क्लॉसियस प्रमेय

क्लॉज़ियस प्रमेय (1855), जिसे 'क्लॉज़ियस असमानता' के रूप में भी जाना जाता है, में कहा गया है कि एक थर्मोडायनामिक प्रणाली (जैसे इंजन गर्म करें या हीट पंप और रेफ्रिजरेशन चक्र) के लिए थर्मल जलाशय के साथ गर्मी का आदान-प्रदान और एक थर्मोडायनामिक चक्र से गुजरना, निम्नलिखित असमानता रखती है .

$-\oint dS_{\text{Res}}=\oint {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}\leq 0,$

कहाँ $\oint dS_{\text{Res}}$ बाहरी थर्मल जलाशयों (आसपास) में कुल एन्ट्रापी परिवर्तन है, $\delta Q$ गर्मी की एक अतिसूक्ष्म मात्रा है जो प्रत्येक जलाशय से होती है और सिस्टम द्वारा अवशोषित होती है ($\delta Q>0$ अगर जलाशय से गर्मी प्रणाली द्वारा अवशोषित की जाती है, और $\delta Q$ < 0 अगर सिस्टम से जलाशय में गर्मी जा रही है) और $T_{\text{surr}}$ समय में एक विशेष पल में जलाशय का तापमान है। बंद इंटीग्रल प्रारंभिक/अंतिम अवस्था से उसी प्रारंभिक/अंतिम अवस्था (थर्मोडायनामिक चक्र) तक एक थर्मोडायनामिक प्रक्रिया पथ के साथ किया जाता है। सिद्धांत रूप में, बंद अभिन्न पथ के साथ एक मनमाने बिंदु पर शुरू और समाप्त हो सकता है।

क्लॉसियस प्रमेय या असमानता स्पष्ट रूप से निहित है $\oint dS_{\text{Res}}\geq 0$ प्रति थर्मोडायनामिक चक्र, जिसका अर्थ है कि जलाशयों की एन्ट्रापी बढ़ती है या नहीं बदलती है, कभी नहीं घटती है, प्रति चक्र।

विभिन्न तापमान वाले कई थर्मल जलाशयों के लिए $\left(T_{1},T_{2},\dots ,T_{N}\right)$ थर्मोडायनामिक चक्र से गुजरने वाली थर्मोडायनामिक प्रणाली की बातचीत करते हुए, क्लॉसियस असमानता को अभिव्यक्ति की स्पष्टता के लिए निम्नलिखित के रूप में लिखा जा सकता है:

$-\oint dS_{\text{Res}}=\oint \left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {\delta Q_{n}}{T_{n}}}\right)\leq 0.$

कहाँ $\delta Q_{n}$ जलाशय से एक असीम गर्मी है $n$ प्रणाली के लिए।

उत्क्रमणीय प्रक्रिया के विशेष मामले में, समानता धारण करती है, और प्रतिवर्ती मामले का उपयोग एंट्रॉपी के रूप में जाने वाले राज्य समारोह को पेश करने के लिए किया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक चक्रीय प्रक्रिया में एक राज्य फ़ंक्शन की भिन्नता प्रति चक्र शून्य होती है, इसलिए तथ्य यह है कि यह इंटीग्रल शून्य प्रति चक्र के बराबर है, एक प्रतिवर्ती प्रक्रिया में इसका अर्थ है कि कुछ फ़ंक्शन (एन्ट्रॉपी) है जिसका असीम परिवर्तन है ${\frac {\delta Q}{T}}$.

क्लॉसियस की सामान्यीकृत असमानता

$dS_{\text{sys}}\geq {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}$

के लिए $dS_{\text{sys}}$ विचाराधीन प्रणाली (sys द्वारा चिह्नित) की एन्ट्रॉपी में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन न केवल चक्रीय प्रक्रियाओं पर लागू होता है, बल्कि किसी बंद प्रणाली में होने वाली किसी भी प्रक्रिया पर लागू होता है।

क्लॉसियस असमानता गर्मी हस्तांतरण के प्रत्येक अतिसूक्ष्म चरण में ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम को लागू करने का एक परिणाम है। क्लॉसियस के बयान में कहा गया है कि एक ऐसे उपकरण का निर्माण करना असंभव है जिसका एकमात्र प्रभाव ठंडे जलाशय से गर्म जलाशय में गर्मी का स्थानांतरण हो। समान रूप से, गर्मी स्वचालित रूप से गर्म शरीर से कूलर में बहती है, दूसरी तरफ नहीं।

