कवर (टोपोलॉजी)

गणित में, और विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, एक सेट (गणित) का एक आवरण (या आवरण) $X$ के सबसेट का एक संग्रह है $X$ जिसका मिलन सभी का है $X$. अधिक औपचारिक रूप से, यदि $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ उपसमुच्चय का अनुक्रमित परिवार है $U_{\alpha }\subset X$, फिर $C$ का एक आवरण है $X$ यदि $\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X$. इस प्रकार संग्रह $\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ का एक आवरण है $X$ यदि का प्रत्येक तत्व $X$ सबसेट में से कम से कम एक के अंतर्गत आता है $U_{\alpha }$.

टोपोलॉजी में कवर

कवर आमतौर पर टोपोलॉजी के संदर्भ में उपयोग किए जाते हैं। अगर सेट $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, फिर एक कवर $C$ का $X$ सबसेट का एक संग्रह है $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ का $X$ जिसका मिलन संपूर्ण स्थान है $X$. इस मामले में हम कहते हैं कि $C$ कवर $X$, या कि सेट $U_{\alpha }$ ढकना $X$.

इसके अलावा यदि $Y$ का एक (टोपोलॉजिकल) उप-स्थान है $X$, फिर का एक आवरण $Y$ सबसेट का एक संग्रह है $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ का $X$ जिसका संघ शामिल है $Y$, अर्थात।, $C$ का एक आवरण है $Y$ यदि

$Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$

यानी हम कवर कर सकते हैं $Y$ या तो खुले सेट के साथ $Y$ खुद, या कवर $Y$ मूल स्थान में खुले सेट द्वारा $X$.

मान लीजिए C एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का कवर है। C का एक 'सबकवर' C का एक सबसेट है जो अभी भी X को कवर करता है।

हम कहते हैं कि C एक 'open coverयदि इसका प्रत्येक सदस्य एक खुला समुच्चय है (अर्थात प्रत्येक U)_α टी में निहित है, जहां टी एक्स पर टोपोलॉजी है)।

X के एक आवरण को स्थानीय रूप से परिमित संग्रह कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस (टोपोलॉजी) है जो केवल परिमित सेट को कवर में कई सेटों को प्रतिच्छेद करता है। औपचारिक रूप से, सी = {यू_α} स्थानीय रूप से परिमित है यदि किसी के लिए $x\in X,$ x के कुछ पड़ोस N(x) मौजूद हैं जैसे कि समुच्चय

$\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}$

परिमित है। X के एक आवरण को 'बिंदु परिमित' कहा जाता है यदि X का प्रत्येक बिंदु आवरण में केवल बहुत से समुच्चयों में समाहित हो। एक आवरण बिंदु परिमित होता है यदि यह स्थानीय रूप से परिमित है, हालांकि इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

शोधन

एक आवरण का शोधन $C$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ एक नया आवरण है $D$ का $X$ ऐसा कि हर सेट में $D$ कुछ सेट में निहित है $C$. औपचारिक रूप से,

$D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}$ का शोधन है $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ अगर सभी के लिए $\beta \in B$ वहां मौजूद $\alpha \in A$ ऐसा है कि $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.$

दूसरे शब्दों में, एक शोधन मानचित्र है $\phi :B\to A$ संतुष्टि देने वाला $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ हरएक के लिए $\beta \in B.$ उदाहरण के लिए, इस मानचित्र का उपयोग ech cohomology of . में किया जाता है $X$. हर सबकवर भी एक शोधन है, लेकिन हमेशा विपरीत सच नहीं होता है। एक सबकवर उन सेटों से बनाया जाता है जो कवर में होते हैं, लेकिन उनमें से कुछ को छोड़ कर; जबकि किसी भी सेट से एक शोधन किया जाता है जो कवर में सेट के सबसेट होते हैं।

शोधन संबंध के कवर के सेट पर एक पूर्व-आदेश है $X$.

