परमाणु (आदेश सिद्धांत)

आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, कम से कम तत्व '0' के साथ आंशिक रूप से आदेशित सेट का एक तत्व एक 'परमाणु' है यदि '0' <a और कोई x ऐसा नहीं है कि '0' <x <a।

समतुल्य रूप से, एक परमाणु को एक ऐसे तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो गैर-शून्य तत्वों के बीच न्यूनतम तत्व है, या वैकल्पिक रूप से एक तत्व जो कम से कम तत्व '0' को कवर करता है।

परमाणु क्रम

Fig. 2: The lattice of divisors of 4, with the ordering "is divisor of", is atomic, with 2 being the only atom and coatom. It is not atomistic, since 4 cannot be obtained as least common multiple of atoms.

Fig. 1: The power set of the set {x, y, z} with the ordering "is subset of" is an atomistic partially ordered set: each member set can be obtained as the union of all singleton sets below it.

चलो <: आंशिक रूप से आदेशित सेट में कवरिंग रिलेशन को दर्शाता है।

कम से कम तत्व 0 के साथ आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट परमाणु है यदि प्रत्येक तत्व b > 0 के नीचे एक परमाणु a है, यानी कुछ a है जैसे कि b ≥ ए :> 0। प्रत्येक परिमित आंशिक रूप से 0 के साथ सेट किया गया परमाणु है, लेकिन गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट (सामान्य तरीके से क्रमबद्ध) परमाणु नहीं है (और वास्तव में कोई परमाणु नहीं है)।

एक आंशिक रूप से आदेशित सेट अपेक्षाकृत परमाणु (या दृढ़ता से परमाणु) है यदि सभी a < b के लिए एक तत्व c है जैसे कि a <:  c ≤ b या, समकक्ष, अगर हर अंतराल [a, b] परमाणु है। प्रत्येक अपेक्षाकृत परमाणु आंशिक रूप से कम से कम तत्व के साथ सेट किया गया परमाणु है। प्रत्येक परिमित पोसेट अपेक्षाकृत परमाणु होता है।

कम से कम तत्व 0 के साथ आंशिक रूप से आदेशित सेट को परमाणु कहा जाता है (परमाणु के साथ भ्रमित नहीं होना) यदि प्रत्येक तत्व परमाणुओं के एक सेट का Infimum_and_suprem#Suprema है। तीन तत्वों के साथ रैखिक क्रम परमाणुवादी नहीं है (चित्र देखें। 2)।

आंशिक रूप से आदेशित सेट में परमाणु समुच्चय सिद्धान्त में सिंगलटन (गणित) के सार सामान्यीकरण हैं (चित्र देखें। 1)। परमाणुता (परमाणु होने की संपत्ति) एक गैर-खाली सेट से एक तत्व का चयन करने की क्षमता के आदेश सिद्धांत के संदर्भ में एक सार सामान्यीकरण प्रदान करती है।

कोटम्स

कोटोम, कोटोमिक और कोटोमिस्टिक शब्दों को दो तरह से परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, सबसे बड़े तत्व '1' के साथ आंशिक रूप से आदेशित सेट में, कोई यह कहता है

• एक 'coatom' '1' से आच्छादित एक तत्व है,
• सेट 'coatomic' है अगर हर b < '1' के ऊपर एक coatomic है, और
• समुच्चय 'कोटोमिस्टिक' है यदि प्रत्येक तत्व कोटम के समुच्चय की सबसे बड़ी निचली सीमा है।

संदर्भ

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1

बाहरी संबंध

• "Atom". PlanetMath.
• "Poset". PlanetMath.