गैलोइस कनेक्शन

गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, गैलोज़ कनेक्शन दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पोसेट्स) के बीच एक विशेष पत्राचार (आमतौर पर) है। गैलोज़ कनेक्शन विभिन्न गणितीय सिद्धांतों में अनुप्रयोग पाते हैं। वे उपसमूहों और क्षेत्र विस्तार के बीच पत्राचार के बारे में गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का सामान्यीकरण करते हैं, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ एवरिस्ट गैलोज़ ने खोजा था।

गैलोज़ कनेक्शन को पूर्व-आदेशित सेट या पूर्व-आदेशित वर्ग पर भी परिभाषित किया जा सकता है; यह आलेख पोसेट्स का सामान्य मामला प्रस्तुत करता है। साहित्य में गैलोज़ कनेक्शन की दो निकट संबंधी धारणाएँ शामिल हैं। इस लेख में, हम उन्हें (मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन और एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के रूप में संदर्भित करेंगे।

शामिल पोसेट्स के बीच आदेश समरूपता की तुलना में गैलोज़ कनेक्शन कमजोर है, लेकिन प्रत्येक गैलोज़ कनेक्शन कुछ उप-पॉसेट्स के आइसोमोर्फिज्म को जन्म देता है, जैसा कि नीचे बताया जाएगा। गैलोज़ पत्राचार शब्द का प्रयोग कभी-कभी विशेषण गैलोइस कनेक्शन के लिए किया जाता है; यह बस एक क्रम समरूपता है (या दोहरे क्रम समरूपता, यह इस पर निर्भर करता है कि हम मोनोटोन या एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन लेते हैं)।

परिभाषाएँ

(मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन

होने देना $(A, \leq)$ और $(B, \leq)$ दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट हों। इन पोसेट्स के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन में दो मोनोटोन फ़ंक्शन होते हैं^[1] फ़ंक्शन (गणित): $F : A \to B$ और $G : B \to A$ , ऐसा कि सभी के लिए $a$ में $A$ और $b$ में $B$ , अपने पास

F (a) \leq b

अगर और केवल अगर

a \leq G (b)

.

इस स्थिति में, $F$ का निचला जोड़ कहलाता है $G$ और $G$ को ए का ऊपरी जोड़ कहा जाता है। शब्दार्थ की दृष्टि से, ऊपरी/निचली शब्दावली से तात्पर्य उस स्थान से है जहां फ़ंक्शन एप्लिकेशन ≤ के सापेक्ष प्रकट होता है।^[2] एडजॉइंट शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन श्रेणी सिद्धांत में सहायक कारक के जोड़े के विशेष मामले हैं जैसा कि नीचे चर्चा की गई है। यहां मिलने वाली अन्य शब्दावली निचले (सम्मानित ऊपरी) जोड़ के लिए बायां जोड़ (सम्मान दायां जोड़) है।

गैलोज़ कनेक्शन की एक आवश्यक संपत्ति यह है कि गैलोज़ कनेक्शन का ऊपरी/निचला जोड़ विशिष्ट रूप से दूसरे को निर्धारित करता है:

F (a)

सबसे छोटा तत्व है

~ b

साथ

a \leq G (~ b)

, और

G (b)

सबसे बड़ा तत्व है

~ a

साथ

F (~ a) \leq b

.

इसका एक परिणाम यह है कि यदि $F$ या $G$ उलटा है,^{[clarification needed]} तो प्रत्येक दूसरे का व्युत्क्रम फलन है, अर्थात्। $F = G -1$ .

निचले जोड़ के साथ गैलोज़ कनेक्शन दिया गया है $F$ और ऊपरी जोड़ $G$ , हम फ़ंक्शन संरचना पर विचार कर सकते हैं $GF : A \to A$ , संबद्ध बंद करने वाला ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, और $FG : B \to B$ , संबद्ध कर्नेल ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। दोनों नीरस और नीरस हैं, और हमारे पास है $a \leq GF (a)$ सभी के लिए $a$ में $A$ और $FG (b) \leq b$ सभी के लिए $b$ में $B$ .

का एक गैलोइस सम्मिलन $B$ में $A$ एक गैलोइस कनेक्शन है जिसमें कर्नेल ऑपरेटर है $FG$ पहचान फ़ंक्शन चालू है $B$ , और इसलिए $G$ का एक क्रम समरूपता है $B$ विशेषण बंद तत्वों का समुच्चय $GF$ &हेयरस्प;[ $A$ ] का $A$ .^[3]

एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन

उपरोक्त परिभाषा आज कई अनुप्रयोगों में आम है, और जाली (क्रम) और डोमेन सिद्धांत में प्रमुख है। हालाँकि गैलोज़ सिद्धांत में मूल धारणा थोड़ी अलग है। इस वैकल्पिक परिभाषा में, गैलोज़ कनेक्शन एंटीटोन की एक जोड़ी है, यानी ऑर्डर-रिवर्सिंग, फ़ंक्शन $F : A \to B$ और $G : B \to A$ दो पॉसेट के बीच $A$ और $B$ , ऐसा है कि

b \leq F (a)

अगर और केवल अगर

a \leq G (b)

.

