क्वांटाइल फ़ंक्शन

probit सामान्य वितरण का मात्रात्मक कार्य है।

संभाव्यता और सांख्यिकी में, मात्रात्मक फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर के मान को इस प्रकार आउटपुट करता है कि इसकी संभाव्यता वितरण इनपुट संभाव्यता मान से कम या उसके बराबर हो। सहज रूप से, क्वांटाइल फ़ंक्शन एक संभाव्यता इनपुट पर और उसके नीचे एक सीमा के साथ जुड़ता है, संभावना है कि कुछ संभाव्यता वितरण के लिए उस सीमा में एक यादृच्छिक चर का एहसास होता है। इसे प्रतिशतक फलन (प्रतिशतक के बाद), प्रतिशत-बिंदु फलन या व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन (संचयी वितरण फलन के बाद) भी कहा जाता है।

परिभाषा

सख्ती से मोनोटोनिक वितरण फ़ंक्शन

एक सतत और कड़ाई से मोनोटोनिक संचयी वितरण फ़ंक्शन के संदर्भ में $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ एक यादृच्छिक चर X का, क्वांटाइल फ़ंक्शन $Q\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ इसके इनपुट p को थ्रेशोल्ड मान x पर मैप करता है ताकि X के x से कम या बराबर होने की संभावना p हो। वितरण फ़ंक्शन F के संदर्भ में, क्वांटाइल फ़ंक्शन Q मान x इस प्रकार लौटाता है

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p\,,$

जिसे सी.डी.एफ. के व्युत्क्रम के रूप में लिखा जा सकता है।

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p)\,.$

संचयी वितरण फ़ंक्शन (F(x) के रूप में दिखाया गया है) q मानों के फ़ंक्शन के रूप में p मान देता है। क्वांटाइल फ़ंक्शन इसके विपरीत कार्य करता है: यह p मानों के फ़ंक्शन के रूप में q मान देता है। ध्यान दें कि लाल रंग में F(x) का भाग एक क्षैतिज रेखा खंड है।

सामान्य वितरण फलन

वितरण कार्यों के सामान्य मामले में जो सख्ती से मोनोटोनिक नहीं हैं और इसलिए व्युत्क्रम सीडीएफ की अनुमति नहीं देते हैं, क्वांटाइल अंतराल द्वारा दिए गए वितरण फ़ंक्शन एफ का एक (संभावित) सेट मूल्यवान कार्यात्मक है

$Q(p)\,=\,\left[\sup \left\{x\colon F(x)<p\right\},\sup \left\{x\colon F(x)\leq p\right\}\right]$

सबसे कम मान चुनना अक्सर मानक होता है, जिसे समकक्ष रूप से लिखा जा सकता है (एफ की दाईं-निरंतरता का उपयोग करके)

$Q(p)\,=\,\inf \left\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\right\}\,.$

यहां हम इस तथ्य को पकड़ते हैं कि क्वांटाइल फ़ंक्शन उन सभी मानों में से x का न्यूनतम मान लौटाता है, जिनका c.d.f मान p से अधिक है, जो विशेष मामले में पिछले संभाव्यता कथन के बराबर है कि वितरण निरंतर है। ध्यान दें कि सबसे निचला और उच्चतम को न्यूनतम फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, क्योंकि वितरण फ़ंक्शन सही-निरंतर है और कमजोर रूप से एकरस रूप से बढ़ रहा है।

क्वांटाइल गैलोइस कनेक्शन को संतुष्ट करने वाला अद्वितीय कार्य है

$Q(p)\leq x$ अगर और केवल अगर $p\leq F(x)$

यदि फ़ंक्शन F निरंतर और सख्ती से एकरस रूप से बढ़ रहा है, तो असमानताओं को समानता से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और हमारे पास है:

$Q=F^{-1}$

सामान्य तौर पर, भले ही वितरण फ़ंक्शन F एक Invers_function#Left_and_right_inverses रखने में विफल हो सकता है, क्वांटाइल फ़ंक्शन Q, वितरण फ़ंक्शन के लिए लगभग निश्चित बाएं व्युत्क्रम के रूप में व्यवहार करता है, इस अर्थ में कि

$Q(F(X))=X$ लगभग निश्चित रूप से.

