता है। अर्थात्, हम ऋणात्मक द्विपद को a के रूप में देख सकते हैं Poisson(λ) वितरण, जहां λ स्वयं एक यादृच्छिक चर है, आकार r और पैमाने के साथ गामा वितरण के रूप में वितरित किया जाता है θ = (1 − p)/p या तदनुसार दर β = p/(1 − p).

इस कथन के पीछे अंतर्ज्ञान को प्रदर्शित करने के लिए, दो स्वतंत्र पॉइसन प्रक्रियाओं, सफलता और विफलता पर विचार करें, तीव्रता पी और 1 − पी के साथ। साथ में, सफलता और विफलता प्रक्रियाएं तीव्रता 1 की एकल पॉइसन प्रक्रिया के बराबर होती हैं, जहां प्रक्रिया की एक घटना सफल होती है यदि संबंधित स्वतंत्र सिक्का टॉस संभाव्यता पी के साथ शीर्ष पर आता है; अन्यथा, यह विफलता है. यदि r एक गिनती संख्या है, तो सिक्का उछालने से पता चलता है कि rth विफलता से पहले सफलताओं की गिनती पैरामीटर r और p के साथ एक नकारात्मक द्विपद वितरण का अनुसरण करती है। हालाँकि, गिनती, विफलता पॉइसन प्रक्रिया में यादृच्छिक समय टी पर आरटी घटना की सफलता पॉइसन प्रक्रिया की गिनती भी है। सफलता गणना माध्य पीटी के साथ एक पॉइसन वितरण का अनुसरण करती है, जहां टी तीव्रता 1 - पी की पॉइसन प्रक्रिया में आर घटनाओं के लिए प्रतीक्षा समय है, यानी, टी को आकार पैरामीटर आर और तीव्रता 1 - पी के साथ गामा-वितरित किया जाता है। इस प्रकार, नकारात्मक द्विपद वितरण माध्य पीटी के साथ पॉइसन वितरण के बराबर है, जहां यादृच्छिक चर टी को आकार पैरामीटर आर और तीव्रता के साथ गामा-वितरित किया जाता है (1 − p). पूर्ववर्ती पैराग्राफ निम्नानुसार है, क्योंकि λ = पीटी आकार पैरामीटर आर और तीव्रता के साथ गामा-वितरित है (1 − p)/p.

निम्नलिखित औपचारिक व्युत्पत्ति (जो r के गिनती संख्या होने पर निर्भर नहीं करती) अंतर्ज्ञान की पुष्टि करती है।

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Poisson} (\lambda )}(k)\times f_{\operatorname {Gamma} \left(r,\,{\frac {p}{1-p}}\right)}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\times {\frac {1}{\Gamma (r)}}\left({\frac {p}{1-p}}\lambda \right)^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\left({\frac {p}{1-p}}\,\mathrm {d} \lambda \right)\\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{r+k-1}e^{-\lambda {\frac {p+1-p}{1-p}}}\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\Gamma (r+k)(1-p)^{k+r}\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Gamma} \left(k+r,{\frac {1}{1-p}}\right)}(\lambda )\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&{\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;(1-p)^{k}\,p^{r}\\[8pt]={}&f(k;r,p).\end{aligned}}$

इस कारण से, ऋणात्मक द्विपद वितरण को गामा-पॉइसन (मिश्रण) वितरण के रूप में भी जाना जाता है। नकारात्मक द्विपद वितरण मूल रूप से गामा-पॉइसन वितरण के सीमित मामले के रूप में प्राप्त किया गया था।

ज्यामितीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग का वितरण

यदि वाई_r पैरामीटर r और p के साथ नकारात्मक द्विपद वितरण के बाद एक यादृच्छिक चर है, और {0,1,2,...}, फिर Y का समर्थन करता है_r पैरामीटर पी के साथ ज्यामितीय वितरण ({0,1,2,...} पर) के बाद आर सांख्यिकीय स्वतंत्रता चर का योग है। केंद्रीय सीमा प्रमेय के परिणामस्वरूप, Y_r (उचित रूप से स्केल किया गया और स्थानांतरित किया गया) इसलिए पर्याप्त रूप से बड़े आर के लिए लगभग सामान्य वितरण है।