की समरूपता $F$ और $G$ इस संस्करण में ऊपरी और निचले के बीच का अंतर मिट जाता है, और फिर दोनों कार्यों को सहायक के बजाय ध्रुवीयताएं कहा जाता है।^[4] चूँकि प्रत्येक ध्रुवता दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करती है

F (a)

सबसे बड़ा तत्व है

b

साथ

a \leq G (b)

, और

G (b)

सबसे बड़ा तत्व है

a

साथ

b \leq F (a)

.

रचना $GF : A \to A$ और $FG : B \to B$ संबद्ध क्लोजर ऑपरेटर हैं; वे संपत्ति के साथ मोनोटोन निष्क्रिय मानचित्र हैं $a \leq GF (a)$ सभी के लिए $a$ में $A$ और $b \leq FG (b)$ सभी के लिए $b$ में $B$ .

गैलोज़ कनेक्शन की दो परिभाषाओं के निहितार्थ बहुत समान हैं, क्योंकि इनके बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन है $A$ और $B$ के बीच बस एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन है $A$ और द्वैत (आदेश सिद्धांत) $B op$ का $B$ . गैलोज़ कनेक्शन पर नीचे दिए गए सभी कथनों को आसानी से एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन के बारे में बयानों में परिवर्तित किया जा सकता है।

उदाहरण

मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन

पावर सेट; निहितार्थ और संयोजन

आदेश-सैद्धांतिक उदाहरण के लिए, आइए $U$ कुछ सेट (गणित) हो, और चलो $A$ और $B$ दोनों का सत्ता स्थापित हो $U$ , सबसेट समावेशन द्वारा आदेश दिया गया। एक निश्चित उपसमुच्चय चुनें $L$ का $U$ . फिर नक्शे $F$ और $G$ , कहाँ $F (M) = L \cap M$ , और $G(N ) = N ∪ (U \ L)$ , एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाएं, साथ $F$ निचला जोड़ होना। एक समान गैलोज़ कनेक्शन जिसका निचला जोड़ मीट (इन्फ़िमम) ऑपरेशन द्वारा दिया गया है, किसी भी हेटिंग बीजगणित में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, यह किसी भी बूलियन बीजगणित (संरचना) में मौजूद है, जहां दो मैपिंग का वर्णन किया जा सकता है $F (x) = (a \land x)$ और $G (y) = (y \lor \neg a) = (a \Rightarrow y)$ . तार्किक दृष्टि से: से निहितार्थ $a$ के साथ संयोजन का ऊपरी जोड़ है $a$ .

जालियाँ

गैलोज़ कनेक्शन के लिए और भी दिलचस्प उदाहरण पूर्णता (ऑर्डर सिद्धांत) पर लेख में वर्णित हैं। मोटे तौर पर, यह पता चलता है कि सामान्य कार्य ∨ और ∧ विकर्ण मानचित्र के निचले और ऊपरी जोड़ हैं $X \to X \times X$ . आंशिक क्रम के सबसे छोटे और सबसे बड़े तत्व अद्वितीय फ़ंक्शन के निचले और ऊपरी जोड़ द्वारा दिए जाते हैं $X \to {1}.$ आगे जाकर, पूर्ण जालकों को भी उपयुक्त जोड़ों के अस्तित्व द्वारा चित्रित किया जा सकता है। ये विचार क्रम सिद्धांत में गैलोज़ कनेक्शन की सर्वव्यापकता का कुछ आभास देते हैं।

सकर्मक समूह क्रियाएँ

होने देना $G$ समूह क्रिया समूह क्रिया#क्रियाओं के उल्लेखनीय गुण $X$ और कुछ बिंदु चुनें $x$ में $X$ . विचार करना

{\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\ \mathrm {or} \ gB\cap B=\emptyset \},

युक्त ब्लॉकों का सेट $x$ . आगे, चलो ${\mathcal {G}}$ के उपसमूहों से मिलकर बनता है $G$ जिसमें ग्रुप एक्शन#ऑर्बिट्स और स्टेबलाइजर्स शामिल हैं $x$ .