सरल उदाहरण

उदाहरण के लिए, घातीय वितरण | घातीय (λ) (यानी तीव्रता λ और अपेक्षित मूल्य (माध्य) 1/λ) का संचयी वितरण फ़ंक्शन है

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

एक्सपोनेंशियल (λ) के लिए क्वांटाइल फ़ंक्शन Q का मान ज्ञात करके प्राप्त किया जाता है $1-e^{-\lambda Q}=p$:

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!$

0 ≤ p < 1 के लिए। इसलिए चतुर्थक हैं:

प्रथम चतुर्थक (पी = 1/4)

$-\ln(3/4)/\lambda \,$

माध्यिका (पी = 2/4)

$-\ln(1/2)/\lambda \,$

तृतीय चतुर्थक (पी = 3/4)

$-\ln(1/4)/\lambda .\,$

अनुप्रयोग

क्वांटाइल फ़ंक्शंस का उपयोग सांख्यिकीय अनुप्रयोगों और मोंटे कार्लो विधियों दोनों में किया जाता है।

क्वांटाइल फ़ंक्शन संभाव्यता वितरण को निर्धारित करने का एक तरीका है, और यह संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) या संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन, संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) और विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) का एक विकल्प है। संभाव्यता वितरण का क्वांटाइल फ़ंक्शन, क्यू, इसके संचयी वितरण फ़ंक्शन एफ का व्युत्क्रम फ़ंक्शन है। क्वांटाइल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, अर्थात् 'क्वांटाइल घनत्व फ़ंक्शन', संभाव्यता वितरण निर्धारित करने का एक और तरीका है। यह क्वांटाइल फ़ंक्शन से बनी पीडीएफ का व्युत्क्रम है।

सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए, उपयोगकर्ताओं को मुख्य प्रतिशत बिंदु जानने की आवश्यकता होती है किसी दिए गए वितरण का। उदाहरण के लिए, उन्हें उपरोक्त उदाहरण के अनुसार माध्यिका और 25% और 75% चतुर्थक की आवश्यकता होती है या अन्य अनुप्रयोगों के लिए 5%, 95%, 2.5%, 97.5% स्तर की आवश्यकता होती है जैसे कि किसी अवलोकन के सांख्यिकीय महत्व का आकलन करना जिसका वितरण ज्ञात है; मात्रात्मक प्रविष्टि देखें. कंप्यूटर के लोकप्रिय होने से पहले, किताबों में क्वांटाइल फ़ंक्शन का नमूना लेने वाली सांख्यिकीय तालिकाओं के साथ परिशिष्ट होना असामान्य नहीं था। गिलक्रिस्ट द्वारा क्वांटाइल फ़ंक्शंस के सांख्यिकीय अनुप्रयोगों पर व्यापक रूप से चर्चा की गई है। मोंटे-कार्लो सिमुलेशन विभिन्न प्रकार की सिमुलेशन गणनाओं में उपयोग के लिए गैर-समान यादृच्छिक या छद्म यादृच्छिक संख्याओं का उत्पादन करने के लिए मात्रात्मक कार्यों को नियोजित करते हैं। किसी दिए गए वितरण से एक नमूना सैद्धांतिक रूप से एक समान वितरण से एक नमूने में इसके मात्रात्मक कार्य को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आधुनिक कम्प्यूटेशनल वित्त में सिमुलेशन विधियों की मांग, मात्रात्मक कार्यों पर आधारित तरीकों पर ध्यान केंद्रित कर रही है, क्योंकि वे कोपुला (सांख्यिकी) या अर्ध-मोंटे-कार्लो तरीकों पर आधारित बहुभिन्नरूपी विश्लेषण तकनीकों के साथ अच्छी तरह से काम करते हैं। और वित्त में मोंटे कार्लो पद्धतियाँ।

गणना

क्वांटाइल फ़ंक्शंस के मूल्यांकन में अक्सर संख्यात्मक तरीके शामिल होते हैं, जैसे कि उपरोक्त घातीय वितरण, जो कुछ वितरणों में से एक है जहां एक बंद-रूप अभिव्यक्ति पाई जा सकती है (अन्य में समान वितरण (निरंतर), वेइबुल वितरण, तुकी लैम्ब्डा शामिल हैं वितरण (जिसमें लॉजिस्टिक वितरण शामिल है) और लॉग-लॉजिस्टिक वितरण|लॉग-लॉजिस्टिक)। जब सीडीएफ में स्वयं एक बंद-रूप अभिव्यक्ति होती है, तो कोई हमेशा सीडीएफ को उलटने के लिए एक संख्यात्मक रूट-खोज एल्गोरिथ्म जैसे द्विभाजन विधि का उपयोग कर सकता है। मात्रात्मक कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए अन्य एल्गोरिदम पुस्तकों की संख्यात्मक व्यंजन श्रृंखला में दिए गए हैं। सामान्य वितरण के लिए एल्गोरिदम कई सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों में बनाए गए हैं।

क्वांटाइल फ़ंक्शंस को गैर-रैखिक सामान्य और आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। सामान्य वितरण, छात्र टी-वितरण, बीटा वितरण और गामा वितरण वितरण के मामलों के लिए सामान्य अंतर समीकरण दिए और हल किए गए हैं।

