गाल्वा समूह

गणित में, अमूर्त बीजगणित के क्षेत्र में जिसे गैलोज़ सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, एक निश्चित प्रकार के क्षेत्र विस्तार का गैलोज़ समूह क्षेत्र विस्तार से जुड़ा एक विशिष्ट समूह (गणित) है। फील्ड एक्सटेंशन का अध्ययन और बहुपद ों के साथ उनका संबंध जो गैलोज़ समूहों के माध्यम से उन्हें जन्म देता है, गैलोज सिद्धांत कहा जाता है, इसलिए इवरिस्ट गैलोइस के सम्मान में नामित किया गया था जिन्होंने उन्हें पहली बार खोजा था।

क्रमचय समूहों के संदर्भ में गैलोज़ समूहों की अधिक प्रारंभिक चर्चा के लिए, गैलोज़ सिद्धांत पर लेख देखें।

परिभाषा

लगता है कि $E$ क्षेत्र का विस्तार है (गणित) $F$ (के रूप में लिखा गया है $E/F$ और E को F पढ़ें)। का एक automorphism $E/F$ के एक ऑटोमोर्फिज्म के रूप में परिभाषित किया गया है $E$ वह ठीक करता है $F$ बिंदुवार। दूसरे शब्दों में, का एक automorphism $E/F$ एक समरूपता है $\alpha :E\to E$ ऐसा है कि $\alpha (x)=x$ प्रत्येक के लिए $x\in F$ . के सभी ऑटोमोर्फिज्म का सेट (गणित) । $E/F$ फ़ंक्शन रचना के संचालन के साथ एक समूह बनाता है। इस समूह को कभी-कभी द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {Aut} (E/F).$ यदि $E/F$ एक गाल्वा विस्तार है, फिर $\operatorname {Aut} (E/F)$ का गैल्वा समूह कहा जाता है $E/F$ , और आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {Gal} (E/F)$ .^[1] यदि $E/F$ गैलोज़ एक्सटेंशन नहीं है, फिर गैलोज़ समूह $E/F$ कभी-कभी परिभाषित किया जाता है $\operatorname {Aut} (K/F)$ , कहां $K$ का गाल्वा बंद है $E$ .

एक बहुपद का गाल्वा समूह

गैलोज़ समूह की एक और परिभाषा एक बहुपद के गैलोज़ समूह से आती है $f\in F[x]$ . अगर कोई मैदान है $K/F$ ऐसा है कि $f$ रैखिक बहुपदों के उत्पाद के रूप में कारक

f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]

मैदान के ऊपर $K$ , फिर बहुपद का गैलोज़ समूह $f$ के गैल्वा समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $K/F$ कहां $K$ ऐसे सभी क्षेत्रों में न्यूनतम है।

गाल्वा समूहों की संरचना

गाल्वा सिद्धांत का मौलिक प्रमेय

गाल्वा सिद्धांत से महत्वपूर्ण संरचना प्रमेयों में से एक गाल्वा सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से आता है। यह बताता है कि एक परिमित गैलोज़ विस्तार दिया गया है $K/k$ , अगर सबफील्ड्स के सेट के बीच एक आक्षेप है $k\subset E\subset K$ और उपसमूह $H\subset G.$ फिर, $E$ के अपरिवर्तनीयों के सेट द्वारा दिया जाता है $K$ की कार्रवाई के तहत $H$ , इसलिए

E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ where }}g\in H\}

इसके अलावा, अगर $H$ तब एक सामान्य उपसमूह है $G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)$ . और इसके विपरीत अगर $E/k$ एक सामान्य फ़ील्ड एक्सटेंशन है, फिर संबंधित उपसमूह में $\operatorname {Gal} (K/k)$ सामान्य समूह है।

जाली संरचना

मान लीजिए $K_{1},K_{2}$ के गाल्वा विस्तार हैं $k$ गैलोज़ समूहों के साथ $G_{1},G_{2}.$ फील्ड $K_{1}K_{2}$ गैलोज़ समूह के साथ $G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)$ एक इंजेक्शन है $G\to G_{1}\times G_{2}$ जो कभी भी एक समरूपता है $K_{1}\cap K_{2}=k$ .^[2]

शामिल करना

एक परिणाम के रूप में, इसे कई बार परिमित रूप से शामिल किया जा सकता है। गैलोज़ एक्सटेंशन दिया गया $K_{1},\ldots ,K_{n}/k$ कहां $K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,$ तो संबंधित गैलोज़ समूहों का एक समरूपता है:

\operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरणों में $F$ एक क्षेत्र है, और $\mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q}$ क्रमशः सम्मिश्र संख्या, वास्तविक संख्या और परिमेय संख्या के क्षेत्र हैं। अंकन $F (a)$ एक तत्व के संयोजन (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा प्राप्त क्षेत्र विस्तार को इंगित करता है $a$ फील्ड में $F$ .