फिर, पत्राचार ${\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}$ :

B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}

एक मोनोटोन, इंजेक्शन समारोह है|वन-टू-वन गैलोज़ कनेक्शन।^[5] परिणाम के रूप में, कोई यह स्थापित कर सकता है कि दोगुनी सकर्मक क्रियाओं में तुच्छ क्रियाओं (सिंगलटन या संपूर्ण) के अलावा कोई अवरोध नहीं होता है $X$ ): यह स्टेबलाइजर्स के अधिकतम होने से होता है $G$ उस मामले में। आगे की चर्चा के लिए 2-सकर्मक समूह देखें।

छवि और उलटा छवि

अगर $f : X \to Y$ एक फ़ंक्शन (गणित) है, फिर किसी भी उपसमुच्चय के लिए $M$ का $X$ हम छवि बना सकते हैं (गणित) $F (M) = f M = {f (m) | m \in M}$ और किसी भी उपसमुच्चय के लिए $N$ का $Y$ हम उलटा प्रतिबिम्ब बना सकते हैं $G (N) = f -1 N = {x \in X | f (x) \in N}.$ तब $F$ और $G$ के पावर सेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाएं $X$ और का पावर सेट $Y$ , दोनों को ⊆ शामिल करके क्रमबद्ध किया गया है। इस स्थिति में एक और सहायक युग्म है: एक उपसमुच्चय के लिए $M$ का $X$ , परिभाषित करना $H (M) = {y \in Y | f -1 {y} \subseteq M}.$ तब $G$ और $H$ के पावर सेट के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाएं $Y$ और का पावर सेट $X$ . पहले गैलोज़ कनेक्शन में, $G$ ऊपरी जोड़ है, जबकि दूसरे गैलोज़ कनेक्शन में यह निचले जोड़ के रूप में कार्य करता है।

बीजगणितीय वस्तुओं (जैसे समूह (गणित)) के बीच भागफल समूह के मामले में, इस संबंध को जाली प्रमेय कहा जाता है: के उपसमूह $G$ के उपसमूहों से जुड़ें $G / N$ , और उपसमूहों पर क्लोजर ऑपरेटर $G$ द्वारा दिया गया है $H = HN$ .

अवधि और समापन

कोई गणितीय वस्तु चुनें $X$ जिसमें एक अंतर्निहित सेट होता है, उदाहरण के लिए एक समूह, रिंग (गणित), सदिश स्थल , आदि। किसी भी उपसमुच्चय के लिए $S$ का $X$ , होने देना $F (S)$ का सबसे छोटा उपविषय बनें $X$ उसमें सम्मिलित है $S$ , यानी उपसमूह, उपरिंग या रैखिक उपस्थान द्वारा उत्पन्न $S$ . किसी भी उपवस्तु के लिए $U$ का $X$ , होने देना $G (U)$ का अंतर्निहित सेट हो $U$ . (हम ले भी सकते हैं $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनने के लिए, चलो $F (S)$ का समापन (टोपोलॉजी)। $S$ , और उप-विषयों के रूप में लें $X$ के बंद उपसमुच्चय $X$ ।) अब $F$ और $G$ के उपसमुच्चय के बीच एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाएं $X$ और के उपविषय $X$ , यदि दोनों को शामिल करने का आदेश दिया गया है। $F$ निचला जोड़ है.

वाक्यविन्यास और शब्दार्थ

विलियम लॉवरे की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी^[6] क्या वह वाक्य-विन्यास और शब्दार्थ एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं: लीजिए $A$ सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का सेट होना, और $B$ सभी गणितीय संरचनाओं के सेट की शक्ति सेट। एक सिद्धांत के लिए $T \in A$ , होने देना $Mod(T)$ उन सभी संरचनाओं का समुच्चय बनें जो स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं $T$ &हेयरस्प;; गणितीय संरचनाओं के एक सेट के लिए $S \in B$ , होने देना $Th(S)$ अनुमानित स्वयंसिद्धताओं में से न्यूनतम हो $S$ (प्रथम-क्रम तर्क में, यह वाक्यों का समूह है जो सभी संरचनाओं में सत्य है $S$ ). तब हम ऐसा कह सकते हैं $Mod(T)$ का एक उपसमुच्चय है $S$ अगर और केवल अगर $T$ तार्किक रूप से तात्पर्य है $Th(S)$ : शब्दार्थ फ़ंक्टर $Mod$ और सिंटैक्स फ़ैक्टर $Th$ एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाते हैं, जिसमें शब्दार्थ ऊपरी सहायक होता है।

एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन

गैलोइस सिद्धांत

प्रेरक उदाहरण गैलोज़ सिद्धांत से आता है: मान लीजिए $L / K$ एक फ़ील्ड एक्सटेंशन है. होने देना $A$ के सभी उपक्षेत्रों का समुच्चय बनें $L$ जिसमें शामिल है $K$ , समावेशन द्वारा आदेश दिया गया ⊆. अगर $E$ एक ऐसा उपक्षेत्र है, लिखो $Gal(L / E)$ फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म के समूह के लिए $L$ वह पकड़ $E$ हल किया गया। होने देना $B$ के उपसमूहों का समुच्चय हो $Gal(L / K)$ , समावेशन द्वारा आदेश दिया गया ⊆. ऐसे उपसमूह के लिए $G$ , परिभाषित करना $Fix(G)$ के सभी तत्वों से युक्त क्षेत्र होना $L$ जो कि सभी तत्वों द्वारा स्थिर रखे गए हैं $G$ . फिर नक्शे $E {{{1}}} Gal(L / E)$ और $G {{{1}}} Fix(G)$ एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाएं।

बीजगणितीय टोपोलॉजी: रिक्त स्थान को कवर करना

अनुरूप रूप से, पथ-संबद्ध टोपोलॉजिकल स्थान दिया गया है $X$ , मौलिक समूह के उपसमूहों के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन है $π 1 (X)$ और पथ से जुड़े जगह को कवर करना $X$ . विशेषकर, यदि $X$ अर्ध-स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ है, फिर प्रत्येक उपसमूह के लिए $G$ का $π 1 (X)$ , के साथ एक कवरिंग स्पेस है $G$ इसके मौलिक समूह के रूप में।

रैखिक बीजगणित: संहारक और ऑर्थोगोनल पूरक

एक आंतरिक उत्पाद स्थान दिया गया $V$ , हम ऑर्थोगोनल पूरक बना सकते हैं $F (X)$ किसी भी उपस्थान का $X$ का $V$ . इससे उप-स्थानों के सेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन प्राप्त होता है $V$ और स्वयं, समावेशन द्वारा आदेशित; दोनों ध्रुवताएँ समान हैं $F$ .

एक सदिश स्थान दिया गया है $V$ और एक उपसमुच्चय $X$ का $V$ हम इसके संहारक को परिभाषित कर सकते हैं $F (X)$ , जिसमें दोहरे स्थान के सभी तत्व शामिल हैं $V *$ का $V$ वह गायब हो जाता है $X$ . इसी प्रकार, एक उपसमुच्चय दिया गया है $Y$ का $V *$ , हम इसके संहारक को परिभाषित करते हैं $G (Y) = {x \in V | φ (x) = 0 \forall φ \in Y}.$ यह के उपसमुच्चय के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन देता है $V$ और के उपसमुच्चय $V *$ .

बीजगणितीय ज्यामिति

बीजगणितीय ज्यामिति में, बहुपदों के सेट और उनके शून्य सेट के बीच का संबंध एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन है।

एक प्राकृत संख्या निश्चित करें $n$ और एक क्षेत्र (गणित) $K$ और जाने $A$ बहुपद वलय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो $K [X 1, ..., X n]$ समावेशन द्वारा आदेश दिया गया ⊆, और चलो $B$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय हो $K n$ समावेशन द्वारा आदेश दिया गया ⊆. अगर $S$ बहुपदों का एक समूह है, बीजगणितीय ज्यामिति#शून्य की एफ़िन किस्मों को इस प्रकार परिभाषित करें

V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in S\},

बहुपदों के एक बहुपद के सामान्य मूल का समुच्चय $S$ . अगर $U$ का एक उपसमुच्चय है $K n$ , परिभाषित करना $I (U)$ लुप्त हो रहे बहुपदों के आदर्श (रिंग सिद्धांत) के रूप में $U$ , वह है

I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in U\}.

तब $V$ और मैं एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन बनाता हूं।

बंद जारी $K n$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी में क्लोजर है, और यदि फ़ील्ड है $K$ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, तो बहुपद रिंग पर बंद होने से उत्पन्न आदर्श के आदर्श का मूलांक होता है $S$ .

अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय दिया गया है $R$ (जरूरी नहीं कि एक बहुपद वलय), वलय में मूल आदर्शों और बीजगणितीय ज्यामिति की उप-किस्मों के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन है#एफ़िन किस्में $Spec (R)$ .

अधिक आम तौर पर, रिंग में आदर्शों और संबंधित बीजीय ज्यामिति#एफ़िन किस्मों की उपयोजनाओं के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन होता है।

द्विआधारी संबंधों से उत्पन्न होने वाले पावर सेट पर कनेक्शन

कल्पना करना $X$ और $Y$ मनमाना सेट और एक द्विआधारी संबंध हैं $R$ ऊपर $X$ और $Y$ दिया हुआ है। किसी भी उपसमुच्चय के लिए $M$ का $X$ , हम परिभाषित करते हैं $F (M) = {y \in Y | mRy \forall m \in M}.$ इसी तरह, किसी भी उपसमुच्चय के लिए $N$ का $Y$ , परिभाषित करना $G (N) = {x \in X | xRn \forall n \in N}.$ तब $F$ और $G$ के पावर सेट के बीच एक एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन उत्पन्न करें $X$ और $Y$ , दोनों को ⊆ शामिल करके क्रमबद्ध किया गया है।^[7] समरूपता तक शक्ति सेटों के बीच सभी एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन इसी तरह से उत्पन्न होते हैं। यह संकल्पना जालक पर मूल प्रमेय से अनुसरण करता है।^[8] बाइनरी संबंधों से उत्पन्न गैलोज़ कनेक्शन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का औपचारिक अवधारणा विश्लेषण में अध्ययन किया जाता है। वह क्षेत्र गणितीय डेटा विश्लेषण के लिए गैलोइस कनेक्शन का उपयोग करता है। गैलोइस कनेक्शन के लिए कई एल्गोरिदम संबंधित साहित्य में पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, में।^[9]

गुण

निम्नलिखित में, हम एक (मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन पर विचार करते हैं $f = (f *, f *)$ , कहाँ {{math| f ^∗ : A → B}जैसा कि ऊपर बताया गया है, } निचला जोड़ है। कुछ उपयोगी और शिक्षाप्रद बुनियादी गुण तुरंत प्राप्त किए जा सकते हैं। गैलोज़ कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति द्वारा, $f * (x) \leq f * (x)$ के बराबर है $x \leq f * (f * (x))$ , सभी के लिए $x$ में $A$ . इसी तरह के तर्क से (या सिर्फ द्वंद्व (आदेश सिद्धांत) को लागू करके), कोई इसे पाता है $f * (f * (y)) \leq y$ , सभी के लिए $y$ में $B$ . इन गुणों को समग्र कहकर वर्णित किया जा सकता है $f * \circ f *$ अपस्फीतिकारी है, जबकि $f * \circ f *$ मुद्रास्फीतिकारी (या व्यापक) है।

अब विचार करें $x, y \in A$ ऐसा है कि $x \leq y$ . फिर उपरोक्त का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है $x \leq f * (f * (y))$ . गैलोज़ कनेक्शन की मूल संपत्ति को लागू करते हुए, अब कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है $f * (x) \leq f * (y)$ . लेकिन ये तो यही दर्शाता है $f *$ किन्हीं दो तत्वों के क्रम को सुरक्षित रखता है, अर्थात यह एकस्वर है। पुनः, एक समान तर्क से एकरसता उत्पन्न होती है $f *$ . इस प्रकार परिभाषा में एकरसता को स्पष्ट रूप से शामिल करने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, एकरसता का उल्लेख करने से गैलोज़ कनेक्शन की दो वैकल्पिक धारणाओं के बारे में भ्रम से बचने में मदद मिलती है।

गैलोइस कनेक्शन की एक और बुनियादी संपत्ति यह तथ्य है $f * (f * (f * (x))) = f * (x)$ , सभी के लिए $x$ में $B$ . स्पष्ट रूप से हम इसे पाते हैं

f * (f * (f * (x))) \geq f * (x)

.

क्योंकि {{math| f_∗∘ f ^∗}जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, } मुद्रास्फीतिकारी है। दूसरी ओर, चूंकि $f * \circ f *$ अपस्फीतिकारी है, जबकि $f *$ मोनोटोनिक है, कोई ऐसा पाता है

f * (f * (f * (x))) \leq f * (x)

.

यह वांछित समानता दर्शाता है. इसके अलावा, हम इस संपत्ति का उपयोग यह निष्कर्ष निकालने के लिए कर सकते हैं

f * (f * (f * (f * (x)))) = f * (f * (x))

और

f * (f * (f * (f * (x)))) = f * (f * (x))

अर्थात।, $f * \circ f *$ और $f * \circ f *$ नपुंसक हैं.

यह दिखाया जा सकता है (प्रमाण के लिए ब्लिथ या एर्ने देखें) कि एक फ़ंक्शन $f$ एक निचला (सम्मान ऊपरी) जोड़ है यदि और केवल यदि $f$ एक अवशिष्ट मानचित्रण (सम्मान अवशिष्ट मानचित्रण) है। इसलिए, अवशिष्ट मानचित्रण और मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन की धारणा मूलतः समान है।

क्लोजर ऑपरेटर और गैलोज़ कनेक्शन

उपरोक्त निष्कर्षों को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है: गैलोज़ कनेक्शन के लिए, समग्र $f * \circ f *$ मोनोटोन (मोनोटोन कार्यों का सम्मिश्रण होने के कारण), मुद्रास्फीतिकारी और निष्क्रिय है। ये बताता है $f * \circ f *$ वास्तव में एक क्लोजर ऑपरेटर है $A$ . दोहरी, $f * \circ f *$ नीरस, अपस्फीतिकारी और निष्क्रिय है। ऐसी मैपिंग को कभी-कभी कर्नेल ऑपरेटर कहा जाता है। फ़्रेम और लोकेशंस के संदर्भ में, समग्र $f * \circ f *$ द्वारा प्रेरित नाभिक कहलाता है $f$ . नाभिक फ़्रेम समरूपता को प्रेरित करता है; किसी स्थान के उपसमुच्चय को उपस्थान कहा जाता है यदि यह एक नाभिक द्वारा दिया गया हो।

बातचीत (तर्क)तर्क), कोई भी क्लोजर ऑपरेटर $c$ कुछ पोसेट पर $A$ निचले जोड़ के साथ गैलोज़ कनेक्शन को जन्म देता है $f *$ का केवल मुख्य प्रतिबंध होना $c$ की छवि के लिए $c$ (अर्थात क्लोजर सिस्टम की विशेषण मैपिंग के रूप में $c (A)$ ). ऊपरी जोड़ $f *$ फिर के समावेशन मानचित्र द्वारा दिया गया है $c (A)$ में $A$ , जो प्रत्येक बंद तत्व को अपने आप में मैप करता है, जिसे एक तत्व के रूप में माना जाता है $A$ . इस तरह, क्लोजर ऑपरेटरों और गैलोइस कनेक्शन को निकटता से संबंधित देखा जाता है, प्रत्येक दूसरे का एक उदाहरण निर्दिष्ट करते हैं। इसी तरह के निष्कर्ष कर्नेल ऑपरेटरों के लिए भी सही हैं।

उपरोक्त विचार यह भी दर्शाते हैं कि बंद तत्व $A$ (तत्व $x$ साथ $f * (f * (x)) = x$ ) कर्नेल ऑपरेटर की सीमा के भीतर तत्वों पर मैप किए जाते हैं $f * \circ f *$ , और इसके विपरीत।

गैलोज़ कनेक्शन का अस्तित्व और विशिष्टता

गैलोइस कनेक्शन की एक और महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि निचले जोड़ किसी फ़ंक्शन के उनके डोमेन के भीतर मौजूद सभी सर्वोच्च को संरक्षित (ऑर्डर सिद्धांत) सीमित करते हैं। दोहरी रूप से, ऊपरी जोड़ सभी मौजूदा न्यूनतम को संरक्षित करते हैं। इन गुणों से, कोई तुरंत जोड़ों की एकरसता का निष्कर्ष भी निकाल सकता है। एडजॉइंट फंक्टर प्रमेय (ऑर्डर थ्योरी) में कहा गया है कि कुछ मामलों में विपरीत निहितार्थ भी मान्य है: विशेष रूप से, पूर्ण लैटिस के बीच कोई भी मैपिंग जो सभी अंतिम को संरक्षित करती है वह गैलोज़ कनेक्शन का निचला एडजॉइंट है।

इस स्थिति में, गैलोज़ कनेक्शन की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि एक जोड़ दूसरे को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। इसलिए कोई यह गारंटी देने के लिए उपरोक्त कथन को मजबूत कर सकता है कि पूर्ण जाली के बीच कोई भी सर्वोच्च-संरक्षण मानचित्र एक अद्वितीय गैलोज़ कनेक्शन का निचला जोड़ है। इस विशिष्टता को प्राप्त करने की मुख्य संपत्ति निम्नलिखित है: प्रत्येक के लिए $x$ में $A$ , $f * (x)$ सबसे छोटा तत्व है $y$ का $B$ ऐसा है कि $x \leq f * (y)$ . दोहरी, प्रत्येक के लिए $y$ में $B$ , $f * (y)$ सबसे बड़ा है $x$ में $A$ ऐसा है कि $f * (x) \leq y$ . एक निश्चित गैलोज़ कनेक्शन का अस्तित्व अब संबंधित सबसे कम या सबसे बड़े तत्वों के अस्तित्व को दर्शाता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संबंधित पोसेट किसी पूर्णता (आदेश सिद्धांत) को संतुष्ट करते हैं या नहीं। इस प्रकार, जब गैलोज़ कनेक्शन का एक ऊपरी जोड़ दिया जाता है, तो दूसरे ऊपरी जोड़ को इसी संपत्ति के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।

दूसरी ओर, कुछ मोनोटोन फ़ंक्शन $f$ एक निचला जोड़ है यदि और केवल यदि प्रपत्र का प्रत्येक सेट ${x \in A | f (x) \leq b},$ के लिए $b$ में $B$ , एक महानतम तत्व शामिल है। फिर, इसे ऊपरी जोड़ के लिए दोहरा किया जा सकता है।

गैलोज़ कनेक्शन रूपवाद के रूप में

गैलोइस कनेक्शन पॉसेट्स के बीच मैपिंग का एक दिलचस्प वर्ग भी प्रदान करता है जिसका उपयोग पॉसेट्स की श्रेणी (गणित) प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, गैलोज़ कनेक्शन की रचना करना संभव है: गैलोज़ कनेक्शन दिए गए $(f *, f *)$ पोज़ के बीच $A$ और $B$ और $(g *, g *)$ बीच में $B$ और $C$ , समग्र $(g * \circ f *, f * \circ g *)$ गैलोज़ कनेक्शन भी है। पूर्ण अक्षांशों की श्रेणियों पर विचार करते समय, इसे सभी सुप्रीमा (या, वैकल्पिक रूप से, इन्फिमा) को संरक्षित करने वाले मैपिंग पर विचार करने के लिए सरल बनाया जा सकता है। संपूर्ण जालकों को उनके द्वैत में मैप करते हुए, ये श्रेणियां ऑटो द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) प्रदर्शित करती हैं, जो अन्य द्वैत प्रमेयों को प्राप्त करने के लिए काफी मौलिक हैं। अधिक विशेष प्रकार के रूपवाद जो दूसरी दिशा में आसन्न मानचित्रण को प्रेरित करते हैं, वे रूपवाद हैं जिन्हें आमतौर पर पूर्ण हेयटिंग बीजगणित (या स्थानों) के लिए माना जाता है।

श्रेणी सिद्धांत से संबंध

प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को प्राकृतिक तरीके से एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है: x से y तक एक अद्वितीय रूपवाद है यदि और केवल यदि $x \leq y$ . एक मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों से उत्पन्न होने वाली दो श्रेणियों के बीच सहायक फ़ैक्टर्स की एक जोड़ी के अलावा और कुछ नहीं है। इस संदर्भ में, ऊपरी जोड़ दायां जोड़ है जबकि निचला जोड़ बायां जोड़ है। हालाँकि, गैलोइस कनेक्शन के लिए इस शब्दावली से बचा जाता है, क्योंकि एक समय था जब पॉसेट्स को दोहरी शैली में श्रेणियों में बदल दिया गया था, यानी विपरीत दिशा की ओर इशारा करने वाले रूपवाद के साथ। इससे बाएँ और दाएँ जोड़ से संबंधित एक पूरक संकेतन का जन्म हुआ, जो आज अस्पष्ट है।

प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में अनुप्रयोग

प्रोग्रामिंग भाषाओं की अमूर्त व्याख्या के सिद्धांत में अमूर्तता के कई रूपों का वर्णन करने के लिए गैलोइस कनेक्शन का उपयोग किया जा सकता है।^[10]^[11]

↑ Monotonicity follows from the following condition. See the discussion of the properties. It is only explicit in the definition to distinguish it from the alternative antitone definition. One can also define Galois connections as a pair of monotone functions that satisfy the laxer condition that for all $x$ in $A$ , $x \leq g (f (x))$ and for all $y$ in $B$ , $f (g (y)) \leq y$ .
↑ Gierz, p. 23
↑ Bistarelli, Stefano (2004). सॉफ्ट बाधा समाधान और प्रोग्रामिंग के लिए सेमीरिंग्स. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2962. Springer-Verlag. p. 102. arXiv:cs/0208008. doi:10.1007/978-3-540-25925-1_8. ISBN 3-540-21181-0. ISSN 0302-9743.
↑ Galatos, p. 145
↑ See Alperin, Bell, Groups and Representations (GTM 162), p. 32
↑ William Lawvere, Adjointness in foundations, Dialectica, 1969, available here. The notation is different nowadays; an easier introduction by Peter Smith in these lecture notes, which also attribute the concept to the article cited.
↑ Birkhoff, 1st edition (1940): §32, 3rd edition (1967): Ch. V, §7 and §8
↑ Ganter, B. and Wille, R. Formal Concept Analysis -- Mathematical Foundations, Springer (1999), ISBN 978-3-540-627715
↑ Ganter, B. and Obiedkov, S. Conceptual Exploration, Springer (2016), ISBN 978-3-662-49290-1
↑ Patrick Cousot; Radhia Cousot (Jan 1977). "Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints" (PDF). Proc. 4th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL). pp. 238–252.
For a counterexample for the false theorem in Sect.7 (p.243 top right), see: Jochen Burghardt; Florian Kammüller; Jeff W. Sanders (Dec 2000). Isomorphism of Galois Embeddings (Technical report). Vol. 122. GMD. p. 9-14. ISSN 1435-2702. (However the original article only considers complete lattices)
↑ Patrick Cousot; Radhia Cousot (Jan 1979). "Systematic Design of Program Analysis Frameworks" (PDF). Proc. 6th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL). ACM Press. pp. 269–282.

