छद्म-रिमानियन कई गुना

अंतर ज्यामिति में, एक स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड, एक अर्ध-रीमैनियन मैनिफोल्ड भी कहा जाता है, एक मीट्रिक टेंसर के साथ एक अलग-अलग मैनिफोल्ड है जो हर जगह गैर-पतित द्विरेखीय रूप है। यह एक रीमैनियन कई गुना का एक सामान्यीकरण है जिसमें सकारात्मक-निश्चित द्विरेखीय रूप | सकारात्मक-निश्चितता की आवश्यकता को आराम दिया जाता है।

छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड का प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान एक छद्म-यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष है।

सामान्य सापेक्षता में उपयोग किया जाने वाला एक विशेष मामला अंतरिक्ष-समय के मॉडलिंग के लिए एक चार-आयामी लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड है, जहां स्पर्शरेखा वैक्टर को कारण संरचना के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। टाइमलाइक, नल और स्पेसलाइक।

परिचय

कई गुना

Main articles: Manifold and Differentiable manifold

डिफरेंशियल ज्योमेट्री में, डिफरेंशियल विविध एक स्पेस है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्पेस के समान है। एक एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु को एन वास्तविक संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। इन्हें बिन्दु के निर्देशांक कहते हैं।

एक एन-डायमेंशनल डिफरेंशियल मैनिफोल्ड एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस का एक सामान्यीकरण है। कई गुना में केवल स्थानीय रूप से निर्देशांक परिभाषित करना संभव हो सकता है। यह समन्वित पैच को परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है: मैनिफोल्ड के सबसेट जिन्हें एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में मैप किया जा सकता है।

अधिक विवरण के लिए मैनिफोल्ड, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड, [[समन्वय पैच]] देखें।

स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और मीट्रिक टेन्सर

Main articles: Tangent space and Metric tensor

हर बिंदु से जुड़ा हुआ है $p$ एक में $n$-आयामी अलग-अलग कई गुना $M$ एक स्पर्शरेखा स्थान है (निरूपित $T_{p}M$). यह एक $n$आयामी सदिश स्थान जिसके तत्वों को बिंदु से गुजरने वाले वक्रों के तुल्यता वर्गों के रूप में माना जा सकता है $p$.

एक मीट्रिक टेन्सर एक गैर-पतित, चिकना, सममित, द्विरेखीय नक्शा है जो कई गुना के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर स्पर्शरेखा वैक्टर के जोड़े को एक वास्तविक संख्या प्रदान करता है। द्वारा मीट्रिक टेंसर को नकारना $g$ इसे हम इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं

$g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .$

नक्शा सममित और द्विरेखीय है, इसलिए यदि $X,Y,Z\in T_{p}M$ एक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश हैं $p$ कई गुना $M$ तो हमारे पास हैं

• $\,g(X,Y)=g(Y,X)$
• $\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $a\in \mathbb {R}$.

उस $g$ अविनाशी है अर्थात् शून्य नहीं है $X\in T_{p}M$ ऐसा है कि $\,g(X,Y)=0$ सबके लिए $Y\in T_{p}M$.

मीट्रिक हस्ताक्षर

Main article: Metric signature

एक एन-डायमेंशनल रियल मैनिफोल्ड पर एक मीट्रिक टेन्सर जी को देखते हुए, द्विघात रूप q(x) = g(x, x) किसी भी ओर्थोगोनल आधार के प्रत्येक सदिश पर लागू मीट्रिक टेन्सर से संबद्ध n वास्तविक मान उत्पन्न करता है। सिलवेस्टर के जड़त्व के नियम से#द्विघात रूपों के लिए जड़ता का नियम| सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम, इस तरह से उत्पादित प्रत्येक धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य मानों की संख्या मीट्रिक टेन्सर के अपरिवर्तनीय हैं, जो ऑर्थोगोनल आधार की पसंद से स्वतंत्र हैं। 'मीट्रिक हस्ताक्षर' (p, q, r) मेट्रिक टेन्सर इन नंबरों को देता है, उसी क्रम में दिखाया गया है। एक गैर-पतित मीट्रिक टेंसर में होता है r = 0 और हस्ताक्षर को निरूपित किया जा सकता है (पी, क्यू), जहां p + q = n.

परिभाषा

एक छद्म-रीमैनियन कई गुना $(M,g)$ एक अलग करने योग्य गुणक है $M$ हर जगह गैर-पतित, चिकनी, सममित मीट्रिक टेंसर से लैस $g$.

ऐसी मीट्रिक को स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक कहा जाता है। एक सदिश क्षेत्र के लिए लागू, कई गुना के किसी भी बिंदु पर परिणामी स्केलर फ़ील्ड मान धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

छद्म-रीमैनियन मीट्रिक का हस्ताक्षर है (p, q), जहाँ p और q दोनों गैर-नकारात्मक हैं। निरंतरता के साथ गैर-अध: पतन की स्थिति का अर्थ है कि पी और क्यू कई गुना अपरिवर्तित रहते हैं (यह मानते हुए कि यह जुड़ा हुआ है)।

स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के गुण

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के रूप में $\mathbb {R} ^{n}$ मॉडल Riemannian कई गुना, Minkowski अंतरिक्ष के रूप में सोचा जा सकता है $\mathbb {R} ^{n-1,1}$ फ्लैट मिन्कोव्स्की मीट्रिक के साथ मॉडल लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड है। इसी तरह, सिग्नेचर (p, q) के स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए मॉडल स्पेस है $\mathbb {R} ^{p,q}$ मीट्रिक के साथ

$g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}$

रीमैनियन ज्यामिति के कुछ बुनियादी प्रमेयों को छद्म-रीमैनियन मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है। विशेष रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति का मौलिक प्रमेय छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के लिए भी सही है। यह संबंधित रिमेंन वक्रता टेंसर के साथ एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर लेवी-Civita कनेक्शन के बारे में बात करने की अनुमति देता है। दूसरी ओर, रिमेंनियन ज्यामिति में कई प्रमेय हैं जो सामान्यीकृत मामले में लागू नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, यह सच नहीं है कि हर स्मूथ मैनिफोल्ड किसी दिए गए सिग्नेचर के स्यूडो-रीमैनियन मेट्रिक को स्वीकार करता है; कुछ टोपोलॉजी बाधाएँ हैं। इसके अलावा, एक सबमेनिफोल्ड हमेशा एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड की संरचना का उत्तराधिकारी नहीं होता है; उदाहरण के लिए, मीट्रिक टेन्सर किसी भी Minkowski स्पेस #कॉज़ल स्ट्रक्चर|लाइट-लाइक कर्व पर शून्य हो जाता है। क्लिफ्टन-पोहल टोरस एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक उदाहरण प्रदान करता है जो कॉम्पैक्ट है लेकिन पूर्ण नहीं है, गुणों का एक संयोजन है जो हॉफ-रिनो प्रमेय रिमेंनियन मैनिफोल्ड के लिए अस्वीकार करता है।

लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड

एक लोरेंत्ज़ियन कई गुना छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जिसमें मीट्रिक हस्ताक्षर है (1, n−1) (समान रूप से, (n−1, 1); संकेत सम्मेलन देखें)। ऐसे मेट्रिक्स को 'लॉरेंट्ज़ियन मेट्रिक्स' कहा जाता है. उनका नाम डच भौतिक विज्ञानी हेंड्रिक लोरेंत्ज़ के नाम पर रखा गया है।

भौतिकी में अनुप्रयोग

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के बाद, लोरेन्ट्ज़ियन मैनिफोल्ड्स छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का सबसे महत्वपूर्ण उपवर्ग बनाते हैं। वे सामान्य सापेक्षता के अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हैं।

सामान्य सापेक्षता का एक प्रमुख आधार यह है कि स्पेसटाइम को हस्ताक्षर के 4-आयामी लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड के रूप में तैयार किया जा सकता है। (3, 1) या, समकक्ष, (1, 3). सकारात्मक-निश्चित मेट्रिक्स के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के विपरीत, एक अनिश्चितकालीन हस्ताक्षर स्पर्शरेखा वैक्टर को टाइमलाइक, नल या स्पेसलाइक में वर्गीकृत करने की अनुमति देता है। के हस्ताक्षर के साथ (p, 1) या (1, q), मैनिफोल्ड भी स्थानीय रूप से (और संभवतः विश्व स्तर पर) समय-उन्मुख है (कारण संरचना देखें)।

यह भी देखें

• कारणता की स्थिति
• विश्व स्तर विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना
• अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण
• समायोज्य कई गुना
• अंतरिक्ष समय

संदर्भ

• Benn, I.M.; Tucker, R.W. (1987), An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics (First published 1987 ed.), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3
• Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Chen, Bang-Yen (2011), Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, vol. 103, Academic Press, ISBN 9780080570570
• Vrănceanu, G.; Roşca, R. (1976), Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry, Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

बाहरी कड़ियाँ

• Media related to Lorentzian manifolds at Wikimedia Commons