कम्प्यूटेशनल उपकरण

गैलोज़ समूह की प्रमुखता और क्षेत्र विस्तार की डिग्री

गाल्वा समूहों को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए आवश्यक बुनियादी प्रस्तावों में से एक^[3] एक परिमित क्षेत्र विस्तार निम्नलिखित है: एक बहुपद दिया गया है $f(x)\in F[x]$ , होने देना $E/F$ इसका विभाजन क्षेत्र विस्तार हो। तब गैल्वा समूह का क्रम क्षेत्र विस्तार की डिग्री के बराबर होता है; वह है,

\left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]

आइज़ेंस्ताइन की कसौटी

एक बहुपद के गाल्वा समूह का निर्धारण करने के लिए एक उपयोगी उपकरण आइज़ेंस्ताइन की कसौटी से आता है। यदि एक बहुपद $f\in F[x]$ अलघुकरणीय बहुपद में कारक $f=f_{1}\cdots f_{k}$ गैलोज़ समूह $f$ प्रत्येक के Galois समूहों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है $f_{i}$ गैलोज़ समूह के बाद से $f$ के गैलोज़ समूहों में से प्रत्येक शामिल है $f_{i}.$

तुच्छ समूह

$\operatorname {Gal} (F/F)$ तुच्छ समूह है जिसमें एक ही तत्व है, अर्थात् पहचान ऑटोमोर्फिज्म।

गैलोज़ समूह का एक और उदाहरण जो तुच्छ है $\operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).$ वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी ऑटोमोर्फिज्म $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं के क्रम सिद्धांत को बनाए रखना चाहिए और इसलिए पहचान होना चाहिए।

मैदान पर विचार करें $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ समूह $\operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )$ केवल पहचान automorphism शामिल है। यह है क्योंकि $K$ एक सामान्य विस्तार नहीं है, क्योंकि अन्य दो घनमूल हैं $2$ ,

\exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}

और

\exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},

एक्सटेंशन से गायब हैं—दूसरे शब्दों में $K$ बंटवारा क्षेत्र नहीं है।

परिमित एबेलियन समूह

गैलोज़ समूह $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ दो तत्व हैं, पहचान ऑटोमोर्फिज्म और जटिल संयुग्मन ऑटोमोर्फिज्म।^[4]

द्विघात विस्तार

डिग्री दो क्षेत्र विस्तार $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ गाल्वा समूह है $\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ दो तत्वों के साथ, पहचान ऑटोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म $\sigma$ जो विनिमय करता है √2 और -√2. यह उदाहरण एक अभाज्य संख्या के लिए सामान्यीकरण करता है $p\in \mathbb {N} .$

द्विघात विस्तार का गुणनफल

गैर-बराबर अभाज्य संख्याओं के लिए गैलोज़ समूहों की जाली संरचना का उपयोग करना $p_{1},\ldots ,p_{k}$ गैलोज़ समूह $\mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q}$ है

\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}

साइक्लोटोमिक एक्सटेंशन

उदाहरणों का एक अन्य उपयोगी वर्ग साइक्लोटॉमिक बहुपद के विभाजन क्षेत्रों से आता है। ये बहुपद हैं $\Phi _{n}$ के रूप में परिभाषित

\Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)

जिसकी डिग्री है $\phi (n)$ , यूलर का कुल कार्य at $n$ . फिर, बंटवारा क्षेत्र खत्म हो गया $\mathbb {Q}$ है $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ और ऑटोमोर्फिज्म है $\sigma _{a}$ भेजना $\zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}$ के लिए $1\leq a<n$ अपेक्षाकृत प्रधान $n$ . चूंकि क्षेत्र की डिग्री बहुपद की डिग्री के बराबर है, इसलिए ये ऑटोमोर्फिज्म गैलोइस समूह उत्पन्न करते हैं।^[5] यदि $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},$ तब

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)

यदि $n$ एक प्रधान है $p$ , तो इसका एक परिणाम है

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}

वास्तव में, क्रोनकर-वेबर प्रमेय द्वारा किसी भी परिमित एबेलियन समूह को साइक्लोटॉमिक क्षेत्र विस्तार के कुछ उपक्षेत्रों के गाल्वा समूह के रूप में पाया जा सकता है।

परिमित क्षेत्र

परिमित एबेलियन समूहों के साथ गाल्वा समूहों के उदाहरणों का एक अन्य उपयोगी वर्ग परिमित क्षेत्रों से आता है। यदि $q$ एक प्रमुख शक्ति है, और यदि $F=\mathbb {F} _{q}$ और $E=\mathbb {F} _{q^{n}}$ आदेश के परिमित क्षेत्र को निरूपित करें $q$ और $q^{n}$ क्रमशः, फिर $\operatorname {Gal} (E/F)$ क्रम का चक्र है $n$ और फ्रोबेनियस समरूपता द्वारा उत्पन्न।