इसके अलावा, यदि बी_s+r तब पैरामीटर s+r और p के साथ द्विपद वितरण के बाद एक यादृच्छिक चर है

${\begin{aligned}\Pr(Y_{r}\leq s)&{}=1-I_{p}(s+1,r)\\[5pt]&{}=1-I_{p}((s+r)-(r-1),(r-1)+1)\\[5pt]&{}=1-\Pr(B_{s+r}\leq r-1)\\[5pt]&{}=\Pr(B_{s+r}\geq r)\\[5pt]&{}=\Pr({\text{after }}s+r{\text{ trials, there are at least }}r{\text{ successes}}).\end{aligned}}$

इस अर्थ में, ऋणात्मक द्विपद वितरण, द्विपद वितरण का व्युत्क्रम है।

स्वतंत्र नकारात्मक-द्विपद रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग आर₁ और आर₂ पैरामीटर p के लिए समान मान के साथ नकारात्मक-द्विपद रूप से समान p के साथ लेकिन r-मान r के साथ वितरित किया जाता है₁+ आर₂.

नकारात्मक द्विपद वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) है, अर्थात, यदि Y का ऋणात्मक द्विपद वितरण है, तो किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर Y मौजूद हैं₁, ..., और_n जिसके योग का वितरण वही है जो Y का है।

यौगिक पॉइसन वितरण के रूप में प्रतिनिधित्व

ऋणात्मक द्विपद वितरण NB(r,p) को एक मिश्रित पॉइसन वितरण के रूप में दर्शाया जा सकता है: Let ${\textstyle (Y_{n})_{n\,\in \,\mathbb {N} }}$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुक्रम को निरूपित करें, प्रत्येक में लघुगणकीय वितरण लॉग (पी) होता है, संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ

$f(k;r,p)={\frac {-p^{k}}{k\ln(1-p)}},\qquad k\in {\mathbb {N} }.$

मान लीजिए कि N एक यादृच्छिक चर है, अनुक्रम की स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत), और मान लीजिए कि N में माध्य के साथ एक पॉइसन वितरण है λ = −r ln(1 − p). फिर यादृच्छिक योग

$X=\sum _{n=1}^{N}Y_{n}$

एनबी(आर,पी)-वितरित है। इसे सिद्ध करने के लिए, हम संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फलन G की गणना करते हैं_Xएक्स का, जो संभाव्यता उत्पन्न करने वाले कार्यों जी की संरचना है_Nऔर जी_{Y1</उप>. का उपयोग करते हुए}

$G_{N}(z)=\exp(\lambda (z-1)),\qquad z\in \mathbb {R} ,$

और

$G_{Y_{1}}(z)={\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},$

हमने प्राप्त

${\begin{aligned}G_{X}(z)&=G_{N}(G_{Y_{1}}(z))\\[4pt]&=\exp {\biggl (}\lambda {\biggl (}{\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}-1{\biggr )}{\biggr )}\\[4pt]&=\exp {\bigl (}-r(\ln(1-pz)-\ln(1-p)){\bigr )}\\[4pt]&={\biggl (}{\frac {1-p}{1-pz}}{\biggr )}^{r},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},\end{aligned}}$

जो एनबी(आर,पी) वितरण का संभाव्यता उत्पन्न करने वाला कार्य है।

निम्नलिखित तालिका ड्रॉ के क्रम में सफलताओं की संख्या से संबंधित चार वितरणों का वर्णन करती है:

	With replacements	No replacements
Given number of draws	binomial distribution	hypergeometric distribution
Given number of failures	negative binomial distribution	negative hypergeometric distribution

(ए,बी,0) वितरण का वर्ग

नकारात्मक द्विपद, पोइसन और द्विपद वितरण के साथ, वितरण के (ए,बी,0) वर्ग का सदस्य है|(ए,बी,0) वितरण के वर्ग का। ये तीनों वितरण पैंजर वितरण के विशेष मामले हैं। वे एक प्राकृतिक घातीय परिवार के सदस्य भी हैं।

सांख्यिकीय अनुमान

पैरामीटर अनुमान

====पी==== के लिए एमवीयूई

मान लीजिए कि पी अज्ञात है और एक प्रयोग आयोजित किया जाता है जहां समय से पहले यह निर्णय लिया जाता है कि नमूनाकरण तब तक जारी रहेगा जब तक कि सफलता नहीं मिल जाती। प्रयोग के लिए पर्याप्त आँकड़ा k, विफलताओं की संख्या है।

पी का अनुमान लगाने में, न्यूनतम विचरण निष्पक्ष अनुमानक है

${\widehat {p}}={\frac {r-1}{r+k-1}}.$

अधिकतम संभावना अनुमान

जब r ज्ञात होता है, तो p की अधिकतम संभावना अनुमान होता है

${\widetilde {p}}={\frac {r}{r+k}},$

लेकिन यह एक अनुमानकर्ता का पूर्वाग्रह है। हालाँकि, इसका व्युत्क्रम (r + k)/r, 1/p का एक निष्पक्ष अनुमान है। जब r अज्ञात है, तो p और r के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक केवल उन नमूनों के लिए मौजूद होता है जिनके लिए नमूना विचरण नमूना माध्य से बड़ा होता है। एन स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर अवलोकनों के लिए संभावना फ़ंक्शन (के₁, ..., क_N) है

$L(r,p)=\prod _{i=1}^{N}f(k_{i};r,p)\,\!$

जिससे हम लॉग-संभावना फ़ंक्शन की गणना करते हैं

$\ell (r,p)=\sum _{i=1}^{N}\ln(\Gamma (k_{i}+r))-\sum _{i=1}^{N}\ln(k_{i}!)-N\ln(\Gamma (r))+\sum _{i=1}^{N}k_{i}\ln(1-p)+Nr\ln(p).$

अधिकतम ज्ञात करने के लिए हम r और p के संबंध में आंशिक अवकलज लेते हैं और उन्हें शून्य के बराबर सेट करते हैं:

${\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial p}}=-\left[\sum _{i=1}^{N}k_{i}{\frac {1}{1-p}}\right]+Nr{\frac {1}{p}}=0$ और

${\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial r}}=\left[\sum _{i=1}^{N}\psi (k_{i}+r)\right]-N\psi (r)+N\ln(p)=0$

कहाँ

$\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!$ डिगामा फ़ंक्शन है।

p के लिए प्रथम समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है:

$p={\frac {Nr}{Nr+\sum _{i=1}^{N}k_{i}}}$

इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

${\frac {\partial \ell (r,p)}{\partial r}}=\left[\sum _{i=1}^{N}\psi (k_{i}+r)\right]-N\psi (r)+N\ln \left({\frac {r}{r+\sum _{i=1}^{N}k_{i}/N}}\right)=0$

इस समीकरण को बंद-रूप अभिव्यक्ति में r के लिए हल नहीं किया जा सकता है। यदि संख्यात्मक समाधान वांछित है, तो न्यूटन की विधि जैसी पुनरावृत्त तकनीक का उपयोग किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है।

घटना और अनुप्रयोग

बर्नौली प्रक्रिया में प्रतीक्षा समय

विशेष मामले के लिए जहां r एक पूर्णांक है, ऋणात्मक द्विपद वितरण को 'पास्कल वितरण' के रूप में जाना जाता है। यह स्वतंत्र रूप से वितरित यादृच्छिक चर बर्नौली परीक्षणों की एक श्रृंखला में विफलताओं और सफलताओं की एक निश्चित संख्या का संभाव्यता वितरण है। सफलता संभावना पी के साथ के+आर बर्नौली परीक्षणों के लिए, नकारात्मक द्विपद अंतिम परीक्षण पर विफलता के साथ, के सफलताओं और आर विफलताओं की संभावना देता है। दूसरे शब्दों में, नकारात्मक द्विपद वितरण बर्नौली प्रक्रिया में आरटी विफलता से पहले सफलताओं की संख्या का संभाव्यता वितरण है, प्रत्येक परीक्षण पर सफलताओं की संभावना पी के साथ। बर्नौली प्रक्रिया एक असतत यादृच्छिक परिवर्तनीय समय प्रक्रिया है, और इसलिए परीक्षणों, विफलताओं और सफलताओं की संख्या पूर्णांक है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. मान लीजिए कि हम बार-बार एक पासा फेंकते हैं और 1 को असफल मानते हैं। प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना 5/6 है। तीसरी विफलता से पहले सफलताओं की संख्या अनंत सेट { 0,1,2,3,... } से संबंधित है। सफलताओं की वह संख्या एक नकारात्मक-द्विपद रूप से वितरित यादृच्छिक चर है।