सामान्यतया, किसी दिए गए ढांचे का परिशोधन एक और है जो कुछ अर्थों में इसमें शामिल होता है। अंतराल (गणित) को विभाजित करते समय उदाहरण मिलते हैं ( . का एक शोधन) $a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}$ प्राणी $a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}$), टोपोलॉजी पर विचार करते हुए (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में मानक टोपोलॉजी तुच्छ टोपोलॉजी का शोधन है)। जब सरल परिसरों को उप-विभाजित किया जाता है (एक सरल परिसर का पहला बैरीसेंट्रिक उपखंड एक शोधन है), तो स्थिति थोड़ी अलग होती है: महीन परिसर में प्रत्येक सिंप्लेक्स मोटे एक में कुछ सिंप्लेक्स का एक चेहरा होता है, और दोनों में समान अंतर्निहित पॉलीहेड्रा होता है।

फिर भी शोधन की एक और धारणा तारा शोधन की है।

उपकवर

एक सबकवर प्राप्त करने का एक सरल तरीका यह है कि कवर में दूसरे सेट में निहित सेट को छोड़ दिया जाए। विशेष रूप से खुले कवर पर विचार करें। होने देना ${\mathcal {B}}$ का टोपोलॉजिकल आधार हो $X$ तथा ${\mathcal {O}}$ का एक खुला कवर बनें $X.$ पहले लो ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ फिर ${\mathcal {A}}$ का शोधन है ${\mathcal {O}}$. अगला, प्रत्येक के लिए $A\in {\mathcal {A}},$ हम एक का चयन करते हैं $U_{A}\in {\mathcal {O}}$ युक्त $A$ (पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है)। फिर ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ का एक उपकवर है ${\mathcal {O}}.$ इसलिए खुले कवर के सबकवर की कार्डिनैलिटी किसी भी टोपोलॉजिकल आधार जितनी छोटी हो सकती है। इसलिए विशेष रूप से दूसरी गणना का तात्पर्य है कि एक स्थान लिंडेलोफ स्पेस है | लिंडेलोफ।

कॉम्पैक्टनेस

कवर की भाषा का उपयोग अक्सर कॉम्पैक्टनेस से संबंधित कई टोपोलॉजिकल गुणों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस X को कहा जाता है

कॉम्पैक्ट स्पेस

यदि प्रत्येक खुले कवर में एक परिमित उपकवर होता है, (या समतुल्य रूप से कि प्रत्येक खुले कवर में एक परिमित परिशोधन होता है);

लिंडेलोफ स्पेस|लिंडेलोफ

यदि प्रत्येक खुले कवर में एक गणनीय उपकवर होता है, (या समतुल्य रूप से कि प्रत्येक खुले कवर में एक गणनीय शोधन होता है);

मेटाकॉम्पैक्ट स्पेस

यदि प्रत्येक खुले आवरण में एक बिंदु-परिमित खुला शोधन है;

पैराकॉम्पैक्ट स्पेस

यदि प्रत्येक खुला कवर स्थानीय रूप से परिमित खुले शोधन को स्वीकार करता है।

कुछ और विविधताओं के लिए उपरोक्त लेख देखें।

आयाम को कवर करना

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X को आयाम n को कवर करने वाला कहा जाता है यदि X के प्रत्येक खुले कवर में एक बिंदु-परिमित खुला शोधन है जैसे कि X का कोई भी बिंदु शोधन में n+1 से अधिक सेट में शामिल नहीं है और यदि n न्यूनतम मान है जिसके लिए यह सच है। यदि ऐसा कोई न्यूनतम n मौजूद नहीं है, तो अंतरिक्ष को अनंत आवरण आयाम का कहा जाता है।

यह भी देखें

• एटलस (टोपोलॉजी)
• कवरिंग स्पेस
• एक सेट का विभाजन
• कवर समस्या सेट करें
• स्टार शोधन
• ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी

संदर्भ

1. Introduction to Topology, Second Edition, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
2. General Topology, John L. Kelley. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

बाहरी संबंध

• "Covering (of a set)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]