टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी, जिसे अक्सर टॉप के रूप में दर्शाया जाता है, वह श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत ) है, जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) टोपोलॉजिकल स्पेस है और जिसका आकार निरंतर मानचित्र है। यह एक श्रेणी है क्योंकि दो निरंतर मानचित्रों की कार्य संरचना फिर से निरंतर है, और पहचान कार्य निरंतर है। श्रेणी सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के शीर्ष और गुणों का अध्ययन श्रेणीबद्ध टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है।

नायब कुछ लेखक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड के साथ श्रेणियों के लिए शीर्ष नाम का उपयोग करते हैं वस्तुओं के रूप में ठोस रूप से उत्पन्न स्थान और आकारिकी के रूप में निरंतर मानचित्र या कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न कमजोर हौसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी के साथ।

एक ठोस श्रेणी के रूप में

कई श्रेणियों की तरह, श्रेणी शीर्ष एक ठोस श्रेणी है, जिसका अर्थ है कि इसकी वस्तुएं अतिरिक्त संरचना (यानी टोपोलॉजी) के साथ सेट (गणित) हैं और इसकी रूपरेखा इस संरचना को संरक्षित करने वाले कार्य (गणित) हैं। एक प्राकृतिक भुलक्कड़ कारक है

U : शीर्ष → सेट करें

सेट की श्रेणी के लिए जो प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस को अंतर्निहित सेट और प्रत्येक निरंतर मानचित्र को अंतर्निहित फ़ंक्शन (गणित) प्रदान करता है।

भुलक्कड़ फंक्‍टर U में दोनों बाएँ सन्निकट हैं

D : सेट → टॉप

जो एक दिए गए सेट को डिस्क्रीट टोपोलॉजी और एक दाहिना जोड़ से लैस करता है

I : सेट → टॉप

जो दिए गए सेट को [[ असतत टोपोलॉजी ]] से लैस करता है। वास्तव में, ये दोनों फंक्‍टर उल्‍टा फंक्शन#'यू' के लिए बाएं और दाएं व्युत्क्रम हैं (जिसका अर्थ है कि यूडी और यूआई सेट पर पहचान कारक के बराबर हैं)। इसके अलावा, चूंकि असतत या असतत रिक्त स्थान के बीच कोई भी कार्य निरंतर है, ये दोनों फ़ैक्टर सेट को शीर्ष में पूर्ण एम्बेडिंग देते हैं।

शीर्ष भी फाइबर-पूर्ण है, जिसका अर्थ है कि किसी दिए गए सेट एक्स पर टोपोलॉजी की जाली (जिसे एक्स के ऊपर यू का फाइबर (गणित) कहा जाता है) बनता है। सेट समावेशन द्वारा आदेश दिए जाने पर एक पूर्ण जाली । इस फाइबर में सबसे बड़ा तत्व एक्स पर डिस्क्रीट टोपोलॉजी है, जबकि सबसे कम तत्व इंडिस्क्रीट टोपोलॉजी है।

शीर्ष वह मॉडल है जिसे टोपोलॉजिकल श्रेणी कहा जाता है। इन श्रेणियों की विशेषता इस तथ्य से है कि प्रत्येक संरचित स्रोत $(X\to UA_{i})_{I}$ एक अद्वितीय प्रारंभिक लिफ्ट है $(A\to A_{i})_{I}$. टॉप में प्रारंभिक टोपोलॉजी को स्रोत पर रखकर आरंभिक लिफ्ट प्राप्त की जाती है। टोपोलॉजिकल श्रेणियों में टॉप के साथ कई गुण होते हैं (जैसे कि फाइबर-पूर्णता, असतत और असतत कार्यात्मकता, और सीमाओं का अनूठा उठाना)।

सीमाएं और कोलिमिट्स

श्रेणी शीर्ष दोनों पूर्ण श्रेणी है, जिसका अर्थ है कि शीर्ष में सभी छोटी सीमाएं (श्रेणी सिद्धांत) मौजूद हैं। वास्तव में, भुलक्कड़ 'यू': टॉप → सेट विशिष्ट रूप से दोनों सीमाओं और कोलिमिट्स को उठाता है और उन्हें भी संरक्षित करता है। इसलिए, शीर्ष में (सीओ) सीमाएं सेट में संबंधित (सीओ) सीमाओं सबस्पेस टोपोलॉजी रखकर दी जाती हैं।