जब r = 1 हमें पहली विफलता से पहले सफलताओं की संख्या का संभाव्यता वितरण मिलता है (यानी (k + 1)st परीक्षण पर होने वाली पहली विफलता की संभावना), जो एक ज्यामितीय वितरण है:

$f(k;r,p)=(1-p)\cdot p^{k}\!$

अत्यधिक फैला हुआ पॉइसन

नकारात्मक द्विपद वितरण, विशेष रूप से ऊपर वर्णित इसके वैकल्पिक मानकीकरण में, पॉइसन वितरण के विकल्प के रूप में उपयोग किया जा सकता है। यह असीमित सकारात्मक सीमा पर असतत डेटा के लिए विशेष रूप से उपयोगी है जिसका नमूना भिन्नता नमूना माध्य से अधिक है। ऐसे मामलों में, पॉइसन वितरण के संबंध में अवलोकन अतिफैलाव हैं, जिसके लिए माध्य विचरण के बराबर है। इसलिए पॉइसन वितरण एक उपयुक्त मॉडल नहीं है। चूँकि नकारात्मक द्विपद वितरण में पॉइसन की तुलना में एक अधिक पैरामीटर होता है, इसलिए दूसरे पैरामीटर का उपयोग माध्य से स्वतंत्र रूप से विचरण को समायोजित करने के लिए किया जा सकता है। कुछ असतत संभाव्यता वितरणों के Cumulant#Cumulant देखें।

इसका अनुप्रयोग अटलांटिक महासागर में उष्णकटिबंधीय चक्रवातों की वार्षिक गणना या यूरोप में शीतकालीन अतिरिक्त उष्णकटिबंधीय चक्रवातों की मासिक से 6-मासिक गणना के लिए है, जिसके लिए भिन्नता औसत से अधिक है। मामूली अतिफैलाव के मामले में, यह काफी हद तक अतिछितरी हुई पॉइसन वितरण के समान परिणाम उत्पन्न कर सकता है। प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण (एनएलपी) और कॉर्पस भाषाविज्ञान में नकारात्मक द्विपद वितरण का उपयोग शब्द आवृत्ति वितरण को मॉडल करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह अत्यधिक फैलाव की अनुमति देता है, जो भाषाई डेटा की एक सामान्य विशेषता है। शब्द आवृत्ति गणना में अत्यधिक फैलाव का मतलब है कि शब्द आवृत्तियों का विचरण पॉइसन वितरण से अपेक्षा से बड़ा है। यह देखा गया कि नामित इकाइयां, जैसे कि उचित नाम, एनबीडी पैरामीटर अनुमानों के समान और छोटे मूल्य रखते हैं। आनुवंशिकी में, नकारात्मक द्विपद वितरण का उपयोग आमतौर पर उच्च-थ्रूपुट आरएनए और डीएनए अनुक्रमण प्रयोगों से अलग अनुक्रम रीड काउंट के रूप में डेटा को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है।

बहुलता अवलोकन (भौतिकी)