सामान्य वितरण

Main article: Normal distribution § Quantile function

सामान्य वितरण संभवतः सबसे महत्वपूर्ण मामला है। क्योंकि सामान्य वितरण एक स्थान-पैमाने वाला परिवार है, मनमाने मापदंडों के लिए इसका क्वांटाइल फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण के क्वांटाइल फ़ंक्शन के एक सरल परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसे प्रोबिट फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। दुर्भाग्य से, इस फ़ंक्शन में बुनियादी बीजगणितीय फ़ंक्शंस का उपयोग करके कोई बंद-फ़ॉर्म प्रतिनिधित्व नहीं है; परिणामस्वरूप, आमतौर पर अनुमानित निरूपण का उपयोग किया जाता है। विचुरा द्वारा संपूर्ण समग्र तर्कसंगत और बहुपद सन्निकटन दिए गए हैं और अक्लाम. शॉ द्वारा गैर-मिश्रित तर्कसंगत सन्निकटन विकसित किया गया है।

सामान्य मात्रा के लिए साधारण अंतर समीकरण

सामान्य मात्रा, w(p) के लिए एक गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरण दिया जा सकता है। यह है

${\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}$

केंद्र (प्रारंभिक) स्थितियों के साथ

$w\left(1/2\right)=0,\,$

$w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,$

इस समीकरण को शास्त्रीय शक्ति श्रृंखला दृष्टिकोण सहित कई तरीकों से हल किया जा सकता है। इससे मनमाने ढंग से उच्च सटीकता के समाधान विकसित किए जा सकते हैं (स्टीनब्रेचर और शॉ, 2008 देखें)।

छात्र का टी-वितरण

Further information: Student's t-distribution

यह ऐतिहासिक रूप से अधिक जटिल मामलों में से एक रहा है, क्योंकि एक पैरामीटर, ν, स्वतंत्रता की डिग्री की उपस्थिति, तर्कसंगत और अन्य अनुमानों के उपयोग को अजीब बनाती है। जब ν = 1, 2, 4 होता है तो सरल सूत्र मौजूद होते हैं और जब ν सम होता है तो समस्या को बहुपद के समाधान तक कम किया जा सकता है। अन्य मामलों में क्वांटाइल फ़ंक्शंस को पावर श्रृंखला के रूप में विकसित किया जा सकता है। साधारण मामले इस प्रकार हैं:

ν = 1 (कॉची वितरण)

Main article: Cauchy distribution

$Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!$

एन = 2

$Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!$

एन = 4

$Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!$

कहाँ

$q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!$

और

$\alpha =4p(1-p).\!$

उपरोक्त में साइन फ़ंक्शन सकारात्मक तर्कों के लिए +1, नकारात्मक तर्कों के लिए -1 और शून्य पर शून्य है। इसे त्रिकोणमितीय साइन फ़ंक्शन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

मात्रात्मक मिश्रण

मिश्रण वितरण के अनुरूप, वितरण को मात्रात्मक मिश्रण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)$,

कहाँ $Q_{i}(p)$, $i=1,\ldots ,m$ मात्रात्मक कार्य हैं और $a_{i}$, $i=1,\ldots ,m$ मॉडल पैरामीटर हैं. पैरामीटर $a_{i}$ इसलिए चुना जाना चाहिए $Q(p)$ एक मात्रात्मक फलन है. दो चार-पैरामीट्रिक क्वांटाइल मिश्रण, सामान्य-बहुपद क्वांटाइल मिश्रण और कॉची-बहुपद क्वांटाइल मिश्रण, कार्वेनन द्वारा प्रस्तुत किए गए हैं।

क्वांटाइल फ़ंक्शंस के लिए गैर-रैखिक अंतर समीकरण

सामान्य वितरण के लिए दिया गया गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरण किसी भी क्वांटाइल फ़ंक्शन के लिए उपलब्ध एक विशेष मामला है जिसका दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है। सामान्य तौर पर एक क्वांटाइल, क्यू(पी) के लिए समीकरण दिया जा सकता है। यह है

${\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}$

उपयुक्त सीमा शर्तों द्वारा संवर्धित, जहां

$H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)$

और ƒ(x) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है। सामान्य, छात्र, गामा और बीटा वितरण के मामलों के लिए इस समीकरण के रूपों और श्रृंखला और एसिम्प्टोटिक समाधानों द्वारा इसका शास्त्रीय विश्लेषण स्टीनब्रेचर और शॉ (2008) द्वारा स्पष्ट किया गया है। ऐसे समाधान सटीक बेंचमार्क प्रदान करते हैं, और छात्रों के मामले में, लाइव मोंटे कार्लो उपयोग के लिए उपयुक्त श्रृंखला।

यह भी देखें

• व्युत्क्रम परिवर्तन नमूनाकरण
• फ़ीसदी
• संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन
• क्वांटाइल
• रैंक-आकार वितरण

अग्रिम पठन

• Abernathy, Roger W. and Smith, Robert P. (1993) *"Applying series expansion to the inverse beta distribution to find percentiles of the F-distribution", ACM Trans. Math. Softw., 9 (4), 478–480 doi:10.1145/168173.168387
• Refinement of the Normal Quantile
• New Methods for Managing "Student's" T Distribution
• ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles