जमीनी राज्य

[[File:Energy levels.svg|thumb|right|एक परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए [[ऊर्जा स्तर]]: जमीनी अवस्था और उत्तेजित अवस्था। ऊर्जा को अवशोषित करने के बाद, एक इलेक्ट्रॉन परमाणु इलेक्ट्रॉन को जमीनी अवस्था से उच्च-ऊर्जा उत्तेजित अवस्था में परिवर्तित कर सकता है।]]क्वांटम यांत्रिकी की जमीनी स्थिति | क्वांटम-मैकेनिकल प्रणाली इसकी सबसे कम ऊर्जा की स्थिर स्थिति है; जमीनी अवस्था की ऊर्जा को सिस्टम की शून्य-बिंदु ऊर्जा के रूप में जाना जाता है। उत्तेजित अवस्था कोई भी ऐसी अवस्था होती है जिसकी ऊर्जा जमीनी अवस्था से अधिक होती है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, जमीनी अवस्था को आमतौर पर निर्वात अवस्था या निर्वात#क्वांटम-मैकेनिकल निर्वात कहा जाता है।

यदि एक से अधिक जमीनी अवस्थाएँ मौजूद हैं, तो उन्हें ख़राब ऊर्जा स्तर कहा जाता है। कई प्रणालियों की जमीनी स्थिति खराब हो गई है। अध:पतन तब होता है जब कोई एकात्मक ऑपरेटर मौजूद होता है जो सिस्टम के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ जमीनी स्थिति और कम्यूटेटर पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है।

ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के अनुसार, पूर्ण शून्य तापमान पर एक प्रणाली अपनी जमीनी अवस्था में मौजूद होती है; इस प्रकार, इसकी एन्ट्रापी जमीनी अवस्था की विकृति से निर्धारित होती है। कई प्रणालियों, जैसे कि एक आदर्श क्रिस्टल लैटिस, में एक अद्वितीय जमीनी स्थिति होती है और इसलिए पूर्ण शून्य पर शून्य एन्ट्रापी होती है। नकारात्मक तापमान प्रदर्शित करने वाली प्रणालियों के लिए उच्चतम उत्तेजित अवस्था में पूर्ण शून्य तापमान होना भी संभव है।

एक आयाम में नोड्स की अनुपस्थिति

एक आयाम में, श्रोडिंगर समीकरण की जमीनी स्थिति को कोई नोड (भौतिकी) साबित नहीं किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

एक नोड वाले राज्य की औसत ऊर्जा पर विचार करें x = 0; अर्थात।, ψ(0) = 0. इस अवस्था में औसत ऊर्जा होगी

$$\langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),$$

कहाँ V(x) क्षमता है.

भागों द्वारा एकीकरण के साथ:

$$\int _{a}^{b}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx$$

इसलिए उस स्थिति में $\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)$ शून्य के बराबर है, एक को मिलता है:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx$$

अब, चारों ओर एक छोटे से अंतराल पर विचार करें $x=0$; अर्थात।, $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$. एक नया (विकृत) तरंग फ़ंक्शन लें ψ'(x) के रूप में परिभाषित किया जाना है $\psi '(x)=\psi (x)$, के लिए $x<-\varepsilon$; और $\psi '(x)=-\psi (x)$, के लिए $x>\varepsilon$; और के लिए स्थिर $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$. अगर $\varepsilon$ काफी छोटा है, ऐसा करना हमेशा संभव है, ताकि ψ'(x) सतत है.

यह मानते हुए $\psi (x)\approx -cx$ आस-पास $x=0$, कोई भी लिख सकता है

$$\psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}$$

कहाँ $N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}$ आदर्श है.

ध्यान दें कि गतिज-ऊर्जा घनत्व कायम है ${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$ सामान्यीकरण के कारण हर जगह। अधिक महत्वपूर्ण रूप से, औसत गतिज ऊर्जा कम हो जाती है $O(\varepsilon )$ विरूपण द्वारा ψ'.

अब स्थितिज ऊर्जा पर विचार करें। निश्चितता के लिए, आइए चुनें $V(x)\geq 0$. तब यह स्पष्ट है कि, अंतराल के बाहर $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$, संभावित ऊर्जा घनत्व छोटा है ψ' क्योंकि $|\psi '|<|\psi |$ वहाँ।

दूसरी ओर, अंतराल में $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$ हमारे पास है

$${V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,$$

जो ऑर्डर पर कायम है $\varepsilon ^{3}$.

हालाँकि, राज्य के लिए संभावित ऊर्जा में योगदान इस क्षेत्र का है ψ एक नोड के साथ है

$$V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,$$

निचला, लेकिन फिर भी उसी निचले क्रम का $O(\varepsilon ^{3})$ जहाँ तक विकृत अवस्था का प्रश्न है ψ', और औसत गतिज ऊर्जा को कम करने के लिए उपप्रभावी। इसलिए, स्थितिज ऊर्जा क्रमानुसार अपरिवर्तित रहती है $\varepsilon ^{2}$, यदि हम राज्य को विकृत करते हैं $\psi$ एक राज्य में एक नोड के साथ ψ' बिना किसी नोड के, और परिवर्तन को अनदेखा किया जा सकता है।

इसलिए हम सभी नोड्स को हटा सकते हैं और ऊर्जा को कम कर सकते हैं $O(\varepsilon )$, जिसका तात्पर्य यह है ψ' जमीनी स्थिति नहीं हो सकती. इस प्रकार ग्राउंड-स्टेट वेव फ़ंक्शन में नोड नहीं हो सकता है। इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है। (इसके बाद उतार-चढ़ाव को समाप्त करके औसत ऊर्जा को परिवर्तनशील निरपेक्ष न्यूनतम तक कम किया जा सकता है।)

निहितार्थ

चूँकि जमीनी अवस्था में कोई नोड नहीं है, यह स्थानिक रूप से गैर-विकृत है, अर्थात जमीनी अवस्था के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ कोई दो स्थिर अवस्था नहीं है (आइए इसे नाम दें) $E_{g}$) और एक ही स्पिन (भौतिकी) और इसलिए केवल उनकी स्थिति-अंतरिक्ष तरंग कार्यों में भिन्नता होगी।

तर्क विरोधाभास द्वारा प्रमाण के अनुसार चलता है: यदि जमीनी स्थिति ख़राब होगी तो दो ऑर्थोनॉर्मल होंगे स्थिर अवस्थाएँ $\left|\psi _{1}\right\rangle$ और $\left|\psi _{2}\right\rangle$ - बाद में उनके जटिल-मूल्यवान स्थिति-अंतरिक्ष तरंग कार्यों द्वारा दर्शाया गया $\psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }$ और $\psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }$ - और कोई भी क्वांटम सुपरइम्पोज़िशन $\left|\psi _{3}\right\rangle :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle$ सम्मिश्र संख्याओं के साथ $c_{1},c_{2}$ शर्त पूरी करना $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ यह भी एक ऐसी अवस्था होगी, यानी समान ऊर्जा-आइजेनवैल्यू होगी $E_{g}$ और वही स्पिन-स्टेट।

अब चलो $x_{0}$ कुछ यादृच्छिक बिंदु बनें (जहां दोनों तरंग फ़ंक्शन परिभाषित हैं) और सेट करें:

$$c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}$$

और

$$c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}$$

साथ

$$a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0$$

(आधार के अनुसार कोई नोड नहीं)।

इसलिए, स्थिति-अंतरिक्ष तरंग फ़ंक्शन $\left|\psi _{3}\right\rangle$ है

$$\psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.$$

इस तरह

$$\psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0$$

सभी के लिए $t$.

लेकिन $\left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ अर्थात।, $x_{0}$ ग्राउंड स्टेट वेव फ़ंक्शन का एक नोड है और यह इस आधार के विपरीत है कि इस वेव फ़ंक्शन में एक नोड नहीं हो सकता है।

ध्यान दें कि विभिन्न स्पिन अवस्थाओं के कारण जमीनी अवस्था ख़राब हो सकती है $\left|\uparrow \right\rangle$ और $\left|\downarrow \right\rangle$ समान स्थिति-अंतरिक्ष तरंग फ़ंक्शन होने पर: इन राज्यों का कोई भी सुपरपोजिशन एक मिश्रित स्पिन राज्य बनाएगा लेकिन स्थानिक भाग (दोनों के एक सामान्य कारक के रूप में) को अपरिवर्तित छोड़ देगा।

उदाहरण

प्रारंभिक तरंग एक बॉक्स में एक-आयामी कण की पहली चार अवस्थाओं के लिए कार्य करती है

* एक बॉक्स में एक कण की जमीनी अवस्था का तरंग कार्य | एक आयामी बॉक्स में कण एक अर्ध-अवधि साइन तरंग है, जो कुएं के दो किनारों पर शून्य हो जाता है। कण की ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है? ${\textstyle {\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}}$, जहां h प्लैंक स्थिरांक है, m कण का द्रव्यमान है, n ऊर्जा अवस्था है (n = 1 जमीनी-अवस्था ऊर्जा से मेल खाती है), और L कुएं की चौड़ाई है।

• हाइड्रोजन परमाणु की जमीनी अवस्था का तरंग कार्य परमाणु नाभिक पर केंद्रित एक गोलाकार सममित वितरण है, जो केंद्र में सबसे बड़ा है और बड़ी दूरी पर घातीय वितरण को कम करता है। इलेक्ट्रॉन के नाभिक से बोह्र त्रिज्या के बराबर दूरी पर पाए जाने की सबसे अधिक संभावना है। इस फ़ंक्शन को 1s परमाणु कक्षक के रूप में जाना जाता है। हाइड्रोजन (H) के लिए, जमीनी अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन में ऊर्जा होती है −13.6 eV, आयनीकरण ऊर्जा के सापेक्ष। दूसरे शब्दों में, 13.6 eV इलेक्ट्रॉन के लिए आवश्यक ऊर्जा इनपुट है जो अब परमाणु से बंधी अवस्था में नहीं है।
• 1997 से समय की एक दूसरा की सटीक परिभाषा अवधि है 9192631770 0 K के तापमान पर विश्राम के समय सीज़ियम-133 परमाणु की जमीनी अवस्था के दो अति सूक्ष्म स्तरों के बीच संक्रमण के अनुरूप विकिरण की अवधि।

ग्रन्थसूची

• Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1965). "see section 2-5 for energy levels, 19 for the hydrogen atom". The Feynman Lectures on Physics. Vol. 3.