डिग्री 4 उदाहरण

फील्ड एक्सटेंशन $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q}$ डिग्री का उदाहरण है $4$ फील्ड एक्सटेंशन।^[6] इसमें दो ऑटोमोर्फिज्म हैं $\sigma ,\tau$ कहां $\sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}$ और $\tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.$ चूंकि ये दो जनरेटर ऑर्डर के समूह को परिभाषित करते हैं $4$ , क्लेन चार-समूह , वे पूरे गैलोज़ समूह का निर्धारण करते हैं।^[3]

एक अन्य उदाहरण बंटवारे के क्षेत्र से दिया गया है $E/\mathbb {Q}$ बहुपद का

f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1

ध्यान दें क्योंकि $(x-1)f(x)=x^{5}-1,$ की जड़ें $f(x)$ हैं $\exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).$ ऑटोमोर्फिज्म हैं

{\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}

आदेश का एक समूह उत्पन्न करना $4$ . तब से $\sigma _{2}$ इस समूह को उत्पन्न करता है, गैलोइस समूह आइसोमोर्फिक है $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ .

परिमित गैर-अबेलियन समूह

अभी विचार करें $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),$ कहां $\omega$ एकता का मूल है। समूह $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $S 3$ , ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह , और $L$ वास्तव में का बंटवारा क्षेत्र है $x^{3}-2$ ऊपर $\mathbb {Q} .$

चतुर्धातुक समूह

Quaternion समूह को क्षेत्र विस्तार के Galois समूह के रूप में पाया जा सकता है $\mathbb {Q}$ . उदाहरण के लिए, फ़ील्ड एक्सटेंशन

\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)

निर्धारित Galois समूह है।^[7]

अभाज्य कोटि का सममित समूह

यदि $f$ अभाज्य कोटि का एक अलघुकरणीय बहुपद है $p$ तर्कसंगत गुणांक और ठीक दो गैर-वास्तविक जड़ों के साथ, फिर गैलोज़ समूह $f$ पूर्ण सममित समूह है $S_{p}.$ ^[2] उदाहरण के लिए, $f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]$ ईसेनस्टीन की कसौटी से अप्रासंगिक है। का ग्राफ प्लॉट करना $f$ रेखांकन सॉफ्टवेयर या कागज से पता चलता है कि इसकी तीन वास्तविक जड़ें हैं, इसलिए दो जटिल जड़ें हैं, जो इसके गैलोज़ समूह को दर्शाती हैं $S_{5}$ .

वैश्विक क्षेत्र ों के क्षेत्र विस्तार के गाल्वा समूहों की तुलना

वैश्विक क्षेत्र विस्तार को देखते हुए $K/k$ (जैसे कि $\mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q}$ ) और $w$ वैल्यूएशन का एक समकक्ष वर्ग $K$ (जैसे की $p$ -एडिक वैल्यूएशन (बीजगणित)), और $v$ पर $k$ जैसे कि उनकी पूर्णता एक गैलोइस फील्ड एक्सटेंशन <ब्लॉककोट> देती है $K_{w}/k_{v}$ स्थानीय क्षेत्र का। फिर, गैलोज़ समूह <ब्लॉकक्वोट> की प्रेरित कार्रवाई होती है $G=\operatorname {Gal} (K/k)$ वैल्यूएशन के समतुल्य वर्गों के सेट पर इस तरह से कि फ़ील्ड की पूर्णता संगत हो। इसका मतलब है अगर $s\in G$ तो वहाँ स्थानीय क्षेत्रों

का एक प्रेरित समरूपता है $s_{w}:K_{w}\to K_{sw}$

चूंकि हमने परिकल्पना की है कि $w$ पड़ा हुआ है $v$ (यानी गैलोइस फील्ड एक्सटेंशन है $K_{w}/k_{v}$ ), क्षेत्र आकारिकी $s_{w}$ वास्तव में की एक समरूपता है $k_{v}$ -बीजगणित। अगर हम आइसोट्रॉपी उपसमूह लेते हैं $G$ मूल्यांकन वर्ग के लिए $w$ <ब्लॉककोट> $G_{w}=\{s\in G:sw=w\}$ फिर वैश्विक गैलोज़ समूह का स्थानीय गैलोज़ समूह के लिए एक अनुमान है जैसे कि स्थानीय गैलोज़ समूह और आइसोट्रॉपी उपसमूह के बीच समरूपता है। आरेखीय रूप से, इसका अर्थ <ब्लॉककोट> है ${\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}$ जहां लंबवत तीर समरूपता हैं।^[8] यह वैश्विक गैलोज़ समूहों का उपयोग करके स्थानीय क्षेत्रों के गैलोज़ समूहों के निर्माण के लिए एक तकनीक देता है।

