टोपोलॉजिकल रिंग

गणित में, एक टोपोलॉजिकल रिंग एक रिंग (बीजगणित) है $R$ यह भी एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जैसे कि जोड़ और गुणा दोनों ही मानचित्र के रूप में निरंतरता (टोपोलॉजी) हैं:

$$R\times R\to R$$

कहाँ $R\times R$ उत्पाद टोपोलॉजी वहन करता है। इसका मत $R$ एक योगात्मक [[टोपोलॉजिकल सेमीग्रुप]] और एक गुणात्मक टोपोलॉजिकल अर्धसमूह है।

टोपोलॉजिकल रिंग मूल रूप से टोपोलॉजिकल क्षेत्रों से संबंधित हैं और उनका अध्ययन करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र का पूरा होना एक टोपोलॉजिकल रिंग हो सकता है जो एक फील्ड (गणित) नहीं है।

सामान्य टिप्पणियाँ

इकाइयों का समूह $R^{\times }$ एक टोपोलॉजिकल रिंग का $R$ एक टोपोलॉजिकल समूह है जब एंबेडिंग#सामान्य टोपोलॉजी से आने वाली टोपोलॉजी से संपन्न होता है $R^{\times }$ उत्पाद में $R\times R$ जैसा $\left(x,x^{-1}\right).$ हालाँकि, यदि इकाई समूह उप-स्थान के रूप में उप-स्थान टोपोलॉजी से संपन्न है $R,$ यह एक टोपोलॉजिकल समूह नहीं हो सकता है, क्योंकि व्युत्क्रम चालू है $R^{\times }$ सबस्पेस टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। इस स्थिति का एक उदाहरण वैश्विक क्षेत्र का एडेल अंगूठी है; इसका इकाई समूह, जिसे आइडेल समूह कहा जाता है, उप-स्थान टोपोलॉजी में एक टोपोलॉजिकल समूह नहीं है। यदि उलटा चालू है $R^{\times }$ के उप-स्थान टोपोलॉजी में निरंतर है $R$ फिर ये दो टोपोलॉजी चालू हैं $R^{\times }$ समान हैं।

यदि किसी को एक इकाई के लिए रिंग की आवश्यकता नहीं है, तो उसे टोपोलॉजिकल रिंग को एक रिंग के रूप में परिभाषित करने के लिए एडिटिव व्युत्क्रम, या समकक्ष की निरंतरता की आवश्यकता को जोड़ना होगा जो एक टोपोलॉजिकल समूह है (के लिए) $+$) जिसमें गुणन भी निरंतर होता है।

उदाहरण

टोपोलॉजिकल रिंग गणितीय विश्लेषण में होते हैं, उदाहरण के लिए कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के रिंग के रूप में (जहां टोपोलॉजी को बिंदुवार अभिसरण द्वारा दिया जाता है), या कुछ मानकीकृत सदिश स्थान पर निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के रिंग के रूप में; सभी बानाच बीजगणित टोपोलॉजिकल रिंग हैं। परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या और पी-एडिक संख्या|$p$-एडिक संख्याएँ अपने मानक टोपोलॉजी के साथ टोपोलॉजिकल रिंग (यहाँ तक कि टोपोलॉजिकल फ़ील्ड, नीचे देखें) भी हैं। समतल में, विभाजित-जटिल संख्याएँ और दोहरी संख्याएँ वैकल्पिक टोपोलॉजिकल रिंग बनाती हैं। अन्य निम्न-आयामी उदाहरणों के लिए हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याएँ देखें।

सार बीजगणित में, निम्नलिखित निर्माण सामान्य है: एक क्रमविनिमेय वलय से प्रारंभ होता है $R$ एक आदर्श (अंगूठी) युक्त $I,$ और फिर एडिक टोपोलॉजी पर विचार करता है|$I$-एडिक टोपोलॉजी पर $R$: उपसमुच्चय $R=U$ का $R$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए खुला है $x\in U$ वहाँ एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n$ ऐसा है कि $x+I^{n}\subseteq U.$ ये बदल जाता है $R$ एक टोपोलॉजिकल रिंग में। $I$वें>-एडिक टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ़ स्थान है यदि और केवल यदि सभी शक्तियों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) $I$ शून्य आदर्श है $(0).$

$p$वें>-पूर्णांकों पर एडिक टोपोलॉजी एक का एक उदाहरण है $I$-एडिक टोपोलॉजी (साथ) $I=(p)$).