विशेष रूप से, यदि एफ शीर्ष में एक आरेख (श्रेणी सिद्धांत) है और (एल, φ : एल → एफ) यूएफ की एक सीमा है सेट में, शीर्ष में F की संबंधित सीमा प्रारंभिक टोपोलॉजी को (L, φ : L → F) पर रखकर प्राप्त की जाती है। दोहरे रूप से, टॉप में कोलिमिट्स सेट में संबंधित कोलिमिट्स पर अंतिम टोपोलॉजी रखकर प्राप्त किए जाते हैं।

कई बीजगणितीय श्रेणियों के विपरीत, भुलक्कड़ फंक्‍टर यू : टॉप → सेट सीमा नहीं बनाता है या प्रतिबिंबित नहीं करता है क्योंकि सेट में आमतौर पर गैर-सार्वभौमिक शंकु (श्रेणी सिद्धांत) होगा जो शीर्ष में सार्वभौमिक शंकु को कवर करता है।

टॉप में लिमिट्स और कोलिमिट्स के उदाहरणों में शामिल हैं:

• खाली सेट (एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है) टॉप का प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है; कोई भी सिंगलटन (गणित) टोपोलॉजिकल स्पेस एक टर्मिनल वस्तु है। इस प्रकार शीर्ष में कोई शून्य वस्तु नहीं है।
• शीर्ष में उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद टोपोलॉजी द्वारा दिया गया है। टोपोलॉजिकल स्पेस के असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) द्वारा कोप्रोडक्ट (श्रेणी सिद्धांत) दिया जाता है।
• तुल्यकारक (गणित) # आकारिकी की एक जोड़ी के श्रेणी सिद्धांत में सेट-सैद्धांतिक तुल्यकारक पर उप-स्थल टोपोलॉजी रखकर दिया जाता है। दोहरे रूप से, सह-तुल्यकारक को सेट-सैद्धांतिक सह-तुल्यकारक पर भागफल टोपोलॉजी रखकर दिया जाता है।
• प्रत्यक्ष सीमा एँ और व्युत्क्रम सीमाएँ क्रमशः अंतिम टोपोलॉजी और प्रारंभिक टोपोलॉजी के साथ निर्धारित-सैद्धांतिक सीमाएँ हैं।
• संयोजन स्थान टॉप में पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) का एक उदाहरण है।

अन्य गुण

• शीर्ष में एकरूपता अंतःक्षेपी निरंतर मानचित्र हैं, अधिरूपता विशेषण निरंतर मानचित्र हैं, और समरूपताएं होमियोमोर्फिज्म हैं।
• चरम मोनोमोर्फिज्म मोनोमोर्फिज्म (समाकृतिकता तक) सबस्पेस टोपोलॉजी एम्बेडिंग हैं। वास्तव में, टॉप में सभी चरम मोनोमोर्फिज्म नियमित मोनोमोर्फिज्म होने की मजबूत संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए होते हैं।
• चरम एपिमोर्फिज्म (अनिवार्य रूप से) भागफल मानचित्र हैं। हर अतिवादी एपिमोर्फिज्म नियमित है।
• विभाजित मोनोमोर्फिज्म (अनिवार्य रूप से) उनके परिवेश स्थान में पीछे हटने का समावेश है।
• विभाजित एपीमॉर्फिज्म (समरूपता तक) किसी स्थान के निरंतर विशेषण मानचित्रों में से किसी एक पर पीछे हटते हैं।
• शीर्ष में कोई शून्य morphisms नहीं हैं, और विशेष रूप से श्रेणी preadditive श्रेणी नहीं है।
• टॉप कार्टेशियन बंद श्रेणी नहीं है (और इसलिए टॉपोज़ भी नहीं है) क्योंकि इसमें सभी स्पेस के लिए घातीय वस्तु नहीं हैं। जब यह सुविधा वांछित होती है, तो अक्सर कॉम्पैक्ट रूप से जेनरेट किए गए हौसडॉर्फ रिक्त स्थान सीजीहॉस की पूर्ण उपश्रेणी या कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न कमजोर हौसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी तक सीमित हो जाती है। हालाँकि, शीर्ष स्यूडोटोपोलॉजी की घातीय श्रेणी में निहित है, जो स्वयं अभिसरण रिक्त स्थान की (भी घातीय) श्रेणी की एक उपश्रेणी है।