अनंत समूह

ऑटोमोर्फिज्म के अनंत समूह के साथ क्षेत्र विस्तार का एक मूल उदाहरण है $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )$ , क्योंकि इसमें प्रत्येक बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार शामिल है $E/\mathbb {Q}$ . उदाहरण के लिए, फ़ील्ड एक्सटेंशन $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ एक वर्ग मुक्त तत्व के लिए $a\in \mathbb {Q}$ प्रत्येक के पास एक अद्वितीय डिग्री है $2$ ऑटोमोर्फिज्म, एक ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).$ असीमित गैलोज़ समूह के सबसे अधिक अध्ययन किए गए वर्गों में से एक पूर्ण गैलोज़ समूह है, जो एक अनंत, अनंत समूह समूह है जिसे सभी परिमित गैलोज़ एक्सटेंशन की व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। $E/F$ एक निश्चित क्षेत्र के लिए। व्युत्क्रम सीमा निरूपित है

\operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}

,

कहां ${\overline {F}}$ क्षेत्र का वियोज्य बंद है $F$ . ध्यान दें कि यह समूह एक सामयिक समूह है।^[9] कुछ बुनियादी उदाहरणों में शामिल हैं $\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )$ और

\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}

.^[10]^[11] एक और आसानी से संगणनीय उदाहरण क्षेत्र विस्तार से आता है

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q}

प्रत्येक धनात्मक अभाज्य का वर्गमूल समाहित करता है। इसमें गैलोज़ समूह है

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2

,

जिसे अनंत सीमा से घटाया जा सकता है

\cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )

और गैलोज़ समूहों की गणना का उपयोग करना।

गुण

गैलोज़ होने के एक विस्तार का महत्व यह है कि यह गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय का पालन करता है: गैलोज़ समूह के बंद (क्रुल टोपोलॉजी के संबंध में) उपसमूह क्षेत्र विस्तार के मध्यवर्ती क्षेत्रों के अनुरूप हैं।

यदि $E/F$ एक गैलोज़ एक्सटेंशन है, फिर $\operatorname {Gal} (E/F)$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया जा सकता है, जिसे क्रुल टोपोलॉजी कहा जाता है, जो इसे एक अनंत समूह बनाता है।

यह भी देखें

गैलोइस सिद्धांत का मौलिक प्रमेय
पूर्ण गैल्वा समूह
गैलोइस प्रतिनिधित्व
डेमुश्किन समूह
समाधान करने योग्य समूह

↑ Some authors refer to $\operatorname {Aut} (E/F)$ as the Galois group for arbitrary extensions $E/F$ and use the corresponding notation, e.g. Jacobson 2009.
↑ ^2.0 ^2.1 Lang, Serge. बीजगणित (Revised Third ed.). pp. 263, 273.
↑ ^3.0 ^3.1 "Abstract Algebra" (PDF). pp. 372–377. Archived (PDF) from the original on 2011-12-18.
↑ Cooke, Roger L. (2008), Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.
↑ Dummit; Foote. Abstract Algebra. pp. 596, 14.5 Cyclotomic Extensions.
↑ Since $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}$ as a $\mathbb {Q}$ vector space.
↑ Milne. Field Theory. p. 46.
↑ "Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2020-11-11.
↑ "9.22 Infinite Galois theory". The Stacks project.
↑ Milne. "Field Theory" (PDF). p. 98. Archived (PDF) from the original on 2008-08-27.
↑ "Infinite Galois Theory" (PDF). p. 14. Archived (PDF) from the original on 6 April 2020.

संदर्भ

Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

बाहरी कड़ियाँ

"Galois group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Galois group and the Quaternion group
"Galois Groups". MathPages.com.
Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields
Galois Representations - Richard Taylor

[1] Some authors refer to $\operatorname {Aut} (E/F)$ as the Galois group for arbitrary extensions $E/F$ and use the corresponding notation, e.g. Jacobson 2009.

[:1-2] 2.0 ^2.1 Lang, Serge. बीजगणित (Revised Third ed.). pp. 263, 273.

[:0-3] 3.0 ^3.1 "Abstract Algebra" (PDF). pp. 372–377. Archived (PDF) from the original on 2011-12-18.

[4] Cooke, Roger L. (2008), Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.

[5] Dummit; Foote. Abstract Algebra. pp. 596, 14.5 Cyclotomic Extensions.

[6] Since $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}$ as a $\mathbb {Q}$ vector space.

[7] Milne. Field Theory. p. 46.

[8] "Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2020-11-11.

[9] "9.22 Infinite Galois theory". The Stacks project.

[10] Milne. "Field Theory" (PDF). p. 98. Archived (PDF) from the original on 2008-08-27.

[11] "Infinite Galois Theory" (PDF). p. 14. Archived (PDF) from the original on 6 April 2020.

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