इतिहास

क्लॉसियस प्रमेय ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का गणितीय प्रतिनिधित्व है। यह रुडोल्फ क्लॉसियस द्वारा विकसित किया गया था, जो एक प्रणाली में गर्मी के प्रवाह और प्रणाली और उसके आसपास के एन्ट्रापी के बीच संबंधों को समझाने का इरादा रखता था। क्लॉसियस ने एन्ट्रापी की व्याख्या करने और इसे मात्रात्मक रूप से परिभाषित करने के अपने प्रयासों में इसे विकसित किया। अधिक प्रत्यक्ष शब्दों में, प्रमेय हमें यह निर्धारित करने का एक तरीका देता है कि चक्रीय प्रक्रिया उलटा या अपरिवर्तनीय है या नहीं। क्लॉसियस प्रमेय दूसरे नियम को समझने के लिए एक मात्रात्मक सूत्र प्रदान करता है।

क्लॉसियस एंट्रॉपी के विचार पर काम करने वाले पहले लोगों में से एक थे और यहां तक ​​कि इसे यह नाम देने के लिए भी जिम्मेदार हैं। जिसे अब क्लॉसियस प्रमेय के रूप में जाना जाता है, वह पहली बार 1862 में क्लॉसियस के छठे संस्मरण में प्रकाशित हुआ था, आंतरिक कार्य में परिवर्तनों की समतुल्यता के प्रमेय के अनुप्रयोग पर। क्लासियस ने एन्ट्रॉपी और सिस्टम में हीटिंग (δQ) द्वारा ऊर्जा प्रवाह के बीच आनुपातिक संबंध दिखाने की मांग की। एक प्रणाली में, इस ऊष्मा ऊर्जा को कार्य में रूपांतरित किया जा सकता है, और चक्रीय प्रक्रिया के माध्यम से कार्य को ऊष्मा में रूपांतरित किया जा सकता है। क्लॉसियस लिखते हैं कि चक्रीय प्रक्रिया में होने वाले सभी परिवर्तनों का बीजगणितीय योग केवल शून्य से कम हो सकता है, या, एक चरम मामले के रूप में, कुछ भी नहीं के बराबर हो सकता है। दूसरे शब्दों में, समीकरण

$\oint {\frac {\delta Q}{T}}=0$

हीटिंग के कारण सिस्टम में 𝛿Q ऊर्जा प्रवाह होने के कारण और T शरीर का पूर्ण तापमान होने पर जब ऊर्जा अवशोषित होती है, किसी भी प्रक्रिया के लिए सही पाया जाता है जो चक्रीय और प्रतिवर्ती है। क्लॉसियस ने फिर इसे एक कदम आगे बढ़ाया और निर्धारित किया कि निम्नलिखित संबंध को किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए सही पाया जाना चाहिए जो कि संभव है, प्रतिवर्ती है या नहीं। यह संबंध क्लॉसियस असमानता है,

$\oint {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}\leq 0$

कहाँ $\delta Q$ गर्मी की एक अतिसूक्ष्म मात्रा है जो सिस्टम के साथ इंटरैक्ट करने वाले थर्मल जलाशय से होती है और सिस्टम द्वारा अवशोषित होती है ($\delta Q>0$ अगर जलाशय से गर्मी प्रणाली द्वारा अवशोषित की जाती है, और $\delta Q$ < 0 अगर सिस्टम से जलाशय में गर्मी जा रही है) और $T_{\text{surr}}$ समय में एक विशेष पल में जलाशय का तापमान है। अब जब यह ज्ञात हो गया है, क्लॉसियस असमानता और एंट्रॉपी के बीच एक संबंध विकसित होना चाहिए। चक्र के दौरान सिस्टम में जोड़े गए एंट्रॉपी एस की मात्रा को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$\Delta S{=}\oint {\frac {\delta Q}{T}}$

