टाइकोनोफ़ स्थान

Separation axioms in topological spaces
Kolmogorov classification
T0	(Kolmogorov)
T1	(Fréchet)
T2	(Hausdorff)
T2½	(Urysohn)
completely T2	(completely Hausdorff)
T3	(regular Hausdorff)
T3½	(Tychonoff)
T4	(normal Hausdorff)
T5	(completely normal  Hausdorff)
T6	(perfectly normal  Hausdorff)
History

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, टाइकोनॉफ स्पेस और पूरी तरह से नियमित स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस के प्रकार हैं। ये स्थितियाँ पृथक्करण स्वयंसिद्धों के उदाहरण हैं। टाइकोनॉफ़ स्थान किसी भी पूरी तरह से नियमित स्थान को संदर्भित करता है जो हॉसडॉर्फ़ स्थान भी है; वहाँ पूरी तरह से नियमित स्थान मौजूद हैं जो टाइकोनॉफ़ नहीं हैं (अर्थात हॉसडॉर्फ़ नहीं)।

टाइकोनॉफ़ रिक्त स्थान का नाम एंड्री निकोलाइविच तिखोनॉफ़ के नाम पर रखा गया है, जिनका रूसी भाषा नाम (Тихонов) को विभिन्न प्रकार से टाइकोनोव, तिखोनोव, तिहोनोव, टिचोनोव आदि के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जिन्होंने हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान की रोग संबंधी स्थिति से बचने के लिए 1930 में उन्हें पेश किया था, जिसका एकमात्र निरंतर वास्तविक- मूल्यवान फ़ंक्शन स्थिर मानचित्र हैं।

परिभाषाएँ

एक सतत फ़ंक्शन के माध्यम से एक बंद सेट से एक बिंदु को अलग करना।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ कहा जाता हैcompletely regular यदि बिंदुओं को निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के माध्यम से बंद सेटों से अलग किया जा सकता है। तकनीकी शब्दों में इसका अर्थ है: किसी भी बंद सेट के लिए $A\subseteq X$ और कोई बिंदु (ज्यामिति) $x\in X\setminus A,$ अस्तित्वगत परिमाणीकरण एक वास्तविक रेखा|वास्तविक-मूल्यवान सतत फलन (टोपोलॉजी) $f:X\to \mathbb {R}$ ऐसा है कि $f(x)=1$ और $f\vert _{A}=0.$ (समान रूप से इसके स्थान पर कोई भी दो मान चुन सकते हैं $0$ और $1$ और उसकी मांग भी करते हैं $f$ एक बंधा हुआ कार्य हो।)

टोपोलॉजिकल स्पेस को कहा जाता हैTychonoff space (वैकल्पिक रूप से:T_3½ space, या T_π space, या completely T₃ space) यदि यह पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ स्थान है।

टिप्पणी। पूरी तरह से नियमित स्थान और टाइकोनोफ़ स्थान कोलमोगोरोव तुल्यता की धारणा के माध्यम से संबंधित हैं। एक टोपोलॉजिकल स्पेस टाइकोनोफ़ है यदि और केवल तभी जब यह पूरी तरह से नियमित और कोलमोगोरोव स्पेस|टी दोनों हो₀. दूसरी ओर, एक स्थान पूरी तरह से नियमित है यदि और केवल यदि इसका कोलमोगोरोव भागफल टाइकोनोफ़ है।

नामकरण परंपरा

जब पूरी तरह से नियमित शब्द और टी-एक्सिओम्स की बात आती है तो गणितीय साहित्य में अलग-अलग परंपराएं लागू की जाती हैं। इस खंड की परिभाषाएँ विशिष्ट आधुनिक उपयोग में हैं। हालाँकि, कुछ लेखक दो प्रकार के शब्दों के अर्थ बदल देते हैं, या सभी शब्दों का परस्पर उपयोग करते हैं। विकिपीडिया में, पूरी तरह से नियमित और टाइकोनोफ़ शब्दों का स्वतंत्र रूप से उपयोग किया जाता है और टी-नोटेशन से आम तौर पर बचा जाता है। मानक साहित्य में, यह पता लगाने के लिए सावधानी बरतने की सलाह दी जाती है कि लेखक किन परिभाषाओं का उपयोग कर रहा है। इस मुद्दे पर अधिक जानकारी के लिए, पृथक्करण सिद्धांतों का इतिहास देखें।

उदाहरण और प्रतिउदाहरण

गणितीय विश्लेषण में अध्ययन किया गया लगभग हर टोपोलॉजिकल स्पेस टाइकोनोफ़ है, या कम से कम पूरी तरह से नियमित है। उदाहरण के लिए, मानक यूक्लिडियन स्थान के अंतर्गत वास्तविक रेखा टाइकोनोफ़ है। अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:

• प्रत्येक मीट्रिक स्थान टाइकोनोफ़ है; प्रत्येक स्यूडोमेट्रिक स्पेस पूरी तरह से नियमित है।
• प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्थान पूरी तरह से नियमित है, और इसलिए प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान टाइकोनॉफ़ है।
• विशेष रूप से, प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड टाइकोनॉफ़ है।
• ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ प्रत्येक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट टाइकोनोफ़ है।
• प्रत्येक टोपोलॉजिकल समूह पूर्णतः नियमित है।
• मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल समूह दोनों को सामान्यीकृत करते हुए, प्रत्येक समान स्थान पूरी तरह से नियमित है। इसका विपरीत भी सत्य है: प्रत्येक पूरी तरह से नियमित स्थान एकरूपता योग्य है।
• प्रत्येक सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स टाइकोनोफ़ है।
• प्रत्येक सामान्य स्थान नियमित स्थान पूरी तरह से नियमित है, और प्रत्येक सामान्य हॉसडॉर्फ़ स्थान टाइकोनॉफ़ है।
• नीमित्ज़की विमान टाइकोनॉफ़ अंतरिक्ष का एक उदाहरण है जो सामान्य स्थान नहीं है।

गुण

संरक्षण

प्रारंभिक टोपोलॉजी के संबंध में पूर्ण नियमितता और टाइकोनोफ़ संपत्ति अच्छी तरह से व्यवहार की जाती है। विशेष रूप से, पूर्ण नियमितता को मनमानी प्रारंभिक टोपोलॉजी लेकर संरक्षित किया जाता है और टाइकोनॉफ़ संपत्ति को बिंदु-पृथक प्रारंभिक टोपोलॉजी लेकर संरक्षित किया जाता है। यह इस प्रकार है कि:

• पूरी तरह से नियमित या टाइकोनोफ़ स्पेस के प्रत्येक उप-स्थान (टोपोलॉजी) में समान संपत्ति होती है।
• एक गैर-रिक्त उत्पाद स्थान पूरी तरह से नियमित है (क्रमशः टाइकोनोफ़) यदि और केवल यदि प्रत्येक कारक स्थान पूरी तरह से नियमित है (क्रमशः टाइकोनोफ़)।

सभी पृथक्करण सिद्धांतों की तरह, अंतिम टोपोलॉजी लेने से पूर्ण नियमितता संरक्षित नहीं होती है। विशेष रूप से, पूरी तरह से नियमित स्थानों के भागफल स्थान (टोपोलॉजी) को नियमित स्थान होने की आवश्यकता नहीं है। टाइकोनॉफ़ रिक्त स्थान के भागफल को हॉसडॉर्फ़ स्थान होने की भी आवश्यकता नहीं है, जिसमें एक प्राथमिक प्रतिउदाहरण दो मूल वाली रेखा है। मूर विमान के बंद भागफल हैं जो प्रतिउदाहरण प्रदान करते हैं।

वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्य

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X,$ होने देना $C(X)$ वास्तविक-मूल्यवान सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) के परिवार को निरूपित करें $X$ और जाने $C_{b}(X)$ बंधा हुआ कार्य वास्तविक-मूल्यवान निरंतर फ़ंक्शन का सबसेट बनें।

पूरी तरह से नियमित रिक्त स्थान को इस तथ्य से पहचाना जा सकता है कि उनकी टोपोलॉजी पूरी तरह से निर्धारित होती है $C(X)$ या $C_{b}(X).$ विशेष रूप से:

• एक स्थान $X$ यह पूरी तरह से नियमित है यदि और केवल तभी जब इसमें प्रारंभिक टोपोलॉजी प्रेरित हो $C(X)$ या $C_{b}(X).$
• एक स्थान $X$ पूरी तरह से नियमित है यदि और केवल तभी जब प्रत्येक बंद सेट को शून्य सेट के परिवार के प्रतिच्छेदन के रूप में लिखा जा सके $X$ (यानी शून्य सेट बंद सेट के लिए आधार बनाते हैं $X$).
• एक स्थान $X$ पूरी तरह से नियमित है अगर और केवल तभी जब कोज़ेरो सेट हो $X$ की टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) बनाएं $X.$

एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्थान दिया गया $(X,\tau )$ पूरी तरह से नियमित स्थान को इसके साथ जोड़ने का एक सार्वभौमिक तरीका है $(X,\tau ).$ माना कि ρ प्रारंभिक टोपोलॉजी है $X$ प्रेरक $C_{\tau }(X)$ या, समकक्ष, कोज़ेरो के आधार पर उत्पन्न टोपोलॉजी सेट होती है $(X,\tau ).$ तब ρ पूरी तरह से नियमित टोपोलॉजी पर सबसे बेहतरीन टोपोलॉजी होगी $X$ वह उससे भी अधिक मोटा है $\tau .$ यह निर्माण इस अर्थ में सार्वभौमिक संपत्ति है कि कोई भी निरंतर कार्य करता है

$$f:(X,\tau )\to Y$$

पूरी तरह से नियमित स्थान पर $Y$ लगातार चालू रहेगा $(X,\rho ).$ श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, ऑपरेटर जो भेजता है $(X,\tau )$ को $(X,\rho )$ समावेशन फ़ैक्टर CReg → Top के निकट छोड़ दिया गया है। इस प्रकार पूरी तरह से नियमित रिक्त स्थान की श्रेणी सीआरईजी टॉप की एक प्रतिबिंबित उपश्रेणी है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी है। कोलमोगोरोव भागफल लेने पर, कोई देखता है कि टाइकोनोफ़ रिक्त स्थान की उपश्रेणी भी प्रतिबिंबित होती है।

वो तो कोई दिखा सकता है $C_{\tau }(X)=C_{\rho }(X)$ उपरोक्त निर्माण में ताकि छल्ले $C(X)$ और $C_{b}(X)$ आमतौर पर केवल पूरी तरह से नियमित स्थानों के लिए अध्ययन किया जाता है $X.$ वास्तविक कॉम्पैक्ट स्थान टाइकोनॉफ़ स्पेस की श्रेणी रिंगों की श्रेणी के समकक्ष है $C(X)$ (कहाँ $X$ मानचित्र के रूप में रिंग होमोमोर्फिज्म के साथ वास्तविक कॉम्पैक्ट है)। उदाहरण के लिए कोई पुनर्निर्माण कर सकता है $X$ से $C(X)$ कब $X$ (वास्तविक) सघन है। इसलिए इन छल्लों का बीजगणितीय सिद्धांत गहन अध्ययन का विषय है। रिंगों के इस वर्ग का एक व्यापक सामान्यीकरण, जो अभी भी टाइकोनॉफ़ रिक्त स्थान के कई गुणों से मिलता जुलता है, लेकिन वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति में भी लागू होता है, वास्तविक बंद रिंगों का वर्ग है।

एंबेडिंग

टाइकोनॉफ रिक्त स्थान बिल्कुल वे स्थान हैं जो कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान स्थान में टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग हो सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक टाइकोनोफ़ स्थान के लिए $X,$ वहाँ एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान मौजूद है $K$ ऐसा है कि $X$ के एक उपस्थान के लिए समरूपी है $K.$ वास्तव में, कोई भी हमेशा चुन सकता है $K$ टाइकोनोफ़ क्यूब (अर्थात इकाई अंतरालों का संभवतः अनंत उत्पाद) होना। टाइकोनोफ़ के प्रमेय के परिणामस्वरूप प्रत्येक टाइकोनोफ़ क्यूब कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ है। चूंकि कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस का प्रत्येक उप-स्थान टाइकोनॉफ़ है, इसलिए इसमें:

एक टोपोलॉजिकल स्पेस टाइकोनॉफ़ है यदि और केवल तभी जब इसे टाइकोनॉफ़ क्यूब में एम्बेड किया जा सके।

कॉम्पैक्टिफिकेशन

विशेष रुचि वे एम्बेडिंग हैं जहां की छवि है $X$ में सघन उपसमुच्चय है $K;$ इन्हें हॉसडॉर्फ संकलन (गणित)गणित) कहा जाता है $X.$ टाइकोनॉफ स्पेस के किसी भी एम्बेडिंग को देखते हुए $X$ एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान में $K$ की छवि का समापन (टोपोलॉजी)। $X$ में $K$ का एक संघनन है $X.$ 1930 के उसी लेख में जहां टाइकोनॉफ़ ने पूरी तरह से नियमित स्थानों को परिभाषित किया, उन्होंने यह भी साबित किया कि प्रत्येक टाइकोनॉफ़ स्थान में हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन होता है।

उन हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन के बीच, एक अद्वितीय सबसे सामान्य, स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन है $\beta X.$ यह सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता है, जिसे एक सतत मानचित्र दिया गया है $f$ से $X$ किसी अन्य कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान के लिए $Y,$ एक अनोखा (गणितीय) निरंतर मानचित्र है $g:\beta X\to Y$ जो फैलता है $f$ इस अर्थ में कि $f$ की संरचना (कार्य) है $g$ और $j.$

समान संरचनाएँ

पूर्ण नियमितता टोपोलॉजिकल स्पेस पर समान संरचनाओं के अस्तित्व के लिए बिल्कुल आवश्यक शर्त है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक समान स्थान में पूरी तरह से नियमित टोपोलॉजी होती है और प्रत्येक में पूरी तरह से नियमित स्थान होता है $X$ एकरूपता योग्य है. एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक अलग समान संरचना को स्वीकार करता है यदि और केवल यदि यह टाइकोनोफ़ है।

बिल्कुल नियमित जगह दी गई है $X$ आमतौर पर एक से अधिक एकरूपता होती है $X$ की टोपोलॉजी के साथ संगत है $X.$ हालाँकि, वहाँ हमेशा एक बेहतरीन संगत एकरूपता रहेगी, जिसे बढ़िया एकरूपता कहा जाता है $X.$ अगर $X$ टाइकोनोफ़ है, तो एकसमान संरचना को चुना जा सकता है $\beta X$ एकसमान स्थान का समापन (टोपोलॉजी) बन जाता है $X.$

यह भी देखें

• Stone–Čech compactification

ग्रन्थसूची

• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1960). Rings of continuous functions. Graduate Texts in Mathematics, No. 43 (Dover reprint ed.). NY: Springer-Verlag. p. xiii. ISBN 978-048681688-3.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Willard, Stephen (1970). General Topology (Dover reprint ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.