बाहर जगह

गणित में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ इसे बेयर स्पेस कहा जाता है यदि खाली आंतरिक (टोपोलॉजी) के साथ बंद सेटों के गणनीय संघों में भी खाली इंटीरियर होता है।^[1] बेयर श्रेणी प्रमेय के अनुसार, कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान स्थान और पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान बेयर रिक्त स्थान के उदाहरण हैं। बेयर रिक्त स्थान के गुणों के साथ संयुक्त बेयर श्रेणी प्रमेय में टोपोलॉजी, ज्यामिति, विश्लेषण (गणित), विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में कई अनुप्रयोग हैं।^[2]^[3] अधिक प्रेरणा और अनुप्रयोगों के लिए, लेख बेयर श्रेणी प्रमेय देखें। वर्तमान लेख बेयर स्पेस की विशेषताओं और बुनियादी गुणों पर अधिक केंद्रित है।

निकोलस बॉर्बकी ने बेयर स्पेस शब्द की शुरुआत की^[4]^[5] रेने बेयर के सम्मान में, जिन्होंने यूक्लिडियन अंतरिक्ष के संदर्भ में बेयर श्रेणी प्रमेय की जांच की $\mathbb {R} ^{n}$ उनकी 1899 की थीसिस में।^[6]

परिभाषा

निम्नलिखित परिभाषा अल्प समुच्चय (या प्रथम श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो समुच्चयों का एक गणनीय संघ है जिसके बंद होने का आंतरिक भाग खाली है) और गैर अल्प (या दूसरी श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो समुच्चय है) की धारणाओं पर आधारित है। अल्प नहीं है)। विवरण के लिए संबंधित लेख देखें.

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ इसे बेयर स्पेस कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित में से किसी भी समकक्ष शर्त को पूरा करता है:^[1]^[7]^[8]

सघन (टोपोलॉजी) खुले सेटों का प्रत्येक गणनीय प्रतिच्छेदन सघन है।
खाली आंतरिक भाग वाले बंद सेटों के प्रत्येक गणनीय संयोजन में खाली आंतरिक भाग होता है।
हर छोटे सेट का इंटीरियर खाली होता है.
प्रत्येक गैर-रिक्त खुला सेट गैर-अल्प है।^{[note 1]}
प्रत्येक आओगेरे सेट सघन है।
जब भी बंद सेटों के गणनीय संघ में एक आंतरिक बिंदु होता है, तो बंद सेटों में से कम से कम एक में एक आंतरिक बिंदु होता है।

इन परिभाषाओं के बीच समानता पूरक उपसमुच्चय के संबंधित गुणों पर आधारित है $X$ (अर्थात, एक सेट का $A\subset X$ और इसके पूरक (सेट सिद्धांत) $X\setminus A$ ) जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिया गया है।

Property of a set	Property of complement
open	closed
comeagre	meagre
dense	has empty interior
has dense interior	nowhere dense

बाहरी श्रेणी प्रमेय

बेयर श्रेणी प्रमेय एक टोपोलॉजिकल स्पेस को बेयर स्पेस बनाने के लिए पर्याप्त शर्तें देता है।

(बीसीटी1) प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक स्पेस स्यूडोमेट्रिक स्पेस एक बेयर स्पेस है।^[9]^[10] विशेष रूप से, प्रत्येक पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल स्पेस एक बेयर स्पेस है।
(बीसीटी2) प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्थान एक बेयर स्पेस है।^[9]^[11] विशेष रूप से, प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान एक बेयर स्थान है।

BCT1 से पता चलता है कि निम्नलिखित बेयर स्पेस हैं:

अंतरिक्ष $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं का.
अपरिमेय संख्याओं का स्थान, जो बेयर स्पेस (सेट सिद्धांत) के लिए समरूप है | बेयर स्पेस $\omega ^{\omega }$ सेट सिद्धांत का.
प्रत्येक पोलिश स्थान।

BCT2 से पता चलता है कि निम्नलिखित बेयर स्पेस हैं:

प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान; उदाहरण के लिए, कैंटर सेट (या कैंटर स्पेस)।
प्रत्येक कई गुना, भले ही वह लंबी लाइन (टोपोलॉजी) की तरह परा-सुसंहत (इसलिए मेट्रिज़ेबल नहीं) न हो।

हालाँकि, किसी को ध्यान देना चाहिए कि ऐसे बहुत से स्थान हैं जो बेयर श्रेणी प्रमेय की शर्तों को पूरा किए बिना बेयर स्पेस हैं, जैसा कि नीचे उदाहरण अनुभाग में दिखाया गया है।

गुण

प्रत्येक गैर-रिक्त बेयर स्थान गैर-अल्प है। घने खुले सेटों के गणनीय चौराहों के संदर्भ में, बेयर स्पेस होना ऐसे चौराहों के घने होने के बराबर है, जबकि एक गैर-अल्प स्थान होना उस कमजोर स्थिति के बराबर है कि ऐसे चौराहे गैर-रिक्त हैं।
बेयर स्पेस का प्रत्येक खुला उपस्थान बेयर स्पेस है।^[12]
प्रत्येक सघन जी-डेल्टा सेट|जी_δ बेयर स्पेस में सेट एक बेयर स्पेस है।^[13]^[14] यदि जी हो तो परिणाम को रोकने की आवश्यकता नहीं है_δ सेट सघन नहीं है. उदाहरण अनुभाग देखें.
बेयर स्पेस में स्थापित प्रत्येक कॉमाग्रे एक बेयर स्पेस है।^[15]
बेयर स्पेस का एक उपसमुच्चय तभी आता है जब इसमें सघन G हो_δ तय करना।^[16]
बेयर स्पेस के एक बंद उपस्पेस को बेयर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण अनुभाग देखें.
यदि किसी स्थान में सघन उप-स्थान है जो बेयर है, तो यह भी बेयर स्पेस है।^[17]
एक स्थान जो स्थानीय रूप से बेयर है, इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है जो एक बेयर स्पेस है, एक बेयर स्पेस है।^[18]
बेयर रिक्त स्थान का प्रत्येक टोपोलॉजिकल योग बेयर है।^[19]
दो बेयर रिक्त स्थान का गुणनफल आवश्यक रूप से बेयर नहीं है।^[20]^[21]
पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान का एक मनमाना उत्पाद बेयर है।^[22]
प्रत्येक स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन शांत स्थान एक बेयर स्पेस है।^[23]
प्रत्येक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस एक बेयर स्पेस है (क्योंकि एक परिमित स्थान में केवल सीमित रूप से कई खुले सेट होते हैं और दो खुले सघन सेटों का प्रतिच्छेदन एक खुला सघन सेट होता है)^[24]).
एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस एक बेयर स्पेस है यदि और केवल यदि यह गैर-अल्प है,^[25] जो तब होता है जब और केवल यदि प्रत्येक बंद संतुलित अवशोषित उपसमुच्चय में गैर-रिक्त आंतरिक भाग होता है।^[26]

सतत मानचित्र (टोपोलॉजी) कार्यों का एक क्रम दिया गया है $f_{n}:X\to Y$ बिंदुवार सीमा के साथ $f:X\to Y.$ अगर $X$ एक बेयर स्थान है तो बिंदु जहां $f$ सतत नहीं है a meagre set में $X$ और बिंदुओं का सेट जहां $f$ निरंतर सघन है $X.$ इसका एक विशेष मामला एकसमान सीमा सिद्धांत है।

उदाहरण

खाली जगह बेयर स्पेस है. यह एकमात्र स्थान है जो बेयर और अल्प दोनों है।
अंतरिक्ष $\mathbb {R}$ सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का एक बेयर स्पेस है।
अंतरिक्ष $\mathbb {Q}$ तर्कसंगत संख्याओं की (टोपोलॉजी से प्रेरित)। $\mathbb {R}$ ) बेयर स्थान नहीं है, क्योंकि यह अल्प है।
अपरिमेय संख्याओं का स्थान (टोपोलॉजी से प्रेरित)। $\mathbb {R}$ ) एक बेयर स्थान है, क्योंकि यह अंदर आता है $\mathbb {R} .$
अंतरिक्ष $X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ (टोपोलॉजी से प्रेरित होकर $\mathbb {R}$ ) नगण्य है, लेकिन बेयर नहीं है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह बेयर नहीं है: उदाहरण के लिए क्योंकि उपसमुच्चय $[0,1]$ कमाग्रे है लेकिन सघन नहीं है; या क्योंकि गैर-रिक्त उपसमुच्चय $[2,3]\cap \mathbb {Q}$ खुला और अल्प है.
इसी प्रकार, अंतरिक्ष $X=\{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ बेयर नहीं है. तब से यह मामूली नहीं है $1$ एक पृथक बिंदु है.

निम्नलिखित बेयर रिक्त स्थान के उदाहरण हैं जिनके लिए बेयर श्रेणी प्रमेय लागू नहीं होता है, क्योंकि ये रिक्त स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं और पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं हैं:

सोर्गेनफ्रे रेखा।^[27]
सोर्गेनफ़्रे विमान.^[28]
नीमित्ज़की विमान।^[28]* का उपस्थान $\mathbb {R} ^{2}$ खुले ऊपरी आधे तल से मिलकर परिमेय परिमेय के साथ $x$ -अक्ष, अर्थात्, $X=(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times \{0\}),$ एक बेयर स्थान है,^[29] क्योंकि खुला ऊपरी आधा तल सघन है $X$ और पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल, इसलिए बेयर। अंतरिक्ष $X$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है और पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं है। सेट $\mathbb {Q} \times \{0\}$ में बंद है $X$ , लेकिन बेयर स्पेस नहीं है। चूँकि मीट्रिक स्थान में बंद सेट G-डेल्टा सेट|G होते हैं_δ सेट, इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य तौर पर जी_δ बेयर स्पेस में सेट का बेयर होना जरूरी नहीं है।

ज़ारिस्की टोपोलॉजी के साथ बीजगणितीय किस्में बेयर स्पेस हैं। एक उदाहरण एफ़िन स्पेस है $\mathbb {A} ^{n}$ सेट से मिलकर $\mathbb {C} ^{n}$ का $n$ -सम्मिश्र संख्याओं के समूह, टोपोलॉजी के साथ जिनके बंद सेट बहुपदों के लुप्त हो रहे सेट हैं $f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}].$

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 Munkres 2000, p. 295.
↑ "बेयर श्रेणी प्रमेय का आपका पसंदीदा अनुप्रयोग". Mathematics Stack Exchange.
↑ "बेयर श्रेणी प्रमेय के क्लासिक अनुप्रयोग". MathOverflow.
↑ Engelking 1989, Historical notes, p. 199.
↑ Bourbaki 1989, p. 192.
↑ Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles". Ann. Di Mat. 3: 1–123.
↑ Haworth & McCoy 1977, p. 11.
↑ Narici & Beckenstein 2011, pp. 390–391.
↑ ^9.0 ^9.1 Kelley 1975, Theorem 34, p. 200.
↑ Schechter 1996, Theorem 20.16, p. 537.
↑ Schechter 1996, Theorem 20.18, p. 538.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.14.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.23.
↑ Ma, Dan (3 June 2012). "परिमेय संख्याओं के बारे में एक प्रश्न". Dan Ma's Topology Blog.Theorem 3
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.16.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.17.
↑ Haworth & McCoy 1977, Theorem 1.15.
↑ Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.6.7, p. 391.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.20.
↑ Oxtoby, J. (1961). "बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 49 (2): 157–166. doi:10.4064/fm-49-2-157-166.
↑ Fleissner, W.; Kunen, K. (1978). "बमुश्किल बेयर रिक्त स्थान" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 101 (3): 229–240. doi:10.4064/fm-101-3-229-240.
↑ Bourbaki 1989, Exercise 17, p. 254.
↑ Gierz et al. 2003, Corollary I-3.40.9, p. 114.
↑ "दो खुले सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन होता है". Mathematics Stack Exchange.
↑ Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.8.6, p. 396.
↑ Wilansky 2013, p. 60.
↑ "सोर्गेनफ़्रे लाइन एक बेयर स्पेस है". Mathematics Stack Exchange.
↑ ^28.0 ^28.1 "सोर्गेनफ्रे विमान और नीमित्ज़की विमान बेयर स्थान हैं". Mathematics Stack Exchange.
↑ "बेयर मीट्रिक स्पेस का उदाहरण जो पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं है". Mathematics Stack Exchange.

