पॉइंटक्लास

वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक पॉइंटक्लास बिंदु (गणित) के सेट (गणित) का एक संग्रह है, जहां एक बिंदु को आमतौर पर कुछ पूर्ण सेट पोलिश स्थान का एक तत्व समझा जाता है। व्यवहार में, एक पॉइंटक्लास को आमतौर पर किसी प्रकार की निश्चितता संपत्ति द्वारा चित्रित किया जाता है; उदाहरण के लिए, पोलिश स्थानों के कुछ निश्चित संग्रह में सभी खुले सेटों का संग्रह एक पॉइंटक्लास है। (एक खुले सेट को कुछ अर्थों में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि यह अंकों का पूरी तरह से मनमाना संग्रह नहीं हो सकता है; सेट में किसी भी बिंदु के लिए, उस बिंदु के पर्याप्त रूप से करीब सभी बिंदु भी सेट में होने चाहिए।)

पॉइंटक्लास सेट सिद्धांत और वास्तविक विश्लेषण से कई महत्वपूर्ण सिद्धांतों और प्रमेयों को तैयार करने में आवेदन पाते हैं। मजबूत सेट-सैद्धांतिक सिद्धांतों को विभिन्न बिंदुवर्गों की निर्धारकता के संदर्भ में कहा जा सकता है, जिसका तात्पर्य यह है कि उन बिंदुवर्गों (या कभी-कभी बड़े वाले) में सेट में नियमितता गुण होते हैं जैसे कि लेब्सेग माप (और वास्तव में सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सेट), की संपत्ति बेयर, और [[उत्तम सेट संपत्ति]]।

बुनियादी ढांचा

व्यवहार में, वर्णनात्मक सेट सिद्धांतकार अक्सर एक निश्चित पोलिश स्थान जैसे बेयर स्पेस (सेट सिद्धांत) या कभी-कभी कैंटर स्पेस में काम करके मामलों को सरल बनाते हैं, जिनमें से प्रत्येक को शून्य आयामी होने का लाभ होता है, और वास्तव में इसके परिमित या गणनीय उत्पाद टोपोलॉजी के लिए होम्योमॉर्फिक होता है। , ताकि आयामीता के विचार कभी उत्पन्न न हों। यियानिस मोस्कोवाकिस अंतर्निहित पोलिश स्थानों के संग्रह को एक बार और सभी के लिए ठीक करके अधिक व्यापकता प्रदान करता है, जिसमें सभी प्राकृतिक का सेट, सभी वास्तविकताओं का सेट, बेयर स्पेस और कैंटर स्पेस शामिल है, और अन्यथा पाठक को किसी भी वांछित सही पोलिश में फेंकने की अनुमति देता है। अंतरिक्ष। फिर वह उत्पाद स्थान को इन अंतर्निहित स्थानों के किसी भी परिमित कार्टेशियन उत्पाद के रूप में परिभाषित करता है। फिर, उदाहरण के लिए, पॉइंटक्लास ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ सभी खुले सेटों का अर्थ है इन उत्पाद स्थानों में से किसी एक के सभी खुले सबसेट का संग्रह। यह दृष्टिकोण रोकता है ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ एक उचित वर्ग होने से, विचार किए जा रहे विशेष पोलिश स्थानों के बारे में अत्यधिक विशिष्टता से बचते हुए (यह देखते हुए कि ध्यान इस तथ्य पर है कि) ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$ खुले सेटों का संग्रह है, स्वयं रिक्त स्थान पर नहीं)।

बोल्ड अक्षरों पॉइंटक्लास

बोरेल पदानुक्रम में और अधिक जटिल प्रोजेक्टिव पदानुक्रम में पॉइंटक्लास को बोल्डफेस फ़ॉन्ट में उप- और सुपर-स्क्रिप्टेड ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है; उदाहरण के लिए, ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ सभी बंद सेटों का पॉइंटक्लास है, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}$ सभी F-सिग्मा|F का बिंदुवर्ग है_σसेट, ${\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}$ उन सभी सेटों का संग्रह है जो एक साथ F हैं_σ और जी-डेल्टा सेट|जी_δ, और ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}$ सभी विश्लेषणात्मक सेटों का बिंदुवर्ग है।

ऐसे पॉइंटक्लास में सेट केवल एक बिंदु तक ही निश्चित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, पोलिश स्थान में प्रत्येक सिंगलटन सेट बंद है, और इस प्रकार ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$. इसलिए हर कोई ऐसा नहीं हो सकता ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}$ सेट को पोलिश स्थान के एक मनमाने तत्व (जैसे, एक मनमाना वास्तविक संख्या, या प्राकृतिक संख्याओं का एक मनमाना गणनीय अनुक्रम) से अधिक निश्चित होना चाहिए। हालाँकि, बोल्डफेस पॉइंटक्लास को (और व्यवहार में आमतौर पर ऐसा होता है) आवश्यकता हो सकती है कि क्लास में सेट कुछ वास्तविक संख्या के सापेक्ष निश्चित हों, जिन्हें ओरेकल मशीन के रूप में लिया जाता है। उस अर्थ में, बोल्डफेस पॉइंटक्लास में सदस्यता एक निश्चितता संपत्ति है, भले ही यह पूर्ण निश्चितता नहीं है, बल्कि संभवतः अपरिभाषित वास्तविक संख्या के संबंध में केवल निश्चितता है।

