क्वांटम रोटर मॉडल

क्वांटम रोटर मॉडल क्वांटम प्रणाली के लिए एक गणितीय मॉडल है। इसे घूमने वाले इलेक्ट्रॉनों की एक श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है जो कठोर रोटार के रूप में व्यवहार करते हैं जो अपने चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षणों (कूलम्ब बलों की उपेक्षा) से उत्पन्न होने वाली छोटी दूरी के द्विध्रुवीय-द्विध्रुवीय चुंबकीय बलों के माध्यम से बातचीत करते हैं। यह मॉडल आइसिंग मॉडल और हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) जैसे समान स्पिन-मॉडल से भिन्न है क्योंकि इसमें गतिज ऊर्जा के अनुरूप एक शब्द शामिल है।

यद्यपि प्राथमिक क्वांटम रोटर प्रकृति में मौजूद नहीं हैं, मॉडल पर्याप्त रूप से छोटी संख्या की प्रणाली के लिए स्वतंत्रता की प्रभावी डिग्री (यांत्रिकी) का वर्णन कर सकता है निम्न-ऊर्जा अवस्थाओं में घनिष्ठ रूप से युग्मित इलेक्ट्रॉनों की। मान लीजिए कि किसी दिए गए साइट पर मॉडल की एन-आयामी स्थिति (अभिविन्यास) वेक्टर है $i$ है $\mathbf {n}$. फिर, हम रोटर गति को परिभाषित कर सकते हैं $\mathbf {p}$ घटकों के रूपान्तरण संबंध द्वारा $\alpha ,\beta$

$[n_{\alpha },p_{\beta }]=i\delta _{\alpha \beta }$ हालाँकि, यह सुविधाजनक पाया गया हैरोटर कोणीय गति ऑपरेटरों का उपयोग करने के लिए $\mathbf {L}$ घटकों द्वारा परिभाषित (3 आयामों में)। $L_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }n_{\beta }p_{\gamma }$ फिर, क्वांटम रोटर्स और इस प्रकार उनकी ऊर्जा स्थितियों के बीच चुंबकीय अंतःक्रियाओं को निम्नलिखित हैमिल्टनियन यांत्रिकी#गणितीय औपचारिकता द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$H_{R}={\frac {J{\bar {g}}}{2}}\sum _{i}\mathbf {L} _{i}^{2}-J\sum _{\langle ij\rangle }\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {n} _{j}$

कहाँ $J,{\bar {g}}$ स्थिरांक हैं.. अंतःक्रिया योग को निकटतम पड़ोसियों पर लिया जाता है, जैसा कि कोण कोष्ठक द्वारा दर्शाया गया है। बहुत छोटे और बहुत बड़े के लिए ${\bar {g}}$हैमिल्टनियन दो अलग-अलग विन्यासों (जमीनी अवस्थाओं) की भविष्यवाणी करता है, अर्थात् क्रमशः चुंबकीय रूप से क्रमबद्ध रोटर्स और अव्यवस्थित या अनुचुंबकत्व रोटर्स।

क्वांटम रोटर्स के बीच की बातचीत को एक अन्य (समकक्ष) हैमिल्टनियन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो रोटर्स को चुंबकीय क्षणों के रूप में नहीं बल्कि स्थानीय विद्युत धाराओं के रूप में मानता है।

गुण

रोटर मॉडल की महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक निरंतर ऑर्थोगोनल समूह | ओ (एन) समरूपता है, और इसलिए चुंबकीय रूप से क्रमबद्ध स्थिति में संबंधित समरूपता का टूटना है। हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) की दो परतों वाली प्रणाली में $\mathbf {S} _{1i}$ और $\mathbf {S} _{2i}$रोटर मॉडल हेमिल्टनियन के साथ हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेट की कम-ऊर्जा स्थिति का अनुमान लगाता है

$H_{d}=K\sum _{i}\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{2i}+J\sum _{\langle ij\rangle }\left(\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{1j}+\mathbf {S} _{2i}\cdot \mathbf {S} _{2j}\right)$

पत्राचार का उपयोग करना $\mathbf {L} _{i}=\mathbf {S} _{1i}+\mathbf {S} _{2i}$

क्वांटम रोटर मॉडल का विशेष मामला जिसमें O(2) समरूपता है, का उपयोग जोसेफसन जंक्शनों के अतिचालक सरणी या ऑप्टिकल जाली में बोसॉन के व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।O(3) समरूपता का एक अन्य विशिष्ट मामला क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम) की दो परतों (बाईलेयर) की एक प्रणाली के बराबर है; यह डबल-लेयर क्वांटम हॉल प्रभाव फेरोमैग्नेट्स का भी वर्णन कर सकता है। यह भी दिखाया जा सकता है कि दो आयामी रोटर मॉडल के लिए चरण संक्रमण में प्रतिलौहचुम्बक िक हाइजेनबर्ग स्पिन मॉडल के समान ही पुनर्सामान्यीकरण समूह होता है।

यह भी देखें

• हाइजेनबर्ग मॉडल (क्वांटम)
• आइज़िंग मॉडल