कुराटोस्की समापन अभिगृहीत

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, कुराटोस्की क्लोजर एक्सिओम्स स्वयंसिद्धों का एक सेट है जिसका उपयोग सेट (गणित) पर एक टोपोलॉजिकल संरचना को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। वे अधिक सामान्यतः उपयोग की जाने वाली खुला सेट परिभाषा के समतुल्य हैं। इन्हें सबसे पहले काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, और इस विचार का आगे वैक्लाव सिएरपिंस्की और एंटोनियो मोंटेइरो (गणितज्ञ) जैसे गणितज्ञों द्वारा अध्ययन किया गया|एंटोनियो मोंटेइरो,दूसरों के बीच में।

केवल इंटीरियर (टोपोलॉजी)#इंटीरियर ऑपरेटर की दोहरी धारणा का उपयोग करके टोपोलॉजिकल संरचना को परिभाषित करने के लिए स्वयंसिद्धों के एक समान सेट का उपयोग किया जा सकता है।

परिभाषा

कुराटोव्स्की क्लोजर ऑपरेटर्स और कमज़ोरियाँ

होने देना $X$ एक मनमाना सेट हो और $\wp (X)$ इसका सत्ता स्थापित . कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर एक यूनरी ऑपरेशन है $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ निम्नलिखित गुणों के साथ:

[K1] It preserves the empty set: $\mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing$;

[K2] It is extensive: for all $A\subseteq X$, $A\subseteq \mathbf {c} (A)$;

[K3] It is idempotent: for all $A\subseteq X$, $\mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))$;

[K4] It preserves/distributes over binary unions: for all $A,B\subseteq X$, $\mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)$.

का एक परिणाम $\mathbf {c}$ बाइनरी यूनियनों को संरक्षित करना निम्नलिखित शर्त है:

[K4'] It is monotone: $A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)$.

वास्तव में यदि हम [K4] में समानता को एक समावेशन के रूप में फिर से लिखते हैं, तो कमजोर स्वयंसिद्ध कथन [K4''] (subadditivity) देते हैं:

[K4''] It is subadditive: for all $A,B\subseteq X$, $\mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)$,

तब यह देखना आसान है कि अभिगृहीत [K4'] और [K4''] एक साथ मिलकर [K4] के समतुल्य हैं (नीचे प्रमाण 2 का अगला-से-अंतिम पैराग्राफ देखें)।

Kuratowski (1966) में पांचवां (वैकल्पिक) सिद्धांत शामिल है जिसके लिए आवश्यक है कि सिंगलटन सेट बंद होने के तहत स्थिर होना चाहिए: सभी के लिए $x\in X$, $\mathbf {c} (\{x\})=\{x\}$. वह टोपोलॉजिकल स्पेस को संदर्भित करता है जो सभी पांच स्वयंसिद्धों को टी के रूप में संतुष्ट करता है₁-अधिक सामान्य स्थानों के विपरीत रिक्त स्थान जो केवल चार सूचीबद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं। दरअसल, ये स्पेस बिल्कुल T1 स्पेस|टोपोलॉजिकल टी से मेल खाते हैं₁-सामान्य पत्राचार के माध्यम से रिक्त स्थान (नीचे देखें)। यदि आवश्यकता [K3] को छोड़ दिया जाता है, तो सिद्धांत एक Čech क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित करते हैं। यदि इसके बजाय [K1] को छोड़ दिया जाता है, तो [K2], [K3] और [K4'] को संतुष्ट करने वाले ऑपरेटर को मूर क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है। एक जोड़ी $(X,\mathbf {c} )$ संतुष्ट सिद्धांतों के आधार पर कुराटोस्की, सेच या मूर क्लोजर स्पेस कहा जाता है $\mathbf {c}$.

वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण

पेरविन द्वारा दी गई चार कुराटोस्की क्लोजर सिद्धांतों को एक ही शर्त से बदला जा सकता है:

[P] For all $A,B\subseteq X$, $A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )$.

इस आवश्यकता के परिणामस्वरूप स्वयंसिद्ध [K1]-[K4] प्राप्त किया जा सकता है:

1. चुनना $A=B=\varnothing$. तब $\varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing$, या $\mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing$. इसका तुरंत तात्पर्य है [K1]।
2. एक मनमाना चुनें $A\subseteq X$ और $B=\varnothing$. फिर, अभिगृहीत [K1] को लागू करते हुए, $A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)$, जिसका अर्थ है [K2]।
3. चुनना $A=\varnothing$ और एक मनमाना $B\subseteq X$. फिर, अभिगृहीत [K1] को लागू करते हुए, $\mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)$, जो कि [K3] है।
4. मनमाना चुनें $A,B\subseteq X$. अभिगृहीतों [K1]-[K3] को लागू करने पर, व्यक्ति [K4] प्राप्त करता है।

वैकल्पिक रूप से, Monteiro (1945) ने एक कमजोर स्वयंसिद्ध प्रस्ताव दिया था जिसमें केवल [K2]-[K4] शामिल है:

[M] For all $A,B\subseteq X$, ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$.

आवश्यकता [K1] [M] से स्वतंत्र है: वास्तव में, यदि $X\neq \varnothing$, परिचालक $\mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)$ निरंतर असाइनमेंट द्वारा परिभाषित $A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X$ [एम] को संतुष्ट करता है लेकिन खाली सेट को संरक्षित नहीं करता है $\mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X$. ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, [एम] को संतुष्ट करने वाला कोई भी ऑपरेटर मूर क्लोजर ऑपरेटर है।

[एम] का एक अधिक सममित विकल्प भी एम. ओ. बोटेल्हो और एम. एच. टेक्सेरा द्वारा स्वयंसिद्ध [K2]-[K4] को दर्शाने के लिए सिद्ध किया गया था:

[BT] For all $A,B\subseteq X$, ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$.

अनुरूप संरचनाएं

आंतरिक, बाहरी और सीमा संचालक

कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटरों के लिए एक दोहरी धारणा कुराटोस्की इंटीरियर ऑपरेटर की है, जो एक नक्शा है $\mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)$ निम्नलिखित समान आवश्यकताओं को पूरा करना:

[I1] It preserves the total space: $\mathbf {i} (X)=X$;

[I2] It is intensive: for all $A\subseteq X$, $\mathbf {i} (A)\subseteq A$;

[I3] It is idempotent: for all $A\subseteq X$, $\mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)$;

[I4] It preserves binary intersections: for all $A,B\subseteq X$, $\mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)$.

इन ऑपरेटरों के लिए, कोई ऐसे निष्कर्ष पर पहुंच सकता है जो पूरी तरह से कुराटोस्की बंद होने के अनुमान के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, सभी कुराटोस्की इंटीरियर ऑपरेटर आइसोटोनिक हैं, यानी वे '[K4']' को संतुष्ट करते हैं, और तीव्रता '[I2]' के कारण, '[I3]' में समानता को सरल समावेशन में कमजोर करना संभव है।

कुराटोस्की क्लोजर और इंटीरियर के बीच द्वंद्व प्राकृतिक 'पूरक ऑपरेटर' द्वारा प्रदान किया जाता है $\wp (X)$, वो नक्शा $\mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)$ भेजना $A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A$. यह मानचित्र पावर सेट जाली पर एक ऑर्थो ऑर्थोपूरकीकरण है, जिसका अर्थ है कि यह डी मॉर्गन के नियमों को संतुष्ट करता है: यदि ${\mathcal {I}}$ सूचकांकों का एक मनमाना सेट है और $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)$,

$$\mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).$$

इन कानूनों को नियोजित करके, परिभाषित गुणों के साथ $\mathbf {n}$, कोई यह दिखा सकता है कि परिभाषित संबंध के माध्यम से कोई भी कुराटोस्की इंटीरियर कुराटोस्की बंद करने (और इसके विपरीत) को प्रेरित करता है $\mathbf {c} :=\mathbf {nin}$ (और $\mathbf {i} :=\mathbf {ncn}$). प्रत्येक परिणाम संबंधित प्राप्त हुआ $\mathbf {c}$ संबंधित परिणाम में परिवर्तित किया जा सकता है $\mathbf {i}$ इन संबंधों को ऑर्थो कॉम्प्लीमेंटेशन के गुणों के साथ जोड़कर $\mathbf {n}$.