यह निर्धारित किया गया है, जैसा कि ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम में कहा गया है, कि एन्ट्रॉपी एक राज्य कार्य है: यह केवल उस स्थिति पर निर्भर करता है जिसमें सिस्टम है, न कि सिस्टम ने वहां पहुंचने के लिए क्या रास्ता अपनाया। यह ऊष्मा (𝛿Q) और कार्य (𝛿W) के रूप में जोड़ी गई ऊर्जा की मात्रा के विपरीत है, जो पथ के आधार पर भिन्न हो सकती है। चक्रीय प्रक्रिया में, इसलिए, चक्र की शुरुआत में सिस्टम की एंट्रॉपी चक्र के अंत में एंट्रॉपी के बराबर होनी चाहिए (क्योंकि एंट्रॉपी एक राज्य कार्य है), $\Delta S=0$, भले ही प्रक्रिया प्रतिवर्ती या अपरिवर्तनीय हो। अपरिवर्तनीय मामलों में, सिस्टम जलाशयों में शुद्ध एन्ट्रॉपी जोड़ा जाता है $(\Delta S_{\text{surr}}>0)$ प्रति थर्मोडायनामिक चक्र जबकि प्रतिवर्ती मामलों में, जलाशयों में कोई एन्ट्रापी नहीं बनाई या जोड़ी जाती है।

यदि प्रक्रिया के दौरान ताप द्वारा जोड़ी गई ऊर्जा की मात्रा को मापा जा सकता है, और प्रक्रिया के दौरान तापमान को मापा जा सकता है, तो क्लॉसियस असमानता में एकीकरण करके प्रक्रिया को उलटा या अपरिवर्तनीय निर्धारित करने के लिए क्लॉसियस असमानता का उपयोग किया जा सकता है। . यदि अभिन्न परिणाम शून्य के बराबर है तो यह एक उत्क्रमणीय प्रक्रिया है, जबकि यदि शून्य से अधिक है तो एक अपरिवर्तनीय प्रक्रिया (शून्य से कम संभव नहीं हो सकती)।

प्रमाण

क्लॉसियस असमानता में इंटीग्रैंड के भाजक में प्रवेश करने वाला तापमान थर्मल जलाशय का तापमान होता है जिसके साथ सिस्टम गर्मी का आदान-प्रदान करता है। प्रक्रिया के प्रत्येक पल में, सिस्टम बाहरी जलाशय के संपर्क में है।

ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के कारण, सिस्टम और जलाशयों के बीच प्रत्येक अतिसूक्ष्म ताप विनिमय प्रक्रिया में, ब्रह्मांड की एन्ट्रापी में शुद्ध परिवर्तन, ऐसा कहना है, है $dS_{\text{Total}}=dS_{\text{Sys}}+dS_{\text{Res}}\geq 0$, जहाँ Sys और Res क्रमशः सिस्टम और जलाशय के लिए खड़े हैं।

क्लॉसियस प्रमेय या असमानता के प्रमाण में, ऊष्मा की एक चिन्ह परिपाटी का उपयोग किया जाता है; किसी विचाराधीन वस्तु के परिप्रेक्ष्य में, जब वस्तु द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है तो ऊष्मा धनात्मक होती है, जबकि जब वस्तु से ऊष्मा निकलती है तो ऊष्मा ऋणात्मक होती है।

जब सिस्टम एक अधिक गर्म (गर्म) थर्मल जलाशय से एक असीम मात्रा में गर्मी लेता है $\delta Q_{1}$($\geq 0$), एंट्रॉपी में शुद्ध परिवर्तन के लिए $dS_{{\text{Total}}_{1}}$ ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम को पूरा करने के लिए इस चरण में सकारात्मक या शून्य (यानी, गैर-नकारात्मक) होने के लिए (यहां चरण 1 कहा जाता है) गर्म थर्मल जलाशय का तापमान $T_{\text{Hot}}$ उस समय सिस्टम के तापमान के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए; अगर सिस्टम का तापमान द्वारा दिया जाता है $T_{1}$ उस पल में, तब ${\textstyle dS_{{\text{Sys}}_{1}}={\frac {\delta Q_{1}}{T_{1}}}}$ तत्काल प्रणाली में एंट्रॉपी परिवर्तन के रूप में, और $T_{\text{Hot}}\geq T_{1}$ हमें मजबूर करता है:

$-dS_{{\text{Res}}_{1}}={\frac {\delta Q_{1}}{T_{\text{Hot}}}}\leq {\frac {\delta Q_{1}}{T_{1}}}=dS_{{\text{Sys}}_{1}}$

इसका अर्थ है गर्म जलाशय से एन्ट्रापी हानि का परिमाण, ${\textstyle \left|dS_{{\text{Res}}_{1}}\right|={\frac {\delta Q_{1}}{T_{\text{Hot}}}}}$ एंट्रॉपी लाभ के परिमाण के बराबर या उससे कम है ${\textstyle dS_{{\text{Sys}}_{1}}={\frac {\delta Q_{1}}{T_{1}}}}$($\geq 0$) सिस्टम द्वारा, इसलिए शुद्ध एन्ट्रापी परिवर्तन $dS_{{\text{Total}}_{1}}$ शून्य या सकारात्मक है।

इसी तरह, जब सिस्टम तापमान पर $T_{2}$ परिमाण में ऊष्मा को बाहर निकालता है $\left|\delta Q_{2}\right|=-\delta Q_{2}$ ($\delta Q_{2}\leq 0$) एक ठंडे (ठंडे) थर्मल जलाशय में (तापमान पर $T_{\text{Cold}}\leq T_{2}$) एक अपरिमेय चरण में (जिसे चरण 2 कहा जाता है), फिर से, ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम को धारण करने के लिए, एक बहुत ही समान तरीके से:

$$-dS_{{\text{Res}}_{2}}={\frac {\delta Q_{2}}{T_{\text{Cold}}}}\leq {\frac {\delta Q_{2}}{T_{2}}}=dS_{{\text{Sys}}_{2}}$$

यहाँ, सिस्टम द्वारा 'अवशोषित' ऊष्मा की मात्रा किसके द्वारा दी जाती है $\delta Q_{2}$ $\leq 0$, यह दर्शाता है कि गर्मी वास्तव में सिस्टम से ठंडे जलाशय में स्थानांतरित (छोड़ रही है) कर रही है $dS_{{\text{Sys}}_{2}}\leq 0$. ठंडे जलाशय द्वारा प्राप्त एन्ट्रापी का परिमाण ${\textstyle dS_{{\text{Res}}_{2}}=-{\frac {\delta Q_{2}}{T_{\text{cold}}}}}$ सिस्टम की एन्ट्रापी हानि के परिमाण के बराबर या उससे अधिक है $\left|dS_{{\text{Sys}}_{2}}\right|$, इसलिए नेट एन्ट्रापी बदल जाती है $dS_{{\text{Total}}_{2}}$ इस मामले में भी शून्य या धनात्मक है।

क्योंकि सिस्टम के लिए एन्ट्रॉपी में कुल परिवर्तन एक थर्मोडायनामिक चक्रीय प्रक्रिया में शून्य है, जहां सिस्टम के सभी राज्य कार्यों को रीसेट किया जाता है या प्रत्येक चक्र के पूरा होने पर प्रारंभिक मूल्यों (प्रक्रिया शुरू होने पर मान) पर लौटाया जाता है, यदि कोई सभी अपरिमेय को जोड़ता है पिछले दो समीकरणों द्वारा दर्शाए गए जलाशयों से गर्मी के सेवन और गर्मी के निष्कासन के चरण, प्रत्येक जलाशय के तापमान के साथ दिए गए प्रत्येक पल में $T_{\text{surr}}$, एक मिलता है

$-\oint dS_{\text{Res}}=\oint {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}\leq \oint dS_{\text{Sys}}=0.$

विशेष रूप से,

$\oint {\frac {\delta Q}{T_{\text{surr}}}}\leq 0,$

जो सिद्ध होना था (और अब सिद्ध हो गया है)।

संक्षेप में, (नीचे दिए गए तीसरे कथन में असमानता, ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम द्वारा स्पष्ट रूप से गारंटी दी जा रही है, जो हमारी गणना का आधार है),

$\oint dS_{\text{Res}}\geq 0,$

$\oint dS_{\text{Sys}}=0$ (चक्रीय प्रक्रिया के रूप में),

$\oint dS_{\text{Total}}=\oint dS_{\text{Res}}+\oint dS_{\text{Sys}}\geq 0.$

एक प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मप्रवैगिकी) थर्मोडायनामिक चक्र प्रक्रिया के लिए, प्रत्येक अनंत गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाओं में एन्ट्रॉपी की कोई पीढ़ी नहीं होती है क्योंकि सिस्टम और थर्मल जलाशयों के बीच व्यावहारिक रूप से कोई तापमान अंतर नहीं होता है (यानी, सिस्टम एन्ट्रापी परिवर्तन और जलाशय एन्ट्रापी परिवर्तन किसी भी समय परिमाण में बराबर और संकेत में विपरीत होता है।), इसलिए निम्नलिखित समानता रखती है,

$\oint {\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}=0,$

$\oint dS_{\text{Res}}=0,$

$\oint dS_{\text{Sys}}=0$ (चक्रीय प्रक्रिया के रूप में),

$\oint dS_{\text{Total}}=\oint dS_{\text{Res}}+\oint dS_{\text{Sys}}=0.$

क्लॉसियस असमानता गर्मी हस्तांतरण के प्रत्येक अतिसूक्ष्म चरण में ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम को लागू करने का एक परिणाम है, और इस प्रकार दूसरे कानून की तुलना में एक कमजोर स्थिति है।

हीट इंजन दक्षता

ताप इंजन मॉडल में दो तापीय जलाशयों (गर्म और ठंडे जलाशयों) के साथ, किसी भी ताप इंजन की दक्षता की सीमा $\eta ={\frac {W}{{Q}_{1}}}$, कहाँ $W$ और $Q_{1}$ ऊष्मा इंजन द्वारा किए गए कार्य और गर्म तापीय जलाशय से इंजन में क्रमशः स्थानांतरित किए गए ताप, ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम (यानी, ऊर्जा के संरक्षण के नियम) और क्लॉसियस प्रमेय या असमानता द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं।

उष्मा की उपर्युक्त चिन्ह परिपाटी के संबंध में,

${{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}=W\to \eta ={\frac {W}{{Q}_{1}}}=1+{\frac {{Q}_{2}}{{Q}_{1}}}$,

कहाँ $Q_{2}$ गर्मी इंजन से ठंडे जलाशय में स्थानांतरित की जाती है।

क्लॉसियस असमानता ${\frac {{Q}_{1}}{{T}_{1}}}+{\frac {{Q}_{2}}{{T}_{2}}}\leq 0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\frac {{Q}_{2}}{{Q}_{1}}}\leq -{\frac {{T}_{2}}{{T}_{1}}}$. उपरोक्त समीकरण में इस असमानता को प्रतिस्थापित करने पर परिणाम प्राप्त होता है,

$\eta ={\frac {W}{{Q}_{1}}}\leq 1-{\frac {{T}_{2}}{{T}_{1}}}$.

यह ऊष्मा इंजन की क्षमता की सीमा है, और इस अभिव्यक्ति की समानता को कार्नोट चक्र कहा जाता है, जो सभी प्रतिवर्ती ताप इंजनों की दक्षता और सभी ताप इंजनों की अधिकतम दक्षता है।

यह भी देखें

• केल्विन-प्लैंक कथन
• कार्नोट की प्रमेय (थर्मोडायनामिक्स)
• कार्नोट हीट इंजन
• एन्ट्रापी का परिचय

संदर्भ

अग्रिम पठन

• Morton, A. S., and P.J. Beckett. Basic Thermodynamics. New York: Philosophical Library Inc., 1969. Print.
• Saad, Michel A. Thermodynamics for Engineers. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1966. Print.
• Hsieh, Jui Sheng. Principles of Thermodynamics. Washington, D.C.: Scripta Book Company, 1975. Print.
• Zemansky, Mark W. Heat and Thermodynamics. 4th ed. New York: McGwaw-Hill Book Company, 1957. Print.
• Clausius, Rudolf. The Mechanical Theory of Heat. London: Taylor and Francis, 1867. eBook

बाहरी संबंध

• Judith McGovern (2004-03-17). "Proof of Clausius's theorem". Archived from the original on July 19, 2011. Retrieved October 4, 2010.
• "The Clausius Inequality And The Mathematical Statement Of The Second Law" (PDF). Retrieved October 5, 2010.
• The Mechanical Theory of Heat (eBook). Retrieved December 1, 2011.