अन्य श्रेणियों से संबंध

• पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी टॉप_• शीर्ष पर एक कॉसलिस श्रेणी है।
• टोपोलॉजिकल स्पेस hTop की होमोटॉपी श्रेणी में ऑब्जेक्ट्स के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस हैं और मॉर्फिज़्म के लिए निरंतर मैप्स के समरूप समरूपता। यह टॉप की भागफल श्रेणी है। इसी तरह पॉइंटेड होमोटॉपी श्रेणी hTop बना सकते हैं_•.
• शीर्ष में एक पूर्ण उपश्रेणी के रूप में हॉसडॉर्फ स्पेस की महत्वपूर्ण श्रेणी हॉस शामिल है। इस उपश्रेणी की अतिरिक्त संरचना अधिक एपीमॉर्फिज्म की अनुमति देती है: वास्तव में, इस उपश्रेणी में एपीमॉर्फिम्स सटीक रूप से उनके कोडोमेन में सघन सेट छवि (गणित) के साथ आकारिकी हैं, ताकि एपीमॉर्फिज्म को विशेषण की आवश्यकता न हो।
• शीर्ष में ठोस रूप से उत्पन्न हौसडॉर्फ रिक्त स्थान की पूर्ण उपश्रेणी सीजीहॉस शामिल है, जिसमें रुचि के सभी विशिष्ट स्थानों को समाहित करते हुए कार्टेशियन बंद श्रेणी होने का महत्वपूर्ण गुण है। यह CGHaus को विशेष रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस की सुविधाजनक श्रेणी बनाता है जिसका उपयोग अक्सर टॉप के स्थान पर किया जाता है।
• कंक्रीट श्रेणी खंड में ऊपर वर्णित अनुसार, सेट करने के लिए भुलक्कड़ फ़ैक्टर में बाएं और दाएं दोनों आसन्न हैं।
• लोकेल (गणित) नियंत्रण रेखा की श्रेणी के लिए एक मज़ेदार है जो खुले सेट के अपने लोकेल में एक स्थलीय स्थान भेज रहा है। इस फ़ंक्टर का एक दाहिना जोड़ है जो प्रत्येक लोकेल को बिंदुओं के अपने स्थलीय स्थान पर भेजता है। यह संयोजन सोबर रिक्त स्थान और स्थानिक लोकेशंस की श्रेणी के बीच समानता तक सीमित है।
• समरूपता परिकल्पना टॉप को ∞Grpd से संबंधित करती है, ∞-ग्रुपॉइड|∞-ग्रुपॉइड्स की श्रेणी। अनुमान कहता है कि ∞-ग्रुपोइड्स टोपोलॉजिकल स्पेस मॉडुलो कमजोर समतुल्यता (होमोटोपी सिद्धांत) के बराबर हैं।

यह भी देखें

• Category of groups
• Category of metric spaces
• Category of sets
• Category of topological spaces with base point
• Category of topological vector spaces

संदर्भ

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Dolecki, Szymon (2009). Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott (eds.). "An initiation into convergence theory" (PDF). Beyond Topology. Contemporary Mathematics Series A.M.S. 486: 115–162. doi:10.1090/conm/486/09509. ISBN 9780821842799. Retrieved 14 January 2021.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2014). "A unified theory of function spaces and hyperspaces: local properties" (PDF). Houston J. Math. 40 (1): 285–318. Retrieved 14 January 2021.
• Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
• Herrlich, Horst: Categorical topology 1971–1981. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp. 279–383.
• Herrlich, Horst & Strecker, George E.: Categorical Topology – its origins, as exemplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp. 255–341.