बोल्डफेस पॉइंटक्लास, या कम से कम जिन्हें आमतौर पर माना जाता है, वेज रिड्यूसिबिलिटी के तहत बंद हैं; यानी, पॉइंटक्लास में एक सेट दिया गया है, एक सतत फ़ंक्शन के तहत इसकी उलटा छवि (उत्पाद स्थान से उस स्थान तक जहां दिया गया सेट एक उपसमुच्चय है) भी दिए गए पॉइंटक्लास में है। इस प्रकार एक बोल्डफेस पॉइंटक्लास वाडेज डिग्रियों का एक नीचे की ओर बंद संघ है।

लाइटफेस पॉइंटक्लास

बोरेल और प्रोजेक्टिव पदानुक्रम में प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में एनालॉग होते हैं जिसमें निश्चितता संपत्ति को अब ओरेकल से सापेक्ष नहीं किया जाता है, बल्कि निरपेक्ष बना दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई बुनियादी खुले पड़ोस के कुछ संग्रह को ठीक करता है (मान लीजिए, बेयर स्पेस में, फॉर्म के सेट का संग्रह {x∈ω^ओह $\mid$ s प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक निश्चित परिमित अनुक्रम के लिए x} का एक प्रारंभिक खंड है), फिर खुला, या ${\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}$, सेट को बुनियादी खुले पड़ोस के सभी (मनमाने) यूनियनों के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अनुरूप $\Sigma _{1}^{0}$ सेट, हल्के चेहरे के साथ $\Sigma$, अब ऐसे पड़ोसों की मनमानी यूनियनें नहीं हैं, बल्कि उनमें से गणना योग्य सेट यूनियनें हैं। यानी एक सेट लाइटफेस है $\Sigma _{1}^{0}$, जिसे प्रभावी रूप से खुला भी कहा जाता है, यदि प्राकृतिक के परिमित अनुक्रमों का एक गणना योग्य सेट S है, जैसे कि दिया गया सेट सेटों का संघ है {x∈ω^ओह $\mid$ s, S में s के लिए x} का प्रारंभिक खंड है।

एक सेट लाइटफेस है $\Pi _{1}^{0}$ यदि यह a का पूरक है $\Sigma _{1}^{0}$ तय करना। इस प्रकार प्रत्येक $\Sigma _{1}^{0}$ सेट में कम से कम एक सूचकांक होता है, जो उन मूल खुले सेटों की गणना करने वाले गणना योग्य फ़ंक्शन का वर्णन करता है जिनसे यह बना है; वास्तव में इसमें ऐसे अनगिनत सूचकांक होंगे। इसी प्रकार, ए के लिए एक सूचकांक $\Pi _{1}^{0}$ सेट बी, बी के पूरक में बुनियादी खुले सेटों की गणना करने वाले गणना योग्य फ़ंक्शन का वर्णन करता है।

एक सेट ए लाइटफेस है $\Sigma _{2}^{0}$ यदि यह एक गणनीय अनुक्रम का एक संघ है $\Pi _{1}^{0}$ सेट (अर्थात्, के सूचकांकों की गणना योग्य गणना है $\Pi _{1}^{0}$ ऐसे समुच्चय कि A इन समुच्चयों का मिलन है)। लाइटफेस सेट और उनके सूचकांकों के बीच इस संबंध का उपयोग पुनरावर्ती ऑर्डिनल्स के माध्यम से लाइटफेस बोरेल पदानुक्रम को ट्रांसफिनिट में विस्तारित करने के लिए किया जाता है। यह उस हाइपररिथमेटिक पदानुक्रम का निर्माण करता है, जो बोरेल पदानुक्रम का लाइटफेस एनालॉग है। (हाइपररिथमेटिकल सिद्धांत के सीमित स्तरों को अंकगणितीय पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।)

एक समान उपचार प्रक्षेप्य पदानुक्रम पर लागू किया जा सकता है। इसके लाइटफेस एनालॉग को विश्लेषणात्मक पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है।

सारांश

प्रत्येक कक्षा कम से कम उतनी ही बड़ी है जितनी उससे ऊपर की कक्षाएँ।

Lightface		Boldface
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (sometimes the same as Δ0 1)		Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (if defined)
Δ0 1 = recursive		Δ0 1 = clopen
Σ0 1 = recursively enumerable	Π0 1 = co-recursively enumerable	Σ0 1 = G = open	Π0 1 = F = closed
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	Σ0 2 = Fσ	Π0 2 = Gδ
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	Σ0 3 = Gδσ	Π0 3 = Fσδ
⋮		⋮
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = arithmetical		Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0 = boldface arithmetical
⋮		⋮
Δ0 α (α recursive)		Δ0 α (α countable)
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
⋮		⋮
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1 = hyperarithmetical		Σ0 ω1 = Π0 ω1 = Δ0 ω1 = Δ1 1 = B = Borel
Σ1 1 = lightface analytic	Π1 1 = lightface coanalytic	Σ1 1 = A = analytic	Π1 1 = CA = coanalytic
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	Σ1 2 = PCA	Π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	Σ1 3 = PCPCA	Π1 3 = CPCPCA
⋮		⋮
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = analytical		Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0 = P = projective
⋮		⋮

संदर्भ

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.