पूर्णता

Main article: Completion (algebra)

प्रत्येक टोपोलॉजिकल रिंग एक टोपोलॉजिकल समूह है (जोड़ के संबंध में) और इसलिए प्राकृतिक तरीके से एक समान स्थान है। इस प्रकार कोई यह पूछ सकता है कि क्या कोई टोपोलॉजिकल रिंग दी गई है$R$ पूर्ण एकसमान स्थान है। यदि ऐसा नहीं है, तो इसे पूरा किया जा सकता है: कोई एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय पूर्ण टोपोलॉजिकल रिंग पा सकता है $S$ उसमें सम्मिलित है $R$ एक घने (टोपोलॉजी) सबरिंग के रूप में, जैसे कि दी गई टोपोलॉजी पर $R$ से उत्पन्न होने वाले उपस्थान (टोपोलॉजी) के बराबर है $S.$ यदि आरंभिक रिंग $R$ मीट्रिक है, अंगूठी $S$ में कॉची अनुक्रमों के समतुल्य वर्गों के एक सेट के रूप में निर्मित किया जा सकता है $R,$ यह तुल्यता संबंध वलय बनाता है $S$ हॉसडॉर्फ और निरंतर अनुक्रमों (जो कॉची हैं) का उपयोग करके एक (समान रूप से) निरंतर रूपवाद (अगली कड़ी में सीएम) का एहसास होता है $c:R\to S$ ऐसा कि, सभी सी.एम. के लिए $f:R\to T$ कहाँ $T$ हॉसडॉर्फ़ और पूर्ण है, वहाँ एक अद्वितीय मुख्यमंत्री मौजूद है $g:S\to T$ ऐसा है कि

$f=g\circ c.$ अगर $R$ मीट्रिक नहीं है (उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक-परिवर्तनीय तर्कसंगत मूल्यवान कार्यों की अंगूठी, यानी सभी फ़ंक्शन $f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q}$ बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न) मानक निर्माण न्यूनतम कॉची फिल्टर का उपयोग करता है और उपरोक्त के समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है (निकोलस बॉर्बकी, जनरल टोपोलॉजी, III.6.5 देखें)।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला के छल्ले और पी-एडिक संख्या|$p$-एडिक पूर्णांकों को स्वाभाविक रूप से कुछ टोपोलॉजिकल रिंगों के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया जाता है $I$-एडिक टोपोलॉजी।

टोपोलॉजिकल फ़ील्ड

कुछ सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण टोपोलॉजिकल क्षेत्र हैं। एक टोपोलॉजिकल फ़ील्ड एक टोपोलॉजिकल रिंग है जो एक फ़ील्ड (गणित) भी है, और ऐसा है कि गैर शून्य तत्वों का गुणक व्युत्क्रम एक सतत कार्य है। सबसे आम उदाहरण जटिल संख्याएं और उसके सभी उपक्षेत्र (गणित), और मूल्यवान क्षेत्र हैं, जिनमें पी-एडिक क्षेत्र शामिल है|$p$-एडिक फ़ील्ड.

यह भी देखें

• Compact group
• Complete field
• Locally compact field
• Locally compact quantum group
• Locally compact group
• Ordered topological vector space
• Strongly continuous semigroup
• Topological abelian group
• Topological field
• Topological group
• Topological module
• Topological semigroup
• Topological vector space

संदर्भ

• L. V. Kuzmin (2001) [1994], "Topological ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• D. B. Shakhmatov (2001) [1994], "Topological field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Warner, Seth (1989). Topological Fields. Elsevier. ISBN 9780080872681.
• Warner, Seth (1993). Topological Rings. Elsevier. ISBN 9780080872896.
• Vladimir I. Arnautov, Sergei T. Glavatsky and Aleksandr V. Michalev: Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules. Marcel Dekker Inc, February 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
• N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Hermann, Paris 1971, ch. III §6