संदर्भ

Bourbaki, Nicolas (1989) [1967]. General Topology 2: Chapters 5–10 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Vol. 4. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063.
Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0521803380.
Haworth, R. C.; McCoy, R. A. (1977), Baire Spaces, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
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Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

बाहरी संबंध

[9] As explained in the meagre set article, for an open set, being nonmeagre in the whole space is equivalent to being nonmeagre in itself.

[FOOTNOTEMunkres2000295-1] 1.0 ^1.1 Munkres 2000, p. 295.

[2] "बेयर श्रेणी प्रमेय का आपका पसंदीदा अनुप्रयोग". Mathematics Stack Exchange.

[3] "बेयर श्रेणी प्रमेय के क्लासिक अनुप्रयोग". MathOverflow.

[FOOTNOTEEngelking1989Historical_notes.2C_p._199-4] Engelking 1989, Historical notes, p. 199.

[FOOTNOTEBourbaki1989192-5] Bourbaki 1989, p. 192.

[6] Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles". Ann. Di Mat. 3: 1–123.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy197711-7] Haworth & McCoy 1977, p. 11.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011390.E2.80.93391-8] Narici & Beckenstein 2011, pp. 390–391.

[FOOTNOTEKelley1975Theorem_34.2C_p._200-10] 9.0 ^9.1 Kelley 1975, Theorem 34, p. 200.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.16.2C_p._537-11] Schechter 1996, Theorem 20.16, p. 537.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.18.2C_p._538-12] Schechter 1996, Theorem 20.18, p. 538.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.14-13] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.14.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.23-14] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.23.

[15] Ma, Dan (3 June 2012). "परिमेय संख्याओं के बारे में एक प्रश्न". Dan Ma's Topology Blog.Theorem 3

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.16-16] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.16.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.17-17] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.17.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Theorem_1.15-18] Haworth & McCoy 1977, Theorem 1.15.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011Theorem_11.6.7.2C_p._391-19] Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.6.7, p. 391.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.20-20] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.20.

[21] Oxtoby, J. (1961). "बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 49 (2): 157–166. doi:10.4064/fm-49-2-157-166.

[22] Fleissner, W.; Kunen, K. (1978). "बमुश्किल बेयर रिक्त स्थान" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 101 (3): 229–240. doi:10.4064/fm-101-3-229-240.

[FOOTNOTEBourbaki1989Exercise_17.2C_p._254-23] Bourbaki 1989, Exercise 17, p. 254.

[FOOTNOTEGierzHofmannKeimelLawson2003Corollary_I-3.40.9.2C_p._114-24] Gierz et al. 2003, Corollary I-3.40.9, p. 114.

[25] "दो खुले सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन होता है". Mathematics Stack Exchange.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011Theorem_11.8.6.2C_p._396-26] Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.8.6, p. 396.

[FOOTNOTEWilansky201360-27] Wilansky 2013, p. 60.

[28] "सोर्गेनफ़्रे लाइन एक बेयर स्पेस है". Mathematics Stack Exchange.

[sorg-plane-29] 28.0 ^28.1 "सोर्गेनफ्रे विमान और नीमित्ज़की विमान बेयर स्थान हैं". Mathematics Stack Exchange.

[30] "बेयर मीट्रिक स्पेस का उदाहरण जो पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं है". Mathematics Stack Exchange.

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