Pervin (1964) आगे कुराटोस्की बाहरी ऑपरेटरों के लिए अनुरूप स्वयंसिद्ध सिद्धांत प्रदान करता हैऔर कुराटोव्स्की सीमा संचालक, जो संबंधों के माध्यम से कुराटोस्की को बंद करने के लिए भी प्रेरित करता है $\mathbf {c} :=\mathbf {ne}$ और $\mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)$.

सार संचालक

Main article: Interior algebra

ध्यान दें कि स्वयंसिद्ध [K1]-[K4] को अमूर्त यूनरी ऑपरेशन को परिभाषित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है $\mathbf {c} :L\to L$ एक सामान्य परिबद्ध जाली पर $(L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )$, औपचारिक रूप से जाली से जुड़े आंशिक क्रम के साथ सेट-सैद्धांतिक समावेशन को प्रतिस्थापित करके, जॉइन ऑपरेशन के साथ सेट-सैद्धांतिक संघ, और मीट ऑपरेशन के साथ सेट-सैद्धांतिक चौराहों को प्रतिस्थापित करके; इसी तरह स्वयंसिद्धों के लिए [I1]-[I4]। यदि जाली ऑर्थोपूरक है, तो ये दो अमूर्त ऑपरेशन सामान्य तरीके से एक दूसरे को प्रेरित करते हैं। जाली पर सामान्यीकृत टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए एब्सट्रैक्ट क्लोजर या इंटीरियर ऑपरेटरों का उपयोग किया जा सकता है।

चूंकि मूर क्लोजर ऑपरेटर की आवश्यकता में न तो यूनियन और न ही खाली सेट दिखाई देता है, परिभाषा को एक अमूर्त यूनरी ऑपरेटर को परिभाषित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है $\mathbf {c} :S\to S$ एक मनमाने ढंग से आंशिक रूप से आदेशित सेट पर $S$.

टोपोलॉजी के अन्य स्वयंसिद्धीकरणों से संबंध

बंद होने से टोपोलॉजी का प्रेरण

एक क्लोजर ऑपरेटर स्वाभाविक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस को निम्नानुसार प्रेरित करता है। होने देना $X$ एक मनमाना सेट हो. हम कहेंगे कि एक उपसमुच्चय $C\subseteq X$ कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बंद है $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ यदि और केवल यदि यह उक्त ऑपरेटर का एक निश्चित बिंदु है, या दूसरे शब्दों में इसके अंतर्गत स्थिर है $\mathbf {c}$, अर्थात। $\mathbf {c} (C)=C$. दावा यह है कि कुल स्थान के सभी उपसमूहों का परिवार जो बंद सेटों के पूरक हैं, टोपोलॉजी के लिए तीन सामान्य आवश्यकताओं को पूरा करते हैं, या समकक्ष, परिवार ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ सभी बंद सेट निम्नलिखित को संतुष्ट करते हैं:

[T1] It is a bounded sublattice of $\wp (X)$, i.e. $X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$;

[T2] It is complete under arbitrary intersections, i.e. if ${\mathcal {I}}$ is an arbitrary set of indices and $\{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$, then ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T3] It is complete under finite unions, i.e. if ${\mathcal {I}}$ is a finite set of indices and $\{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$, then ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

ध्यान दें कि, निष्क्रियता [K3] द्वारा, कोई भी संक्षेप में लिख सकता है ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )$.

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof 1.

[टी1] व्यापकता से [के2], $X\subseteq \mathbf {c} (X)$ और चूंकि क्लोजर के पावर सेट को मैप करता है $X$ अपने आप में (अर्थात, किसी भी उपसमुच्चय की छवि एक उपसमुच्चय है $X$), $\mathbf {c} (X)\subseteq X$ अपने पास $X=\mathbf {c} (X)$. इस प्रकार $X\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$. खाली सेट [K1] का संरक्षण आसानी से हो जाता है $\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$. [टी2] अगला, चलो ${\mathcal {I}}$ सूचकांकों का एक मनमाना सेट बनें और चलो $C_{i}$ हर एक के लिए बंद रहेगा $i\in {\mathcal {I}}$. व्यापकता से [K2], ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$. इसके अलावा, आइसोटोनिकिटी [K4'] द्वारा, यदि ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\subseteq C_{i}}$सभी सूचकांकों के लिए $i\in {\mathcal {I}}$, तब ${\textstyle \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)\subseteq \mathbf {c} (C_{i})=C_{i}}$ सभी के लिए $i\in {\mathcal {I}}$, जो ये दर्शाता हे ${\textstyle \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$. इसलिए, ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$, अर्थ ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$. [टी3] अंत में, चलो ${\mathcal {I}}$ सूचकांकों का एक सीमित सेट बनें और चलो $C_{i}$ हर एक के लिए बंद रहेगा $i\in {\mathcal {I}}$. बाइनरी यूनियनों [K4] के संरक्षण से, और उन सबसेटों की संख्या पर गणितीय प्रेरण का उपयोग करके, जिनके हम यूनियन लेते हैं, हमारे पास है ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}=\mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\right)}$. इस प्रकार, ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

टोपोलॉजी से क्लोजर का प्रेरण

इसके विपरीत, एक परिवार दिया गया $\kappa$ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करना [टी1]-[टी3], कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर का निर्माण निम्नलिखित तरीके से संभव है: यदि $A\in \wp (X)$ और $A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}$ का समावेश ऊपरी सेट है $A$, तब

$$\mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B$$

कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर को परिभाषित करता है $\mathbf {c} _{\kappa }$ पर $\wp (X)$.

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof 2.

[के1] चूंकि $\varnothing ^{\uparrow }=\wp (X)$, $\mathbf {c} _{\kappa }(\varnothing )$ परिवार में सभी सेटों के प्रतिच्छेदन को कम करता है $\kappa$; लेकिन $\varnothing \in \kappa$ अभिगृहीत [T1] द्वारा, इसलिए प्रतिच्छेदन शून्य सेट पर सिमट जाता है और [K1] अनुसरण करता है। [के2] की परिभाषा के अनुसार $A^{\uparrow }$, हमारे पास वह है $A\subseteq B$ सभी के लिए $B\in \left(\kappa \cap A^{\uparrow }\right)$, और इस तरह $A$ ऐसे सभी सेटों के प्रतिच्छेदन में समाहित होना चाहिए। अत: व्यापकता [K2] का अनुसरण करती है। [के3] ध्यान दें, सभी के लिए $A\in \wp (X)$, परिवार $\mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa$ रोकना $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ स्वयं एक न्यूनतम तत्व के रूप में w.r.t. समावेश। इस तरह ${\textstyle \mathbf {c} _{\kappa }^{2}(A)=\bigcap _{B\in \mathbf {c} _{\kappa }(A)^{\uparrow }\cap \kappa }B=\mathbf {c} _{\kappa }(A)}$, जो कि निष्क्रियता है [K3]। [K4'] चलो $A\subseteq B\subseteq X$: तब $B^{\uparrow }\subseteq A^{\uparrow }$, और इस तरह $\kappa \cap B^{\uparrow }\subseteq \kappa \cap A^{\uparrow }$. चूँकि बाद वाले परिवार में पहले की तुलना में अधिक तत्व हो सकते हैं, हम पाते हैं $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(B)$, जो आइसोटोनिसिटी [K4'] है। ध्यान दें कि आइसोटोनिसिटी का तात्पर्य है $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ और $\mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$, जो एक साथ निहित है $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$. [K4] अंत में, ठीक करें $A,B\in \wp (X)$. अभिगृहीत [T2] का तात्पर्य है $\mathbf {c} _{\kappa }(A),\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa$; इसके अलावा, अभिगृहीत [T2] का तात्पर्य यह है $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa$. व्यापकता से [K2] एक है $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in A^{\uparrow }$ और $\mathbf {c} _{\kappa }(B)\in B^{\uparrow }$, ताकि $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)$. लेकिन $\left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)=(A\cup B)^{\uparrow }$, ताकि सब कुछ $\mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)\in \kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }$. के बाद से $\mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)$ का एक न्यूनतम तत्व है $\kappa \cap (A\cup B)^{\uparrow }$ w.r.t. समावेश, हम पाते हैं $\mathbf {c} _{\kappa }(A\cup B)\subseteq \mathbf {c} _{\kappa }(A)\cup \mathbf {c} _{\kappa }(B)$. बिंदु 4. संवेदनशीलता सुनिश्चित करता है [K4]।

दो संरचनाओं के बीच सटीक पत्राचार

वास्तव में, ये दो पूरक निर्माण एक दूसरे के विपरीत हैं: यदि $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ सभी कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटरों का संग्रह है $X$, और $\mathrm {Atp} (X)$ एक टोपोलॉजी में सभी सेटों के पूरकों से युक्त सभी परिवारों का संग्रह है, यानी सभी परिवारों का संग्रह संतोषजनक है [T1]–[T3], फिर ${\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)$ ऐसा है कि $\mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ एक आक्षेप है, जिसका व्युत्क्रम असाइनमेंट द्वारा दिया गया है ${\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }$.

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof 3.

पहले हम इसे साबित करते हैं ${\mathfrak {C}}\circ {\mathfrak {S}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$, पहचान ऑपरेटर चालू $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$. दिए गए कुराटोस्की समापन के लिए $\mathbf {c} \in \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$, परिभाषित करना $\mathbf {c} ':={\mathfrak {C}}[{\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]]$; तो अगर $A\in \wp (X)$ इसका प्राइमेड क्लोज़र $\mathbf {c} '(A)$ सभी का प्रतिच्छेदन है $\mathbf {c}$-स्थिर सेट जिसमें शामिल हैं $A$. यह नॉन-प्राइमेड क्लोज़र है $\mathbf {c} (A)$ इस विवरण को संतुष्ट करता है: व्यापकता से [K2] हमारे पास है $A\subseteq \mathbf {c} (A)$, और निष्क्रियता से [K3] हमारे पास है $\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))=\mathbf {c} (A)$, और इस तरह $\mathbf {c} (A)\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]\right)$. अब चलो $C\in \left(A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]\right)$ ऐसा है कि $A\subseteq C\subseteq \mathbf {c} (A)$: आइसोटोनिटी द्वारा [K4'] हमारे पास है $\mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (C)$, और तबसे $\mathbf {c} (C)=C$ हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $C=\mathbf {c} (A)$. इस तरह $\mathbf {c} (A)$ का न्यूनतम तत्व है $A^{\uparrow }\cap {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]$ w.r.t. समावेशन, तात्पर्य $\mathbf {c} '(A)=\mathbf {c} (A)$. अब हम इसे साबित करते हैं ${\mathfrak {S}}\circ {\mathfrak {C}}={\mathfrak {1}}_{\mathrm {Atp} (X)}$. अगर $\kappa \in \mathrm {Atp} (X)$ और $\kappa ':={\mathfrak {S}}[{\mathfrak {C}}[\kappa ]]$ सभी सेटों का परिवार है जिसके अंतर्गत स्थिर हैं $\mathbf {c} _{\kappa }$, परिणाम इस प्रकार है यदि दोनों $\kappa '\subseteq \kappa$ और $\kappa \subseteq \kappa '$. होने देना $A\in \kappa '$: इस तरह $\mathbf {c} _{\kappa }(A)=A$. तब से $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ के एक मनमाने उपपरिवार का प्रतिच्छेदन है $\kappa$, और बाद वाला [T2] द्वारा मनमाने प्रतिच्छेदन के तहत पूरा होता है $A=\mathbf {c} _{\kappa }(A)\in \kappa$. इसके विपरीत, यदि $A\in \kappa$, तब $\mathbf {c} _{\kappa }(A)$ का न्यूनतम सुपरसेट है $A$ जो इसमें समाहित है $\kappa$. लेकिन वह तुच्छ है $A$ स्वयं, तात्पर्य $A\in \kappa '$.

हम देखते हैं कि कोई आपत्ति का विस्तार भी कर सकता है ${\mathfrak {S}}$ संग्रह के लिए $\mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)$ सभी Čech क्लोजर ऑपरेटरों में से, जिसमें सख्ती से शामिल है $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$; यह विस्तार ${\overline {\mathfrak {S}}}$ विशेषण भी है, जो दर्शाता है कि सभी Čech क्लोजर ऑपरेटर चालू हैं $X$ पर एक टोपोलॉजी भी प्रेरित करें $X$. हालाँकि, इसका मतलब यह है ${\overline {\mathfrak {S}}}$ अब कोई आपत्ति नहीं है.

उदाहरण

• जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया है $X$ हम किसी उपसमुच्चय के समापन को परिभाषित कर सकते हैं $A\subseteq X$ सेट होना $\mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ a closed subset of }}X|A\subseteq C\}$, यानी सभी बंद सेटों का प्रतिच्छेदन $X$ किसमें है $A$. सेट $\mathbf {c} (A)$ का सबसे छोटा बंद सेट है $X$ युक्त $A$, और ऑपरेटर $\mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)$ कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर है।
• अगर $X$ कोई सेट है, ऑपरेटर $\mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)$ ऐसा है कि
  $$\mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),$$
  कुराटोव्स्की बंद हैं। पहला तुच्छ टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $\{\varnothing ,X\}$, जबकि दूसरा असतत टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $\wp (X)$.

• मनमाना ठीक करें $S\subsetneq X$, और जाने $\mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)$ ऐसा हो कि $\mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S$ सभी के लिए $A\in \wp (X)$. तब $\mathbf {c} _{S}$ कुराटोव्स्की क्लोजर को परिभाषित करता है; बंद सेटों का संगत परिवार ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]$ के साथ मेल खाता है $S^{\uparrow }$, जिसमें शामिल सभी उपसमुच्चय का परिवार $S$. कब $S=\varnothing$, हम एक बार फिर असतत टोपोलॉजी को पुनः प्राप्त करते हैं $\wp (X)$ (अर्थात। $\mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }$, जैसा कि परिभाषाओं से देखा जा सकता है)।
• अगर $\lambda$ ऐसी एक अनंत कार्डिनल संख्या है $\lambda \leq \operatorname {crd} (X)$, फिर ऑपरेटर $\mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)$ ऐसा है कि
  $$\mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}$$
  सभी चार कुराटोव्स्की सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। अगर $\lambda =\aleph _{0}$, यह ऑपरेटर सह-परिमित टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $X$; अगर $\lambda =\aleph _{1}$, यह सहगणनीय टोपोलॉजी को प्रेरित करता है।

गुण

• चूंकि कोई भी कुराटोस्की क्लोजर आइसोटोनिक है, और जाहिर तौर पर कोई भी समावेशन मैपिंग है, तो किसी के पास (आइसोटोनिक) गैलोइस कनेक्शन है $\langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle$, एक दृश्य प्रदान किया गया $\wp (X)$समावेशन के संबंध में एक स्थिति के रूप में, और $\mathrm {im} (\mathbf {c} )$ के उपसमूह के रूप में $\wp (X)$. वास्तव में, इसे सभी के लिए आसानी से सत्यापित किया जा सकता है $A\in \wp (X)$ और $C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )$, $\mathbf {c} (A)\subseteq C$ अगर और केवल अगर $A\subseteq \iota (C)$.
• अगर $\{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}$ का एक उपपरिवार है $\wp (X)$, तब
  $$\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).$$
• अगर $A,B\in \wp (X)$, तब $\mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)$.

समापन के संदर्भ में टोपोलॉजिकल अवधारणाएँ

शोधन और उपस्थान

कुराटोव्स्की की एक जोड़ी बंद हो जाती है $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)$ ऐसा है कि $\mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)$ सभी के लिए $A\in \wp (X)$ टोपोलॉजी प्रेरित करें $\tau _{1},\tau _{2}$ ऐसा है कि $\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$, और इसके विपरीत। दूसरे शब्दों में, $\mathbf {c} _{1}$ हावी $\mathbf {c} _{2}$ यदि और केवल यदि उत्तरार्द्ध द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी पूर्व या समकक्ष द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी का परिशोधन है ${\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]$. उदाहरण के लिए, $\mathbf {c} _{\top }$ स्पष्ट रूप से हावी है $\mathbf {c} _{\bot }$(उत्तरार्द्ध केवल पहचान है $\wp (X)$). चूँकि प्रतिस्थापित करके भी उसी निष्कर्ष पर पहुँचा जा सकता है $\tau _{i}$ सपरिवार $\kappa _{i}$ इसके सभी सदस्यों के पूरक शामिल हैं, यदि $\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)$ आंशिक व्यवस्था से संपन्न है $\mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)$ सभी के लिए $A\in \wp (X)$ और $\mathrm {Atp} (X)$ शोधन क्रम से संपन्न है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं ${\mathfrak {S}}$ पॉसेट्स के बीच एक एंटीटॉनिक मैपिंग है।

किसी भी प्रेरित टोपोलॉजी में (उपसमुच्चय ए के सापेक्ष) बंद सेट एक नए क्लोजर ऑपरेटर को प्रेरित करते हैं जो कि ए तक सीमित मूल क्लोजर ऑपरेटर है: $\mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)$, सभी के लिए $B\subseteq A$.

सतत मानचित्र, बंद मानचित्र और समरूपताएँ

एक समारोह $f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')$ एक बिंदु पर निरंतरता (टोपोलॉजी) है $p$ आईएफएफ $p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))$, और यह हर जगह निरंतर है iff

$$f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))$$

सभी उपसमुच्चय के लिए $A\in \wp (X)$. मानचित्रण $f$ यदि रिवर्स समावेशन कायम रहता है तो यह एक बंद नक्शा है, और यह एक समरूपता है यदि यह निरंतर और बंद दोनों है, अर्थात यदि समानता कायम है।

पृथक्करण अभिगृहीत

होने देना $(X,\mathbf {c} )$ कुराटोव्स्की क्लोजर स्पेस बनें। तब

• $X$ एक T0 स्थान है|T₀-अंतरिक्ष यदि $x\neq y$ तात्पर्य $\mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})$;
• $X$ एक T1 स्पेस है|T₁-अंतरिक्ष यदि $\mathbf {c} (\{x\})=\{x\}$ सभी के लिए $x\in X$;
• $X$ एक हॉसडॉर्फ़ स्थान है|टी₂-अंतरिक्ष यदि $x\neq y$ तात्पर्य यह है कि एक समुच्चय मौजूद है $A\in \wp (X)$ ऐसे कि दोनों $x\notin \mathbf {c} (A)$ और $y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))$, कहाँ $\mathbf {n}$ सेट पूरक ऑपरेटर है.

निकटता और अलगाव

एक बिंदु $p$ एक उपसमुच्चय से निकटता (टोपोलॉजी) है $A$ अगर $p\in \mathbf {c} (A).$इसका उपयोग किसी सेट के बिंदुओं और उपसमुच्चय पर निकटता स्थान संबंध को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। दो सेट $A,B\in \wp (X)$ अलग हो गए हैं iff $(A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing$. अंतरिक्ष $X$ जुड़ा हुआ स्थान है यदि इसे दो अलग-अलग उपसमूहों के मिलन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

यह भी देखें

• Characterizations of the category of topological spaces
• Čech closure operator
• Closure operator
• Closure algebra
• Preclosure operator
• Pretopological space
• Topological space

संदर्भ

• Kuratowski, Kazimierz (1922) [1920], "Sur l'opération A de l'Analysis Situs" [On the operation A in Analysis Situs] (PDF), Fundamenta Mathematicae (in français), vol. 3, pp. 182–199.
• Kuratowski, Kazimierz (1966) [1958], Topology, vol. I, translated by Jaworowski, J., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, LCCN 66029221.
  • —— (2010). "On the Operation Ā Analysis Situs". ResearchGate. Translated by Mark Bowron.
• Pervin, William J. (1964), Boas, Ralph P. Jr. (ed.), Foundations of General Topology, Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN 64-17796.
• Arkhangel'skij, A.V.; Fedorchuk, V.V. (1990) [1988], Gamkrelidze, R.V.; Arkhangel'skij, A.V.; Pontryagin, L.S. (eds.), General Topology I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 17, translated by O'Shea, D.B., Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3, LCCN 89-26209.
• Monteiro, António (September 1943), "Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome" [Characterization of the operation of closure by a single axiom], Portugaliae mathematica (in français) (published 1945), vol. 4, no. 4, pp. 158–160, Zbl 0060.39406.

बाहरी संबंध

• Alternative Characterizations of Topological Spaces