संदर्भ

The following books and survey articles include Galois connections using the monotone definition:

Brian A. Davey and Hilary A. Priestley: Introduction to Lattices and Order, Cambridge University Press, 2002.
Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.
Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. (Freely available online in various file formats PS.GZ PS, it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area.)

Some publications using the original (antitone) definition:

Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Thomas Scott Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski, and Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5.
Garrett Birkhoff: Lattice Theory, Amer. Math. Soc. Coll. Pub., Vol 25, 1940
Ore, Øystein (1944), "Galois Connexions", Transactions of the American Mathematical Society, 55 (3): 493–513, doi:10.2307/1990305, JSTOR 1990305

[1] Monotonicity follows from the following condition. See the discussion of the properties. It is only explicit in the definition to distinguish it from the alternative antitone definition. One can also define Galois connections as a pair of monotone functions that satisfy the laxer condition that for all $x$ in $A$ , $x \leq g (f (x))$ and for all $y$ in $B$ , $f (g (y)) \leq y$ .

[2] Gierz, p. 23

[3] Bistarelli, Stefano (2004). सॉफ्ट बाधा समाधान और प्रोग्रामिंग के लिए सेमीरिंग्स. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2962. Springer-Verlag. p. 102. arXiv:cs/0208008. doi:10.1007/978-3-540-25925-1_8. ISBN 3-540-21181-0. ISSN 0302-9743.

[4] Galatos, p. 145

[5] See Alperin, Bell, Groups and Representations (GTM 162), p. 32

[6] William Lawvere, Adjointness in foundations, Dialectica, 1969, available here. The notation is different nowadays; an easier introduction by Peter Smith in these lecture notes, which also attribute the concept to the article cited.

[7] Birkhoff, 1st edition (1940): §32, 3rd edition (1967): Ch. V, §7 and §8

[8] Ganter, B. and Wille, R. Formal Concept Analysis -- Mathematical Foundations, Springer (1999), ISBN 978-3-540-627715

[9] Ganter, B. and Obiedkov, S. Conceptual Exploration, Springer (2016), ISBN 978-3-662-49290-1

[10] Patrick Cousot; Radhia Cousot (Jan 1977). "Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints" (PDF). Proc. 4th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL). pp. 238–252.
For a counterexample for the false theorem in Sect.7 (p.243 top right), see: Jochen Burghardt; Florian Kammüller; Jeff W. Sanders (Dec 2000). Isomorphism of Galois Embeddings (Technical report). Vol. 122. GMD. p. 9-14. ISSN 1435-2702. (However the original article only considers complete lattices)

[11] Patrick Cousot; Radhia Cousot (Jan 1979). "Systematic Design of Program Analysis Frameworks" (PDF). Proc. 6th ACM Symp. on Principles of Programming Languages (POPL). ACM Press. pp. 269–282.

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गैलोइस कनेक्शन

Contents

परिभाषाएँ

(मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन

एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन

उदाहरण

मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन

पावर सेट; निहितार्थ और संयोजन

जालियाँ

सकर्मक समूह क्रियाएँ

छवि और उलटा छवि

अवधि और समापन

वाक्यविन्यास और शब्दार्थ

एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन

गैलोइस सिद्धांत

बीजगणितीय टोपोलॉजी: रिक्त स्थान को कवर करना

रैखिक बीजगणित: संहारक और ऑर्थोगोनल पूरक

बीजगणितीय ज्यामिति

द्विआधारी संबंधों से उत्पन्न होने वाले पावर सेट पर कनेक्शन

गुण

क्लोजर ऑपरेटर और गैलोज़ कनेक्शन

गैलोज़ कनेक्शन का अस्तित्व और विशिष्टता

गैलोज़ कनेक्शन रूपवाद के रूप में

श्रेणी सिद्धांत से संबंध

प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में अनुप्रयोग

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