कहीं सघन सेट नहीं

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस के एक सेट (गणित) को नोव्हेयर डेंस कहा जाता है या दुर्लभ यदि इसके समापन (टोपोलॉजी) में खाली सेट आंतरिक (टोपोलॉजी) है। एक बहुत ही ढीले अर्थ में, यह एक ऐसा सेट है जिसके तत्व कहीं भी कसकर क्लस्टर नहीं किए गए हैं (जैसा कि टोपोलॉजिकल स्पेस#परिभाषाओं द्वारा परिभाषित किया गया है)। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं में पूर्णांक कहीं भी सघन नहीं हैं, जबकि अंतराल (गणित) (0, 1) कहीं भी सघन नहीं है।

कहीं सघन समुच्चयों का गणनीय संघ अल्प समुच्चय कहलाता है। बेयर श्रेणी प्रमेय के निर्माण में अल्प सेट एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिसका उपयोग कार्यात्मक विश्लेषण के कई मौलिक परिणामों के प्रमाण में किया जाता है।

परिभाषा

घनत्व को कहीं भी अलग-अलग (लेकिन समतुल्य) तरीकों से चित्रित नहीं किया जा सकता है। घनत्व से सबसे सरल परिभाषा है: <ब्लॉककोट>एक उपसमुच्चय $S$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ दूसरे सेट में घना कहा जाता है $U$ यदि चौराहा $S\cap U$ का एक सघन समुच्चय है $U.$ $S$ हैnowhere dense याrare में $X$ अगर $S$ किसी भी गैररिक्त खुले उपसमुच्चय में सघन नहीं है $U$ का $X.$ </ब्लॉककोट> घनत्व के निषेध का विस्तार करते हुए, यह प्रत्येक गैर-रिक्त खुले सेट की आवश्यकता के बराबर है $U$ से असंयुक्त एक गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय शामिल है $S.${{sfn|Fremlin|2002|loc=3A3F(a)}आधार (टोपोलॉजी) के लिए बेस (टोपोलॉजी) पर किसी भी स्थिति की जांच करना पर्याप्त है $X.$ विशेषकर, घनत्व कहीं नहीं $\mathbb {R}$ इसे अक्सर बिना किसी खुले अंतराल के सघन होने के रूप में वर्णित किया जाता है।

समापन द्वारा परिभाषा

उपरोक्त दूसरी परिभाषा बंद करने की आवश्यकता के बराबर है, $\operatorname {cl} _{X}S,$ कोई भी गैररिक्त खुला सेट नहीं हो सकता। यह कहने के समान है कि क्लोजर (टोपोलॉजी) का इंटीरियर (टोपोलॉजी)। $S$ खाली है; वह है, <ब्लॉककोट>$\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\varnothing .$ वैकल्पिक रूप से, समापन का पूरक $X\setminus \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)$ का एक सघन उपसमुच्चय होना चाहिए $X;$दूसरे शब्दों में, का बाहरी भाग (टोपोलॉजी)। $S$ में सघन है $X.$

गुण

कहीं भी घने सेट की धारणा हमेशा किसी दिए गए आसपास के स्थान से संबंधित नहीं होती है। कल्पना करना $A\subseteq Y\subseteq X,$ कहाँ $Y$ सबस्पेस टोपोलॉजी से प्रेरित है $X.$ सेट $A$ हो सकता है कि वह कहीं भी सघन न हो $X,$ लेकिन कहीं भी सघन नहीं $Y.$ विशेष रूप से, एक सेट हमेशा अपने उप-स्थान टोपोलॉजी में सघन होता है। तो यदि $A$ गैर-रिक्त है, यह स्वयं के उपसमुच्चय के रूप में कहीं भी सघन नहीं होगा। हालाँकि निम्नलिखित परिणाम कायम हैं:

• अगर $A$ कहीं भी सघन नहीं है $Y,$ तब $A$ कहीं भी सघन नहीं है $X.$
• अगर $Y$ में खुला है $X$, तब $A$ कहीं भी सघन नहीं है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ कहीं भी सघन नहीं है $X.$
• अगर $Y$ में सघन है $X$, तब $A$ कहीं भी सघन नहीं है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ कहीं भी सघन नहीं है $X.$

एक समुच्चय कहीं भी सघन नहीं है यदि और केवल यदि उसका समापन हो।

कहीं भी सघन समुच्चय का प्रत्येक उपसमुच्चय कहीं भी सघन नहीं है, और कहीं नहीं सघन समुच्चयों का एक परिमित संघ (सेट सिद्धांत) कहीं भी सघन नहीं है। इस प्रकार कहीं भी सघन समुच्चय समुच्चयों का एक आदर्श नहीं, नगण्य समुच्चय की एक उपयुक्त धारणा बनाते हैं। सामान्य तौर पर वे एक सिग्मा-आदर्श नहीं बनाते हैं|𝜎-आदर्श, क्योंकि अल्प समुच्चय, जो कहीं सघन समुच्चयों के गणनीय संघ नहीं हैं, कहीं सघन नहीं होने चाहिए। उदाहरण के लिए, सेट $\mathbb {Q}$ कहीं भी सघन नहीं है $\mathbb {R} .$ प्रत्येक खुले सेट और प्रत्येक बंद सेट की सीमा (टोपोलॉजी) बंद है और कहीं घनी नहीं है। एक बंद सेट कहीं भी सघन नहीं है यदि और केवल यदि यह इसकी सीमा के बराबर है, यदि और केवल यदि यह किसी खुले सेट की सीमा के बराबर है (उदाहरण के लिए खुले सेट को सेट के पूरक के रूप में लिया जा सकता है)। एक मनमाना सेट $A\subseteq X$ कहीं भी सघन नहीं है यदि और केवल यदि यह किसी खुले सेट की सीमा का उपसमुच्चय है (उदाहरण के लिए खुले सेट को बाहरी (टोपोलॉजी) के रूप में लिया जा सकता है) $A$).

उदाहरण

• सेट $S=\{1/n:n=1,2,...\}$ और उसका बंद होना $S\cup \{0\}$ कहीं सघन नहीं हैं $\mathbb {R} ,$ चूँकि क्लोजर का आंतरिक भाग खाली है।
• $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन विमान में क्षैतिज अक्ष कहीं भी सघन नहीं है $\mathbb {R} ^{2}.$
• $\mathbb {Z}$ कहीं भी सघन नहीं है $\mathbb {R}$ लेकिन तर्कसंगत $\mathbb {Q}$ नहीं हैं (वे हर जगह घने हैं)।
• $\mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]$ हैnot कहीं भी सघन नहीं $\mathbb {R}$: यह खुले अंतराल में सघन है $(a,b),$ और विशेष रूप से इसके बंद होने का आंतरिक भाग है $(a,b).$
• खाली सेट कहीं सघन नहीं है। असतत स्थान में, रिक्त समुच्चय है only कहीं सघन सेट नहीं।
• T1 स्थान में|T₁ अंतरिक्ष, कोई भी एकल समुच्चय जो एक पृथक बिंदु नहीं है, कहीं भी सघन नहीं है।
• [[टोपोलॉजिकल वेक्टर उपस्थान]] का एक वेक्टर उपस्पेस या तो सघन है या कहीं भी सघन नहीं है।

कहीं भी धनात्मक माप के साथ सघन समुच्चय नहीं है

कहीं भी सघन समुच्चय आवश्यक रूप से हर दृष्टि से नगण्य नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $X$ इकाई अंतराल है $[0,1],$ न केवल लेब्सेग माप शून्य का एक सघन सेट होना संभव है (जैसे कि परिमेय का सेट), बल्कि सकारात्मक माप के साथ कहीं न कहीं सघन सेट होना भी संभव है।

एक उदाहरण के लिए (कैंटर सेट का एक प्रकार), इसे हटा दें $[0,1]$ सभी डायडिक भिन्न, अर्थात रूप के भिन्न $a/2^{n}$ धनात्मक पूर्णांकों के लिए न्यूनतम पदों में $a,n\in \mathbb {N} ,$ और उनके चारों ओर का अंतराल: $\left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).$ चूंकि प्रत्येक के लिए $n$ यह अधिक से अधिक जोड़ने वाले अंतरालों को हटा देता है $1/2^{n+1},$ ऐसे सभी अंतरालों को हटा दिए जाने के बाद जो कहीं भी सघन समुच्चय नहीं बचा है उसका माप कम से कम है $1/2$ (वास्तव में अभी ख़त्म हुआ $0.535\ldots$ ओवरलैप्स के कारण) और इसलिए एक अर्थ में परिवेश स्थान के बहुमत का प्रतिनिधित्व करता है $[0,1].$ यह सेट कहीं भी सघन नहीं है, क्योंकि यह बंद है और इसका आंतरिक भाग खाली है: कोई भी अंतराल $(a,b)$ डायडिक भिन्नों के बाद से सेट में शामिल नहीं है $(a,b)$ हटा दिया गया है।

इस पद्धति को सामान्यीकृत करते हुए, कोई इकाई अंतराल में कहीं भी किसी भी माप से कम के घने सेट का निर्माण नहीं कर सकता है $1,$ हालाँकि माप बिल्कुल 1 नहीं हो सकता (क्योंकि अन्यथा इसके समापन का पूरक माप शून्य के साथ एक गैर-रिक्त खुला सेट होगा, जो असंभव है)। एक और सरल उदाहरण के लिए, का $U$ का कोई सघन खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R}$ तब परिमित लेबेस्ग्यू माप होना $\mathbb {R} \setminus U$ आवश्यक रूप से इसका एक बंद उपसमुच्चय है $\mathbb {R}$ अनंत लेबेस्ग्यू माप वाला जो कहीं भी सघन नहीं है $\mathbb {R}$ (क्योंकि इसका टोपोलॉजिकल इंटीरियर खाली है)। इतना घना खुला उपसमुच्चय $U$ परिमित लेब्सेग माप का निर्माण आमतौर पर तब किया जाता है जब यह साबित किया जाता है कि लेब्सेग माप तर्कसंगत संख्याओं का है $\mathbb {Q}$ है $0.$ यह किसी भी आक्षेप को चुनकर किया जा सकता है $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ (वास्तव में यह पर्याप्त है $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ केवल एक अनुमान होने के लिए) और प्रत्येक के लिए $r>0,$ दे

$$U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)$$

(यहाँ, मिन्कोव्स्की योग संकेतन $f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)$ अंतराल के विवरण को सरल बनाने के लिए उपयोग किया गया था)। खुला उपसमुच्चय $U_{r}$ में सघन है $\mathbb {R}$ क्योंकि यह इसके उपसमुच्चय के बारे में सत्य है $\mathbb {Q}$ और इसका लेबेस्गे माप इससे बड़ा नहीं है $\sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.$ खुले के बजाय बंद अंतरालों के मिलन से Fσ सेट|F उत्पन्न होता है_𝜎-सबसेट

$$S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]$$

जो संतुष्ट करता है $S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.$ क्योंकि $\mathbb {R} \setminus S_{r}$ कहीं नहीं सघन समुच्चय का एक उपसमुच्चय है $\mathbb {R} \setminus U_{r},$ यह कहीं भी सघन नहीं है $\mathbb {R} .$ क्योंकि $\mathbb {R}$ एक बाहर जगह है, सेट

$$D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}$$

का एक सघन उपसमुच्चय है $\mathbb {R}$ (जिसका अर्थ है कि इसके उपसमुच्चय की तरह $\mathbb {Q} ,$ $D$ संभवतः कहीं सघन नहीं हो सकता $\mathbb {R}$) साथ $0$ लेब्सेग माप जो कि एक नॉनमेजर सेट भी है $\mathbb {R}$ (वह है, $D$ में दूसरी श्रेणी का है $\mathbb {R}$), किसने बनाया $\mathbb {R} \setminus D$ का एक कॉमेजर सेट $\mathbb {R}$ जिसका आंतरिक भाग $\mathbb {R}$ खाली भी है; तथापि, $\mathbb {R} \setminus D$ कहीं भी सघन नहीं है $\mathbb {R}$ यदि और केवल यदि ऐसा है closure में $\mathbb {R}$ खाली आंतरिक भाग है. उपसमुच्चय $\mathbb {Q}$ इस उदाहरण में किसी भी गणनीय सघन उपसमुच्चय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $\mathbb {R}$ और इसके अलावा, सेट भी $\mathbb {R}$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$ किसी भी पूर्णांक के लिए $n>0.$

यह भी देखें

• Baire space
• Fat Cantor set
• Meagre set

ग्रन्थसूची

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• Fremlin, D. H. (2002). Measure Theory. Lulu.com. ISBN 978-0-9566071-1-9.
• Haworth, R. C.; McCoy, R. A. (1977), Baire Spaces, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
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बाहरी संबंध

• Some nowhere dense sets with positive measure