घातीय क्षय

एक मात्रा जो तेजी से क्षय से गुजर रही है। बड़े क्षय स्थिरांक मात्रा को बहुत तेजी से गायब कर देते हैं। यह आलेख क्षय स्थिरांक के लिए क्षय दर्शाता है (

λ

) 25, 5, 1, 1/5, और 1/25 के लिए

x

0 से 5 तक.

एक मात्रा घातीय क्षय के अधीन होती है यदि वह अपने वर्तमान मूल्य के अनुपातिकता (गणित) की दर से घटती है। प्रतीकात्मक रूप से, इस प्रक्रिया को निम्नलिखित अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $N$ मात्रा है और $λ$ (लैम्ब्डा) एक सकारात्मक दर है जिसे घातीय क्षय स्थिरांक, विघटन स्थिरांक कहा जाता है,^[1] दर लगातार,^[2] या परिवर्तन स्थिरांक:^[3]

{\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.

इस समीकरण का हल (नीचे #अंतर_समीकरण_का_समाधान_देखें) है:

N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},

कहाँ $N (t)$ समय पर मात्रा है $t$ , $N 0 = N (0)$ प्रारंभिक मात्रा है, अर्थात समय पर मात्रा $t = 0$ .

क्षय की दर मापना

औसत जीवनकाल

यदि क्षयकारी मात्रा, N(t), एक निश्चित सेट (गणित) में अलग-अलग तत्वों की संख्या है, तो सेट में एक तत्व के रहने की औसत लंबाई की गणना करना संभव है। इसे 'औसत जीवनकाल' (या बस 'जीवनकाल') कहा जाता है, जहां 'घातीय समय स्थिरांक', $\tau$ , क्षय दर स्थिरांक से संबंधित है, λ, निम्नलिखित तरीके से:

\tau ={\frac {1}{\lambda }}.

औसत जीवनकाल को स्केलिंग समय के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि घातीय क्षय समीकरण को औसत जीवनकाल के संदर्भ में लिखा जा सकता है, $\tau$ , क्षय स्थिरांक के बजाय, λ:

N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },

ओर वो $\tau$ वह समय है जब विधानसभा की जनसंख्या कम हो जाती है 1⁄e ≈ 0.367879441 गुना इसके प्रारंभिक मूल्य।

उदाहरण के लिए, यदि विधानसभा की प्रारंभिक जनसंख्या, N(0), 1000 है, तो उस समय जनसंख्या $\tau$ , $N(\tau )$ , 368 है.

एक बहुत ही समान समीकरण नीचे देखा जाएगा, जो तब उत्पन्न होता है जब घातांक का आधार ई के बजाय 2 चुना जाता है। उस स्थिति में स्केलिंग समय आधा जीवन है।

आधा जीवन

कई लोगों के लिए घातांकीय क्षय की एक अधिक सहज विशेषता यह है कि क्षयकारी मात्रा को उसके प्रारंभिक मूल्य के आधे तक गिरने में लगने वाला समय लगता है। (यदि N(t) असतत है, तो यह औसत जीवन-काल के बजाय औसत जीवन-काल है।) इस समय को अर्ध-जीवन कहा जाता है, और अक्सर इसे प्रतीक t द्वारा दर्शाया जाता है।_1/2. अर्ध-जीवन को क्षय स्थिरांक, या औसत जीवनकाल के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे:

t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).

जब यह अभिव्यक्ति सम्मिलित की जाती है $\tau$ उपरोक्त घातीय समीकरण में, और 2|ln2 का प्राकृतिक लघुगणक आधार में समाहित हो जाता है, यह समीकरण बन जाता है:

N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.

इस प्रकार, शेष सामग्री की मात्रा 2 है⁻¹= 1/2 को आधे जीवन की (संपूर्ण या आंशिक) संख्या तक बढ़ा दिया गया है जो बीत चुकी है। इस प्रकार, 3 आधे जीवन के बाद 1/2 होगा³= मूल सामग्री का 1/8 भाग शेष है।

इसलिए, औसत जीवनकाल $\tau$ 2 के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा विभाजित आधे जीवन के बराबर है, या:

\tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.44\cdot t_{1/2}.

उदाहरण के लिए, पोलोनियम-210 का आधा जीवन 138 दिनों का है, और औसत जीवनकाल 200 दिनों का है।

अवकल समीकरण का हल

वह समीकरण जो घातीय क्षय का वर्णन करता है

{\frac {dN}{dt}}=-\lambda N

या, पुनर्व्यवस्थित करके (चर पृथक्करण नामक तकनीक को लागू करके),

{\frac {dN}{N}}=-\lambda dt.

एकीकरण, हमारे पास है

\ln N=-\lambda t+C\,

जहां C एकीकरण का स्थिरांक है, और इसलिए

N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,

जहां अंतिम प्रतिस्थापन, एन₀ = और^C, समीकरण को t = 0 पर N के रूप में मूल्यांकन करके प्राप्त किया जाता है₀ t = 0 पर मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह समीकरण का वह रूप है जिसका प्रयोग आमतौर पर घातीय क्षय का वर्णन करने के लिए किया जाता है। क्षय स्थिरांक, औसत जीवनकाल, या अर्ध-जीवन में से कोई भी क्षय को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है। क्षय स्थिरांक के लिए अंकन λ एक eigenvalue के लिए सामान्य अंकन का अवशेष है। इस मामले में, λ संबंधित eigenfunction के रूप में N(t) के साथ अंतर ऑपरेटर के योगात्मक व्युत्क्रम का आइगेनवैल्यू है। क्षय स्थिरांक की इकाइयाँ s हैं⁻¹^{[citation needed]}.

औसत जीवनकाल की व्युत्पत्ति

तत्वों के एक समूह को देखते हुए, जिनकी संख्या अंततः शून्य हो जाती है, औसत जीवनकाल, $\tau$ , (जिसे केवल जीवनकाल भी कहा जाता है) किसी वस्तु को असेंबली से हटाए जाने से पहले समय की मात्रा का अपेक्षित मूल्य है। विशेष रूप से, यदि असेंबली के किसी तत्व का व्यक्तिगत जीवनकाल कुछ संदर्भ समय और असेंबली से उस तत्व को हटाने के बीच का समय है, तो औसत जीवनकाल व्यक्तिगत जीवनकाल का अंकगणितीय माध्य है।

जनसंख्या सूत्र से शुरुआत

N=N_{0}e^{-\lambda t},\,

पहले मान लीजिए कि c संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन में परिवर्तित करने के लिए सामान्यीकरण कारक है:

1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}

या, पुनर्व्यवस्थित करने पर,

c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.

घातांकीय क्षय घातांकीय वितरण का एक अदिश गुणन है (अर्थात् प्रत्येक वस्तु का व्यक्तिगत जीवनकाल घातीय रूप से वितरित होता है), जिसका एक घातांकीय वितरण#गुण|प्रसिद्ध अपेक्षित मान होता है। हम यहां भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं।

\tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.

दो या दो से अधिक प्रक्रियाओं द्वारा क्षय

एक मात्रा एक साथ दो या दो से अधिक विभिन्न प्रक्रियाओं के माध्यम से क्षय हो सकती है। सामान्य तौर पर, इन प्रक्रियाओं (अक्सर क्षय मोड, क्षय चैनल, क्षय मार्ग आदि कहा जाता है) के घटित होने की अलग-अलग संभावनाएँ होती हैं, और इस प्रकार समानांतर में, अलग-अलग आधे-जीवन के साथ अलग-अलग दरों पर घटित होती हैं। मात्रा N की कुल क्षय दर क्षय मार्गों के योग द्वारा दी गई है; इस प्रकार, दो प्रक्रियाओं के मामले में:

-{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.

इस समीकरण का समाधान पिछले भाग में दिया गया है, जहाँ का योग है $\lambda _{1}+\lambda _{2}\,$ इसे एक नए कुल क्षय स्थिरांक के रूप में माना जाता है $\lambda _{c}$ .

N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.

व्यक्तिगत प्रक्रियाओं से जुड़ा आंशिक औसत जीवन, परिभाषा के अनुसार, संबंधित आंशिक क्षय स्थिरांक का गुणात्मक व्युत्क्रम है: $\tau =1/\lambda$ . एक संयुक्त $\tau _{c}$ के संदर्भ में दिया जा सकता है $\lambda$ एस:

{\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}

\tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.

चूँकि आधा जीवन औसत जीवन से भिन्न होता है $\tau$ एक स्थिर कारक द्वारा, दो संगत अर्ध-आयुओं के संदर्भ में एक ही समीकरण लागू होता है:

T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}

कहाँ $T_{1/2}$ प्रक्रिया के लिए संयुक्त या कुल आधा जीवन है, $t_{1}$ और $t_{2}$ संबंधित प्रक्रियाओं के तथाकथित आंशिक आधे जीवन हैं। आंशिक आधा जीवन और आंशिक औसत जीवन शब्द एक क्षय स्थिरांक से प्राप्त मात्रा को दर्शाते हैं जैसे कि दिया गया क्षय मोड मात्रा के लिए एकमात्र क्षय मोड था। आंशिक आधा जीवन शब्द भ्रामक है, क्योंकि इसे उस समय अंतराल के रूप में नहीं मापा जा सकता है जिसके लिए एक निश्चित मात्रा एक आधा है।

अलग-अलग क्षय स्थिरांक के संदर्भ में, कुल आधा जीवन $T_{1/2}$ होना दिखाया जा सकता है

T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.

तीन एक साथ घातीय प्रक्रियाओं द्वारा क्षय के लिए कुल आधे जीवन की गणना ऊपर के अनुसार की जा सकती है:

T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.

क्षय श्रृंखला/युग्मित क्षय

परमाणु विज्ञान और फार्माकोकाइनेटिक्स में, रुचि का एजेंट एक क्षय श्रृंखला में स्थित हो सकता है, जहां संचय एक स्रोत एजेंट के घातीय क्षय द्वारा नियंत्रित होता है, जबकि ब्याज का एजेंट स्वयं एक घातीय प्रक्रिया के माध्यम से क्षय होता है।

इन प्रणालियों को बेटमैन समीकरण का उपयोग करके हल किया जाता है।

फार्माकोलॉजी सेटिंग में, कुछ अंतर्ग्रहण पदार्थों को घातीय क्षय के रूप में उचित रूप से तैयार की गई प्रक्रिया द्वारा शरीर में अवशोषित किया जा सकता है, या ऐसी रिलीज प्रोफ़ाइल के लिए जानबूझकर संशोधित-रिलीज़ खुराक हो सकती है।

अनुप्रयोग और उदाहरण

घातीय क्षय विभिन्न प्रकार की स्थितियों में होता है। इनमें से अधिकांश प्राकृतिक विज्ञान के क्षेत्र में आते हैं।

कई क्षय प्रक्रियाएं जिन्हें अक्सर घातीय माना जाता है, वे वास्तव में केवल तब तक घातांकीय होती हैं जब तक नमूना बड़ा होता है और बड़ी संख्या का नियम कायम रहता है। छोटे नमूनों के लिए, पॉइसन प्रक्रिया को ध्यान में रखते हुए अधिक सामान्य विश्लेषण आवश्यक है।

प्राकृतिक विज्ञान

रासायनिक प्रतिक्रियाएँ: कुछ प्रकार की रासायनिक प्रतिक्रियाओं की प्रतिक्रिया दर एक या दूसरे अभिकारक की सांद्रता पर निर्भर करती है। वे प्रतिक्रियाएँ जिनकी दर केवल एक अभिकारक की सांद्रता पर निर्भर करती है (जिसे दर समीकरण#प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाएँ|प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाएँ कहा जाता है) परिणामस्वरूप घातांकीय क्षय होती है। उदाहरण के लिए, कई एंजाइम-उत्प्रेरक प्रतिक्रियाएं इस तरह से व्यवहार करती हैं।
इलेक्ट्रोस्टाटिक्स : एक संधारित्र (कैपेसिटेंस सी) में निहित विद्युत चार्ज (या, समकक्ष, विद्युत क्षमता) घातीय क्षय के साथ निर्वहन करता है (जब संधारित्र प्रतिरोध आर के निरंतर बाहरी विद्युत भार का अनुभव करता है) और इसी प्रकार घातांकीय क्षय की दर्पण छवि के साथ चार्ज होता है (जब संधारित्र को एक स्थिर वोल्टेज स्रोत से एक स्थिर प्रतिरोध के माध्यम से चार्ज किया जाता है)। प्रक्रिया के लिए घातीय समय-स्थिरांक है $\tau =R\,C,$ $\tau =R\,C,$ तो आधा जीवन है $R\,C\,\ln(2).$ $R\,C\,\ln(2).$ यही समीकरण किसी प्रारंभकर्ता में धारा के द्वंद्व (विद्युत परिपथ) पर भी लागू किए जा सकते हैं।
- इसके अलावा, एक संधारित्र या प्रारंभ करनेवाला का विशेष मामला कई श्रृंखला और समानांतर सर्किट के माध्यम से बदलता है#समानांतर सर्किट प्रतिरोधक कई क्षय प्रक्रियाओं का एक दिलचस्प उदाहरण बनाता है, जिसमें प्रत्येक अवरोधक एक अलग प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। वास्तव में, प्रतिरोधक#श्रृंखला और समानांतर में दो प्रतिरोधकों के समानांतर सर्किट के लिए अभिव्यक्ति दो क्षय प्रक्रियाओं के साथ आधे जीवन के समीकरण को प्रतिबिंबित करती है।
भूभौतिकी: समुद्र तल से ऊंचाई बढ़ने के साथ वायुमंडलीय दबाव लगभग 12% प्रति 1000 मीटर की दर से तेजी से घटता है।^{[citation needed]}
ऊष्मा स्थानांतरण: यदि एक तापमान पर कोई वस्तु दूसरे तापमान के माध्यम के संपर्क में आती है, तो वस्तु और माध्यम के बीच तापमान का अंतर तेजी से घटता है (धीमी प्रक्रियाओं की सीमा में; वस्तु के अंदर अच्छे ताप संचालन के बराबर, ताकि इसका तापमान इसके आयतन के माध्यम से अपेक्षाकृत समान रहता है)। न्यूटन का शीतलन नियम भी देखें।
चमक : उत्तेजना के बाद, एक ल्यूमिनसेंट सामग्री की उत्सर्जन तीव्रता - जो उत्तेजित परमाणुओं या अणुओं की संख्या के समानुपाती होती है - तेजी से क्षय होती है। शामिल तंत्रों की संख्या के आधार पर, क्षय मोनो- या बहु-घातांकीय हो सकता है।
औषध विज्ञान और विष विज्ञान: यह पाया गया है कि कई प्रशासित पदार्थों को घातीय क्षय पैटर्न के अनुसार वितरित और चयापचय किया जाता है (निकासी (दवा) देखें)। किसी पदार्थ का जैविक आधा जीवन|जैविक आधा जीवन अल्फा आधा जीवन और बीटा आधा जीवन मापता है कि कोई पदार्थ कितनी तेजी से वितरित और समाप्त होता है।
भौतिक प्रकाशिकी: शोषक माध्यम में प्रकाश या एक्स-रे या गामा किरणों जैसे विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तीव्रता, अवशोषित माध्यम में दूरी के साथ तेजी से कमी आती है। इसे [[बियर-Lambert]] कानून के रूप में जाना जाता है।
रेडियोधर्मिता: रेडियोन्यूक्लाइड के एक नमूने में जो एक अलग अवस्था में रेडियोधर्मी क्षय से गुजरता है, मूल अवस्था में परमाणुओं की संख्या तेजी से क्षय के बाद होती है जब तक कि शेष परमाणुओं की संख्या बड़ी होती है। क्षय उत्पाद को रेडियम-धर्मी न्यूक्लाइड कहा जाता है।
थर्मोइलेक्ट्रिसिटी: तापमान बढ़ने पर नकारात्मक तापमान गुणांक thermistor के प्रतिरोध में गिरावट आती है।
कंपन: कुछ कंपन तेजी से घट सकते हैं; यह विशेषता अक्सर लयबद्ध दोलक में पाई जाती है, और सिंथेसाइज़र#साउंड बेसिक्स में एडीएसआर लिफ़ाफ़े बनाने में उपयोग की जाती है। एक अत्यधिक नमीयुक्त प्रणाली तेजी से क्षय के माध्यम से संतुलन में वापस आ जाएगी।
बीयर का झाग: म्यूनिख के लुडविग मैक्सिमिलियन विश्वविद्यालय के अरंड लेइक ने यह प्रदर्शित करने के लिए आईजी नोबेल पुरस्कार विजेताओं की सूची जीती कि बीयर का झाग घातीय क्षय के नियम का पालन करता है।^[4]

सामाजिक विज्ञान

वित्त: एक सेवानिवृत्ति निधि अलग-अलग भुगतान राशि, आमतौर पर मासिक, और एक इनपुट निरंतर ब्याज दर के अधीन होने के कारण तेजी से कम हो जाएगी। फंड में शेष किसी भी राशि ए तक पहुंचने का समय जानने के लिए एक अंतर समीकरण डीए/डीटी = इनपुट - आउटपुट लिखा और हल किया जा सकता है।
सरल ग्लोटोक्रोनोलॉजी में, भाषाओं में निरंतर क्षय दर की (बहस योग्य) धारणा किसी को एकल भाषाओं की आयु का अनुमान लगाने की अनुमति देती है। (दो भाषाओं के बीच विभाजन के समय की गणना करने के लिए घातीय क्षय से स्वतंत्र, अतिरिक्त मान्यताओं की आवश्यकता होती है)।

कंप्यूटर विज्ञान

इंटरनेट पर कोर रूटिंग, बी.जी.पी को उन रास्तों को याद रखने के लिए एक रूटिंग तालिका बनाए रखना होता है, जिनसे पैकेट (सूचना प्रौद्योगिकी) भटक सकता है। जब इनमें से कोई एक पथ बार-बार अपनी स्थिति को उपलब्ध से उपलब्ध नहीं (और इसके विपरीत) में बदलता है, तो उस पथ को नियंत्रित करने वाले बीजीपी राउटर (कंप्यूटिंग) को बार-बार पथ रिकॉर्ड जोड़ना और हटाना पड़ता है अपनी रूटिंग टेबल से (पथ को फ़्लैप करता है), इस प्रकार CPU और रैंडम एक्सेस मेमोरी जैसे स्थानीय संसाधनों को खर्च करता है और इससे भी अधिक, सहकर्मी राउटर्स को बेकार जानकारी प्रसारित करता है। इस अवांछित व्यवहार को रोकने के लिए, रूट फ़्लैपिंग डंपिंग नामक एक एल्गोरिदम प्रत्येक मार्ग को एक भार निर्दिष्ट करता है जो हर बार मार्ग के अपनी स्थिति बदलने पर बड़ा हो जाता है और समय के साथ तेजी से कम हो जाता है। जब वजन एक निश्चित सीमा तक पहुंच जाता है, तो कोई और फड़फड़ाहट नहीं की जाती है, जिससे मार्ग दब जाता है।

Graphs comparing doubling times and half lives of exponential growths (bold lines) and decay (faint lines), and their 70/t and 72/t approximations. In the SVG version, hover over a graph to highlight it and its complement.

यह भी देखें

घातीय सूत्र
घातीय वृद्धि
विभिन्न स्थिरांक के साथ घातीय प्रक्रियाओं की श्रृंखलाओं के गणित के लिए रेडियोधर्मी क्षय

↑ Serway, Moses & Moyer (1989, p. 384)
↑ Simmons (1972, p. 15)
↑ McGraw-Hill (2007)
↑ Leike, A. (2002). "बियर झाग का उपयोग करके घातांकीय क्षय नियम का प्रदर्शन". European Journal of Physics. 23 (1): 21–26. Bibcode:2002EJPh...23...21L. CiteSeerX 10.1.1.693.5948. doi:10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID 250873501.

संदर्भ

McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3
Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716

बाहरी संबंध

[1] Serway, Moses & Moyer (1989, p. 384)

[2] Simmons (1972, p. 15)

[3] McGraw-Hill (2007)

[4] Leike, A. (2002). "बियर झाग का उपयोग करके घातांकीय क्षय नियम का प्रदर्शन". European Journal of Physics. 23 (1): 21–26. Bibcode:2002EJPh...23...21L. CiteSeerX 10.1.1.693.5948. doi:10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID 250873501.

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