कण टकराव प्रयोगों में बहुलता अवलोकनों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए नकारात्मक द्विपद वितरण सबसे प्रभावी सांख्यिकीय मॉडल रहा है, उदाहरण के लिए, $p{\bar {p}},\ hh,\ hA,\ AA,\ e^{+}e^{-}$ (देखना एक सिंहावलोकन के लिए), और यह तर्क दिया जाता है कि यह पदार्थ का एक स्केल-अपरिवर्तनीय गुण है, खगोलीय प्रेक्षणों के लिए सर्वोत्तम उपयुक्तता प्रदान करना, जहां यह अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में आकाशगंगाओं की संख्या की भविष्यवाणी करता है। इन संदर्भों में नकारात्मक द्विपद वितरण की प्रभावशीलता के लिए घटनात्मक औचित्य 1973 में उनके पहले अवलोकन के बाद से पचास वर्षों तक अज्ञात रहा। 2023 में, पहले सिद्धांत का एक प्रमाण अंततः स्कॉट वी. तेजलाफ द्वारा प्रदर्शित किया गया था, जहां यह दिखाया गया था कि नकारात्मक द्विपद वितरण मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में कणों के एक विहित समूह की गतिशीलता (यांत्रिकी) में स्पेसटाइम समरूपता से उभरता है। मोटे तौर पर, परीक्षणों की अपेक्षित संख्या को देखते हुए $\langle n\rangle$ और सफलताओं की अपेक्षित संख्या $\langle r\rangle$, कहाँ

$\langle {\mathcal {n}}\rangle -\langle r\rangle =k,\quad \quad \langle p\rangle ={\frac {\langle r\rangle }{\langle {\mathcal {n}}\rangle }}\quad \quad \quad \implies \quad \quad \quad \langle {\mathcal {n}}\rangle ={\frac {k}{1-\langle p\rangle }},\quad \quad \langle {r}\rangle ={\frac {k\langle p\rangle }{1-\langle p\rangle }},$

समीकरणों के एक समरूपता सेट को बड़े कणों के एक विहित समूह के विशेष सापेक्षता वर्तमान घनत्व के मापदंडों के साथ पहचाना जा सकता है।

$c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle -\langle j^{2}\rangle =c^{2}\rho _{0}^{2},\quad \quad \quad \langle \beta _{v}^{2}\rangle ={\frac {\langle j^{2}\rangle }{c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle }}\quad \quad \implies \quad \quad c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle ={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}}{1-\langle \beta _{v}^{2}\rangle }},\quad \quad \quad \langle j^{2}\rangle ={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}\langle \beta _{v}^{2}\rangle }{1-\langle \beta _{v}^{2}\rangle }},$

कहाँ $\rho _{0}$ शेष घनत्व है, $\langle \rho ^{2}\rangle$ सापेक्ष माध्य वर्ग घनत्व है, $\langle j^{2}\rangle$ सापेक्ष माध्य वर्ग वर्तमान घनत्व है, और $\langle \beta _{v}^{2}\rangle =\langle v^{2}\rangle /c^{2}$, कहाँ $\langle v^{2}\rangle$ कण समूह का मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण है और $c$ प्रकाश की गति है - जैसे कि कोई निम्नलिखित विक्षेपण स्थापित कर सकता है:

$c^{2}\rho _{0}^{2}\mapsto k,\quad \quad \langle \beta _{v}^{2}\rangle \mapsto \langle p\rangle ,\quad \quad c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle \mapsto \langle {\mathcal {n}}\rangle ,\quad \quad \langle j^{2}\rangle \mapsto \langle r\rangle .$

उपरोक्त पत्राचार का एक कठोर वैकल्पिक प्रमाण भी फेनमैन पथ अभिन्न सूत्रीकरण के माध्यम से क्वांटम यांत्रिकी के माध्यम से प्रदर्शित किया गया है।

इतिहास

इस वितरण का अध्ययन पहली बार 1713 में पियरे रेमंड डी मोंटमॉर्ट ने अपने निबंध डी'एनालिसिस सुर लेस ज्यूक्स डी हैजर्ड में किया था, एक प्रयोग में सफलताओं की एक निश्चित संख्या प्राप्त करने के लिए आवश्यक परीक्षणों की संख्या के वितरण के रूप में। इसका उल्लेख पहले ब्लेज़ पास्कल ने किया था।

यह भी देखें

• कूपन संग्राहक की समस्या
• बीटा नकारात्मक द्विपद वितरण
• विस्तारित नकारात्मक द्विपद वितरण
• नकारात्मक बहुपद वितरण
• द्विपद वितरण
• पॉसों वितरण
• यौगिक पॉइसन वितरण
• घातीय परिवार
• नकारात्मक द्विपद प्रतिगमन
• वेक्टर सामान्यीकृत रैखिक मॉडल